DIVISEURS

(jiiel que soil^ dans A; doue, si r répond à ./• dansB,jK ' ^i,}' = ^\ quel (jiie soit y dans B. Si V, e.sf no/mal maximum dans V et si 13 1 est < B, \, contient V,, [supposé ':> i) et correspond à B,, sans quoi, V, V,, eoirespondanl évideuinient à B,, on aurait A, Ao I A,, = B, I Bo < B I B„ £s V | A„, done A, A,, < A, et A, ne serait pas normal iMaxiimmi dans V (').

63. Soient (j uii groupe ajaut les diviseuis noruiaux A,, = S«o et Bo = S^o, A et B deux groupes premiers entre eux ayant respectivement les diviseurs normaux Ao et By, chaque élément de A étant perinutable à chaque élément de B. SoitG|Bo^ A, G|Ao^B, A I A,, = B I Bo . G j Ao Bo est isomorphe à (G | A o) | ( Aq Bo I Ao) = A | Ao et de même àB|Bo. Soient A = S \oJ:', B = SBoj^et supposons les ,r et les j^ complètement déterminés. On aura G = BoS«o") ''^t " répondante r/o.r dans l'isomorpliisme de G|Bo à A et u n'étant déterminé que mod Bo. Mais, comme G^ VoSBo^/ et que G|\o^ B, on peut, en choisissant convenablement ;^ dans Boi^/, faire que b^a réponde à ^„ v' dans l'isomorphisme de G|Ao à B. Ainsi // transforme Ao et Bo comme x et y respectivement. On voit donc que G est isomorphe au groupe des éléments a^boxy. On dit parfois que G résulte d' un hon\omorphisme entre \ et B.

66. Soient F l'ensemble, dénombrable ou non, des gé fié râleurs V,, Y^, ... d'un groupe G satisfaisant à un système d'équations S, V un ensemble d'éléments y] biunivoquement rapporté à V (y^ répondatit à y/). S' un système formé avec les y' comme S avec les y. G' le groupe défini par S' + T', T' étant un autre système d'équations t\ = i entre les y'. A lors G' e^ G | A, A étant dans G le diviseur normal minimum contenant les éléments ti formés avec les y comme les t- avec les y', c'est-àdire le p. p. c. m. des x~^tiX^ x parcourant G (-). En effet, à chaque produit formel des y faisons correspondre le produit composé de la même manière avec les y' correspondants. Les produits formels de y' cpii répondent ainsi à un même élément de G représenté par plusieurs produits formels égaux en vertu de S seront

(') Cf. Jordan, .S\ .1/., t. 1, p. /(S; iS-3.

(-) W. Dyck, Gruppenllieoretisclie Sludien {M. A., t. XX, 1882).

68 ciiM'irm; ii.

égaux eu \erlu de S', en sorte que l'on a une eorrespondanee univoque (le (V à G où au |)ro<luil de deux éléments de G répond le produit des éléments correspondants de G', c'est-à-dire que G' est homomorplie à G. Mais à un |)roduit formel P' de y' peuvent correspondre plusieurs produits formels de y inégaux en vertu de S, mais égaux en \ertu de S + T, T étant le système des </= i ; si P'=i, ces éléments correspondants sont les premiers membres des conséquences mises sous forme typique de S + T qui ne sont pas des conséquences de S, c'est-à-dire les éléments de \, puiscpie les y vérifient S.

A-insi des équalions de G on déduit celles de G|\^G' en adjoignant T à S, c'est-à-dire en faisant égaux à i tous les élémen'.z de A. Si, par exemple ('), les ti sont tous les commutateurs des y,-, A divise le commutant G de G (oo); G| \ est abélien, puisque ses équations exigent précisément la permutabilité de tous ses éléments ; donc A ^ G (63) ; donc A = G.

Réciproquement, connaissant les équations A/(«)=:i du groupe A engendré par «,, c/o, ... et celles B/(7>') = i du groupe G' engendré par b\^ //,, ..., comment former celles d'un groupe G composé de Gj A. ^ G' et de A? G peut être engendré par les r/, et d'autres éléments 6i, b.^^ .... Les équations de G comprendront alors les A/(rt) = i et d'autres équations de la forme />/, ' aibk = Af* [a) permettant de supposer les équations restantes écrites sous la forme By(è) = k.'j(a), ï^/(^) ^t^"t un produit de bi et Ay(rt) un produit de ai. D'ailleurs, le système By(Z>) = i obtenu en faisant «,= i doit être équivalent à B/(6") = i, b'[, bl, ... étant de nouveaux générateurs dont renseud)le est biunivoquement rapporté à celui des b\ b'- réjiondant à b'^ . Les b étant exprimables |)ar les b" et inversement, on |)eut supposer qu'on a précisément clioisi les b" pour les b, en sorte que les équations de G seront de la forme Ai{a) = i, By(6) ^ Ay (rt), bj.^ aib/s = A^''{a). Mais, pour que G soit réellement composé de G| A et de A, il faut encore et il suffit qu'il contienne A, c'est-à-dire que des équations précédentes ne résultent pas entre les a d'autres conséquences que celles résultant déjà de A,(a)==i (19).

(') Mn.LER. s. M. Am., l. IV, p. i3G; 1898.

DIVISKUKS. 69

(j7. Soil l) (l'ordre 0 le p. g. c. il. du ^^ V = Sr^= S.r/1) et du gp B = Jlbi= "^Dvi, X = S.r^- et Y = ïj/-, élaul des systèmes de restes de A(modd i, D) et de B(modd D, 1) respectivement. On aura Vx B:=XI)x DY. L'équation Xidryj^Xkdsyi qui équivaut à .r^' j-,= ^^syiyj^ ''C ' où .r^' xi est dans \ et dsyLY",^ d,.^ dans B exige que xj.^ xi soit dans I); donc ./;,= r^ et de même yj =^ Vi- Donc, dans \ x B, Xid,yj ne sera répété que dans .r/DxDy/ et il le sera autant de fois qu'il y a dans D de solutions (^1, ^2) •' l't;f|iialion t^t-x^^ d,. '. chaque ti pouvant être pris arbitrairement et déterminant l'autre, l'équation a 0 solutions et chacun des ajii éléments de A x B esL répété 5 fois exactement .

Considérons maintenant AB := XDY ^ \Y = XB. L'équation aiyi^= auVk ou alWii^^yi^yJ^ montre de même c[ue jKaJK;' ^^t dans D; tlonc j)/i = JKAi c'est-à-dire que :\B = \ x Y = X X B. Soit j A, Bj = C d'ordre r. C est toujours ^AB; donc si C = AY ou si C = XB, AB sera un groupe (=C) et réciproquement. On a vu d'ailleurs (24) que, si AB = BA, AB est un groupe (=:C) et récipro(|uement. De C = A x Y, C = X X B on déduit respectivement (C, \) := (B, D), (C, B) = ( \, D), et réciproquement, si C est fini : en d'autres termes, si G est fini cl si y = a[i : 0, \B est un groupe et réciproquement (' ).

Si A est permutable à chaque bi, doue nornial dans C = VB, les Ar/ forment un groupe; si alors Aj^/Ajv/f= ^y^ yiykyl^ est dans A, donc dans D, et Djk/Djka= Djk/ en sorte que C| A^B|D.

Supposons maintenant A permutable à chaque b/ et B à chaque «/, donc S. et B normaux dans C= VB. aj^ b/.' aibi^ étant à la fois dans A et dans B (car a~^ bj^ ai est dans B et b^Wiibk flans A) est dans D : donc «,^a dans b^aiTi', donc, D étant ici normal dans AB, «j D . è/^ D = ^^ D . rt/ D , c'est-à-dire que V|D.B|D = AB|.D est le produit direct c/e AlD, B|D (D étant le p. g. c. d. de \, B, Y|D est premier à B|D). Le cas D = i est Important.

68. On observera que, si A = j a j et B = ! 6 1 sont des groupes cycliques fl'ordies respectifs (finis) a et p, et si al) = ba, AB n'est pas nécessairement cyclique. Soit en efl'et D d'orrire 0 le p. g. c. d. rie A, B en sorte que 6

(•) FnoBENius, 5. A. B., 1895, p. 166.

yO CIlAl'MKl. II.

divise le p. g. c. d. o = ') ;/ de a = oa;', ^ = o[3'. On aura D= ]a"^' j = [ 6".8' j et è"P'=a^"^ f; premier à 0). Cherchons l'ordre .r de a'b-^. Puisque fiixfjsx— i ^^rx — i, .sv a''"' et i'' seront dans D el /\r = pu'j.', st = iu^\ d'où /-TJi'^ p^a' et (t désignant Je p g. c. d. de /■ = //' et de s = (s' )

r<j =lKtoL', sp = Xtp', «'•^6«-^= a'-' ' ' . À est le plus petit entier positif vérifiant À( /•' P'-h ^s'a') ^ o mod /'a'O, c'est-à-dire que, si t est le p. if. c. d. de /■' p' -\- ^s' a.' el de /-'«'O = -uO'. X esterai à 0'; alois

Or AH est d'ordre ap'. Donc on ne peut avoir AB = J a'^' [ que si t-='z=i. On peut toujours prendre /' premier à s; mais t résuite alors des données. Les équations de AB sont a'-^=i, h"p' = a'^"^' (; premier à H ), h-Uib — a. En supposant a = />'", '^ = p" , 0=/)'', /• = .s- = i , on a x = oc si /n^n, a? = ji si m <i n; si //? = /*. on peut seulement affirmer que ce divise y. ; mais si /// = /î = 1 , on a encore a™ = a = y?.

69. Supposons mainlenaiit que chaque élément de A soit permutable à B et à chacune des conjuguées x'^Po" (dans B) d'une partie P de B. Soit G le normalisant de P dans B. Le p. g. c. d. D des x^^Cx est le groupe des éléments de B permutables à chaque x~^Vx. Le groupe des éléments de AB permutables à chaque x~*Px se composera de tous les éléments ab [a parcourant A et b, B) où b est permutable à chaque x~*Px, c'est-à-dire des éléments de AD, en sorte que AD est normal dans AB qui est permutable au système des x~^Px (o9). Si donc D = i A sera normal dans AB et l'on a ce théorème : Si chaque élément de A est permutable à B et à chacune des conjuguées x"' Px d^ une partie P de B et si aucun élément ^ \ de B n'est permutable à chaque x~*Px (A est donc premier à B), \B est le produit direct de A par B. Soit D ^ i. Alors chaque élément de AD|D est permutable à B|D et à chaque x~* PD^. D étant le p. g. c. d. des x~* Cx, [es x"^ Cx\D sont premiers entre eux. Donc AB|D est le produit direct de AD | D et de B|D.

70. Si A d'ordre a est normcd dans G d'ordre aq et q premier à a, tout diviseur lî de G dont l'ordre b divise a est dans V en sorte que G ne contient qu^iin groupe d'ordre a

DIVISEl'US. 71

formé de tous les élénienls doiil l'ordre dnuse a ( '). Car soit d l'ordre du p. i;. c. d. de \, B et ù — dl/; r(jrdre ah' de AB divisant aq; Il qui divise déjà a divise aussi q premier à r/, donc b' = \ et B divise V.

Si alors G est normal dans un p;roiipe K, V sera aussi normal dans H, puisque \ esl uiii(|uo de son ordre daus (j.

7 I . Soient plus généralement n groupes A, , . . . , A„ ; «/ Tordre de A,; Dap...>. d'ordre r4p..x le p. g. c. d. de Aa, Ap, ..., A),. Dans A, X A:;, eliaque élément est ré|)été c/,^ fois; dans A, X A^ X V;j, <r/,o<r/,2;, l'ois, ...; dans A, x A2X...X A«, di.>d^.y^-'-d{-2...u^^^Jii fois. Si les \/ sont permutables deux à deux^ A, ... A,/ esl un groupe (o3) d'ordre o~' Wui et o„= d^f^dfx^f,. • • • <^^\2...u indépendamment de V ordre des nombres a, ^i, y.... Donc A, ... \« .se/-« rt/o/'5 M/? groupe d'ordre a, . . . a« toujours et seulement si les A, sont premiers entre eux deux à deux. Si les A/ sont premiers entre eux deux à deux et si chaque A,- est permutable à chaque élément de W'f A,-, FI" A, sera le produit direct des A/. En ellet, la proposition est démontrée pour /?= 2. Supposons-la vraie pour n — i groupes. AaAp(a, [3= i, ..., n — i) sera le produit direct de A^, Ap et II',* A/ celui de FI" ' A,, A,,. Donc la proposition est vraie pour n groupes.

7!2. Si Ci est le produit direct de groupes simples non cycliques A,, ..., \„, tout diviseur normal X^i de Gt est le produit direct de certains des A/. En effet, supposons d'abord X premier à tous les A/ et plus généralement à tout produit de v — ^ i des \/ tel que A| ... Av i ; il le sera à A, . . . Av sans quoi le p. g. c. d. X' de X et de A) ... Av étant premier à tout produit de V — I A/, chaque élément ^ i de X' serait de la forme «1 . . . «V (rt/ étant dans A/ et ^ i) et, a parcourant Ai, on aurait aai ...rtv=rt, . . . a^y. (A, et X' étant normaux dans A( ... Av, A,X' est le produit direct de X' par A,), d'où aa, := a, a en sorte que a, devrait être normal dans A). En faisant v = n on voit que X est premier à G donc X =: i . Supposons en second lieu qu(;

(1) Frobknius. 5. A. B., liSgô, p. 170.

72 CHAIMTUE II.

X conlienne V,, ..., Vj donc ll'J A/= B, mais aucun des groupes Av^i, . . ., \.,i (les \/ étant simples, X est premier à lf»ut A< qu'il ne contient |)as). On aura X = i]Bx, x parcourant des éléments de Av+i • • • V« = G. Les ./• étant les seuls éléments communs à X et à C (oijuent le p. g. c. d. D de X, G. D premier à chacun des groupes Ay+i , . . ., A/^ se réduit à i . Donc X ^ B. St A, = j cii \ est cyclique le théorème ne subsiste plus, car ja, ... «,/, par exemple est normal dans G.

73. Voici quelques applications (i). Soit G un groupe de base a, b défini par la seule condition que tous ces élénienls soient des e,,,), p premier. Considérons un instant le groupe G' obtenu en ajoutant la seule condition que les conjugués «, = b' ab—^ ( i = o, . . ., p — i ) de a soient permutables. L'équation (ab)i'= i ou l]/J"'a,= i montre que/» — i au plus des a, sont indépendants. D'ailleurs cette équation jointe [à la condition que les ai soient permutables et que bP =^ i suffit pour faire de tout élément ff = bylla'g,'. de G' un e,,^, ; car si l'on observe que a,, !x,--T-f, ..., a/-f-(/> — ijj' est, pour j' ^ o mod/>, une permutation de nombres o,...,/? — i mod/», on voit que g-P se réduit à (na/)^o...(n«,)-*"/'-i. On doit donc supposer que/» — i des ai sont effectivement indépendants. Donc l'ordre du p. p. c. m. A des «/ dans G' est/J/'~i et G' =] A, b\ est d'ordre p/'. Soit G" le groupe obtenu en ajoutant aux équations de G' la seule condition que les a' ba^^ soient permutables, a^' 6-' ab = c est évidemment normal dans G". Soit enfin G" le groupe obtenu en ajoutant c = i aux équations de G". (G", i) = p-. D'ailleurs G")c! = G'". Donc (G", i) = p'^. Revenons à G et soit H le p. p. c. m. des commutateurs des ai, K celui des commutateurs des a' ba~^ ; G|H = G|K=G'; G|HK=G"; donc (HK, H) = (HK, K)=pi'-^; si donc D est le p. g. c. d. de H, K, (G, D) =p-P-'^. Donc l'ordre de G est fini avec celui de D.

Pour/? = 3, les équations ( «6)3 = i. (aô^ ^3 — j s'écrivent respectivement aai «2 = I, rt «2 «1 = '• Donc «j et a<> sont permutables et de même leurs transformés a, ai par b et leurs transformés ao, a par b'-. Donc G = G' est d'ordre 3^.

Plus généralement u/i groupe A„ de base miniuia «). . . . , a,, défini par la seule condition que tous ses éléments soient des e,3) est d'ordre 1 3^"~'. Soit 3*» l'ordre, fini ou non, de A,j (on verra (75) qu'un groupe fini dont tout élément est un Cfs) a pour ordre une puissance de 3). On peut supposer que oLy est ^2'' — i pour v < n. Si .r est un élément de â„i non permutable à a„, ]t, a,i\ sera du type de G pour p = 3. On en déduit immédiatement (|ue les conjugués de a„ dans A„ sont permutables et

(') liuiîNsiDi;, Ç. J., 1902.

uivisKtas. 7^

tous (lu lypo x-^a„x. Suit l> d'oidri; :îi^ li'iir j). p. c i». 3 est < S»»-!. D'aillcuis H i;st prcmitM- à A„i car A„ (Ic-iivi! (■vidcmmciU do A„i cl d'un (iléinent qiiclc,oiK|ut' do B. Donc y.„ = x„ 1+ p. Donc a„ est fini. Il suffit de prouver que p-;a„-,-r-i pour qu'une combinaison linéaire des relations a„ljtx,i-i-+- I donne x„ 2" — 1 . On peut d'ailleurs admettre que pia„i-l-i pour les valeurs de n int'c'rieures à celle; considérée. Dans i A„,, a„ ; = A' le p. p. c. m. \V des conjugués do «„= c est donc d'ordre 13an+,+i. Il suffit de montrer que le p. p. c. m. B des conjugués de c dans A„ est g;B',6-'B'6; = ili,(6 = a„-,), car ( »ll>, i)estl32«..-+2 i3««-.+'. Or l'égalité (a-6)»= i ou sbsb-^ b'^ sb-'^ = i, *■ étant un élément quelconque dt! B', montre d'abord que tll» contient le transformé de B' par b- et par suite que 6-' llïiè= il!). Si donc \ll) contient a^—' ea; etj'-'cK, '' eontient aussi b-'^^y-'^cybl et ./—' c« (•«'./( w = a-^-^j-' ) qui s'écrit, en vertu de (cm)=*=i, :z.--' «-'c- //./• = i. c'est-à-dire que Db contient le conjugué d(; c par a^'6-?j' '.r '. En prenant x et^ dans A,j 5 on voit que lll) contient les conjugués de f par A„-:2 6ÇA„ 2- En prenant x et j' dans des complexes de cette forme et en rt-pétanl l'opération on verra que ttl> contient tous les

conjugués de c par . . .6^' A^^oô-' A„-2 6^i Or on a là tous les éléments

(le A„-,: car, l'équation ( 6?..r/)'i = 1 permettant de réduire le nombre i\ des b^i qui figurent dans un éliMnent Wb^x, de A„ 1 (.r, étant dans A„2 et ^, = ±1) dés que^/=^,+i, on aura t,+,, = — ^/ quand on aura réduit iN parce procédé à son minimum. Donc iili est B.

Soit G un groupe défini par la seule conditi(Mi que tous ses éléments soient des e,4). Si G admet une base a, b telle que a- = ^-^ = 1 , le diviseur ]a,bab\ = A. est, en vertu, de {ab )'■< = 1, abélien et permutable à « et à 6. Donc G = | A, b \ est d'ordre 8. Supposons que G ait une base a, b telle que a-—b'*=i. En vertu de (a6)^ = i, le groupe A dérivé de ab- = a, b^ab'^= P est abélien et l'on a b^xb = (3, ù-^^b ■= ol. Il est aisé de voir que tout élément de la forme b-yA'^y est d'onlre -i et tout élément de la forme b~^ a-^ by d'ordre 4- Donc la condition que tout élément de G soit d'ordre 4 n'entraîne aucune relation nouvelle entre 6, x, ji et G est d'ordre -i^. Supposons enfin que G admette seulement une base a, b telle que a*= 6^= I. E]n adjoignant la relation a-= 1, on a, d'après ce qui précède, un groupe G' d'ordre 2'"'. Donc (G, 1) est le produit de i.^ par l'ordre du p. p. c. m. A des conjugués de a'^. Or les équations a- = b* =^ \ équivalent à a2 = (a"-62)2= 1. Donc A contient le p. p. c. m. A' des conjugués de (a'-é*;2— c. On va voir que A' est abélien et que son ordre divise 8. On vérifie d'abord directement que ca-= a-c et c6-= ô^c, puis, en observantla relation (b'^a'^)'* = i, que cbcb'* ^ {a- b'-^ a- b)^ . Donc cbcb-^ est d'ordre 2 et c permutable à bcb'K On vérifie directement encore que bsb^ = s. Pour voir que asa^^s, il est plus commode de se servir de la relation bsb^= s et de vérifier que bsb'^asa^ = i ; or, en prenant s sous la forme {a^b^a-by- et en remplaçant ab'^ab^a par ba^b, puis (è^a^ô'^a)^ par son inverse (a^bab)^, le premier membre se réduit à {ba^)'* =^ \ . De même t — caca^ s'écrit (b'^a^b^af et est normal. De ce t[ue bcb^=cs^ aca^=^ct il résulte évidemment que les conjugués de c sont tous de la

74 CHAPITKE II.

forme c, es, et ou est el que par suite A' = [ c. 5, / ', a pour ordre un diviseur de 8. G| A' est isomorphe au i^roupe G" défini par les équations de G auxquelles ou ajoute la seule condition 0 = 1. De c = i résulte a-b^ = b^a'^ et 5 = 1 qui s'écrit {a'^b^a''b)^=i. Donc a- est permutable à 6"^ et à b^a^b et b^a-b permutable à b'^ coïncide avec ba'^b^. a- étant permutable à ba-b\ l'est à aba-b^a^. Enfin ba b.a.b^ a'^ b^, en v remplaçant èa6« par a^b^a^b^, puis {ab'^a-^ b'*)'^ par son inverse (baba^ )-, puis a^ba^ba^ par b^ab^, puis b^ab par bab^. s'écrit a- .bab.aba^baK On voit dès lors directement que, dans G", le p. p. c. m. des conjugués de «'- est le groupe abélien principal \ a-, ba- b^ , ab ab'^ a^\^= A!' dont l'ordre divise 8. Or G"|A", isomorphe au groupe obtenu en adjoignant aux équations de G les seules conditions a^ ^^(^a-b'^Y- — i, est, on l'a vu, d'ordre ■2'^. Donc ( G, i) divise -i'- et est i-i".

74. Théorkme. — Dans un groupe G d'ordre g^ le nombre des éléments dont l'ordre divise itn diviseur a quelconque de g est un niullijde de a (').

Si i^" = I on si az=^ g^ le tliéorèine est évident. Supposons-le vrai dans le groupe d'ordre << g pour tout diviseur de l'ordre et dans G pour tout diviseur ^a de g = ab. Le nombre des éléments de G dont l'ordre divise ap^^p^c (p premier divisant b mais non c) sera donc mtdtiple de a et il suffit de montrer que ceux de ces éléments dont l'ordre ne divise pas a, c'est-à-dire dont l'ordre est multiple de p^, forment un ensemble E d'ordre e mvdtiple de a. Or, pour chaque e„ de E tel que u, il y en a »(/*) de la forme «^ (v premier h n) qui sont d'ordre /?. Comme n est multiple de />*, 'f{n) et e sont multiples de p"^ \ Il reste à montrer que e est multiple de c. Or chaque élément de E peut et d'une seule manière (10) se mettre sous la fcn-me xy^=yx\ x étant un e^a et y un Cfci- Soit x^ une détermination quelconque de .r ; ^ parcourra en particulier tous les éléments x^^ ..., Xh conjugués de x^ et si, pour X = Xi, y parcourt les éléments yij (y = i , . . ., /), / est indépendant de celles kl éléments Xiyi/ ■>onl distincts. Il suflit de montrer que kl est multiple de c.

Soit h l'ordre du normalisant H de Xi dans G. r/i, . . ., yi/ sont les e ,/) de H, d étant le p. g. c. d. de c, /i = dh' en sorte que, g = hk =: h' kd étant divisible par c et par A, donc par cli' , kd est

('} Khobenius, 5. A. B., iSgS, p. 984.

DIVISKIUS. 75

nnilli|»l(' (le c. Sj (loue le lliéorèiiie esl \rai pour II, / esl iniilliple de d el /. / de c. Tout icn lenl donc- îi établir le lliéorènie pour H et le diviseur c/ de //. ( )r soil ;a,j ^ X. TouL e(,/) y de Jl l'ournil un e^(/^\y de 11 1 X (;l Loul t^,i} ^^ 'le 11 [X contienL un e^,/f de 11 et un seul y^ iz (t étant dans V), car eette équation équivaut à z^ t~^y^yt~^^ décomposition unique et toujours possible puisque, z^ étant dans X, l'ordre de z divise dp'^. Donc le nombre des éléments dont l'ordre divise d est le même pour HjX et H. Mais le théorème est supposé vrai pour H|X d'ordre << A. Donc il l'est pour H et j)our (1.

75. GoiioLLMi'.E 1. — i" Si g = np'^ i^p premier ne divisant pas /i), (1 a un gp? ([3^a), lequel, .s/ [i << a, sera contenu dans un g /,':'+' et normal dans tout gp?+> qui le contient. 2" Le nond)re vg des g p-t+^ de G qui contiennent un gp-; (y>o) déter- })uné G est ^ i mod/> ( ').

En etïet, G contient \/> — i éléments x d'ordre p qui se partagent en un certain nombre de classes. Le nombre p. des conjugués de r est l'indice du normalisant X de x dans G et l'on a A/> — i^Six, la somme s'étendant aux diverses classes. On voit que l'un au moins des ijl est premier à />; soit x l'un des éléments de la classe correspondante; l'ordre du normalisant X de x dans (ji est ^o mod/>^. La première partie du corollaire, démontrée pour a ^ 1 , peut être admise pour X| j x J dont l'ordre divise np'^~^ . Donc elle est vraie pour X homomorphe à X|}^j, donc pour G qui contient X (63). On remarquera cette consécpience qu'w/i gp-est toujours abélien, car, s'il n'est pas cyclique, il ne contient que des ep dont deux quelconques devront être permutables (67).

Pour établir la seconde partie, remarquons d'aijord que, si G^ i , vg est le nombre des g^/' de G et que, pour G^i, 0^1, on a \p — I = V, ( p — 1), d'où v< ^ 1 mod/>. La proposition est donc démontrée dans ce cas particulier.

Elle est d'ailleurs évidente pour 0 = o. 11 suffit donc de montrer que, si elle est vraie pour 0 ^= s — ^ i , elle l'est pour 0 = 5 (v-h^^a). Or soient \,, \v,, ies g>ï+^-' ^ G et B,, . . ., Bv, les gy,Y+.< > G.

(') Voir, pour ce corollaii-o el pour le suivant, Frobenius, 5. A. B., 1895, P- 17^1 9^91 990-

76 CHAPIÏRK 11.

Si V, (ll\ise cii (les B et si By contient h j des \, le nombre des couples \/, B/ où V/ divise B/ est S"(' '«/^ ^î'^^/- Oi' ^y'^ ' (^/' ^st pour By l'analogue de v,-i pour G); donc ]S'J'/>y ^ v^ mod/>. Supposons que \j divise B,, ..., B^.. A/, normal dans chacun d'eux, l'est dans leur p. p. c. m. H. Or, dans H|Ai homomorphe à H, les seuls gy, sont B, j A^, . . . , B^, | A/(63). Donc «/ ^ i et ï'^'-'a/ ^ v^ , mod/j. Donc v^ ^ Vj , .

76. Corollaire II. — ^/ H est un g-/,p? ((^"$0.) normal dans G ^ le nombre des <^-pP de G normaux dans un gp^ de G (on les appelle g^? de première catégorie) qui sont contenus dans H est ^ i modyo, car les autres g^? tle G, dits de seconde catégorie, ont chacun un nombre de conjugués ^ o mody> (o9 ). Oi- H normal dans G contient tous les Ciuijugués dans G d'un tjuelconque de ses diviseurs et le nombre total de ses g^,? est ^ i mod/>.

77. Corollaire III. — L'ordre du groupe A engendré dans G d'ordre ab par les e^a) ^'-ii "^-i-, ••• <ist ^o moda; quand a est premier à b, cet ordre est égal à a si G a un g„ normal ou si A est abélien (*). Car si a^=.p'^a! (/> premier ne divisant pas «'), G a un g^a dont tous les éléments sont dans A; donc (A, 1)^0 mod/>°'. et de même pour tout facteur premier de a. Soit a premier à b. Si G a un g^ normal A', aucun a, n'est hors de A', car A'ja, j diviserait G et son ordre ne diviserait pas ab\ donc A'= A. Si A est abélien, les 'x forment un g,j qui doit coïncider avec A.

78. Corollaire IV. — Si G d'ordre -^/ab [a premier à b) contient exactement a e^a)-, y-t, a.^^ . . . et b e^i,^, [i,, ^2? •••■> chaque a est permutable à chaque ^ et G contient exactement ab e^ab) qui sont les a/jB^. »Si v = i , G est le produit direct d'un ga par un gb (-). En effet, tout Cj^i) peut se mettre et d'une seule manière sous la forme a/^^= ^/f^,-; or, si ces décompositions n'associaient pas chaque a à chaque ,3, leur nombre serait <^ab^ tandis qu'il doit être multiple de ab.

(') Frobenius, 5. A. B., 1895, p 170, p. f)86.

(-) I^'hobenius, 5. A. B., 1895, p. 987; 1901, p. 1-220. Cf. Sciuin, .S. A. B., 1902, p. 1018.

Divisiîuns. 77

Soil v = i. jai, a.>, . . . j = A. esL un gV//.' <!l ij^i, [^21 •••! ^ Ij un g7,rt'. Les ^z de V forment (77) dans V un gv,- abélien normal B'51^; de même les a.i de B forment dans B un g^- abélien normal A'^ A et la proposition à déinonlrer résulte du théorèuie suivant :

S( t//i ij^„ A divise le ce n liai (V un g ah ^i ^'f ■'•' ff ('^1 [nenuer à b^ (jr est le produit direct de \ par un s;'/, \\.

Il suffit de proiivei' ([lie G a un g/,. Or soit G | A = Sç = Sï) i^Sl^ et Aa7|= ^. On aura .x^Xr^=^ rtç^y^.riy,, «^^-^ étant dans A. La condition (a7ça:'Yi)-2^Ç = -^?('^V,^'i;)donne<;i5^Y)aÇYi^!; = <7^^y|!;r/Tj^ç. Le produit des équations analogues obtenues en faisant parcourir à J^ les éléments de G| \ est, en posant U^cf^j;^^ a^, «s = a^a^ia^^V Or, soit 6c ^ i mod/7,

^•'j = al'^x^. On aura x'^ .^'^^ 5'-^'"a^'^^/5,Yi'2^Çri= tzF-^'2^?ri= ■'t-'i-n- ^^onc les ^^ forment un g^,.

79. Corollaire V. — Soit a = n'( pf' = pf' m (pi premier < /),+, ) un diviseur de l'ordre ab du groupe G. Si le nombre ^i( a) des e(a^ de G est égal à a et si, />our i =1, . . ., n — i, G a un epfi (et que et (ce qui arrivera nécessairement si/», divise b, car, vipta) étant ici >-v(a), il y a des éiéraents dont l'ordre divise jo/a et non a, donc des éléments d'ordre />*'"''', donc des éléments d'ordre/)*'), G a un diviseur unique de chacun des ordres p^' ... p^t" (i). En ed'et, e/ ayant un ordre qui divise a et non apj^ , v ( c/ 1 — v(a/)7') = (/»,• — A,)pf'~^ai sera > o, donc ki<ipi- D'ailleurs, parmi les v(a) — '/(apj^) éléments dont l'ordre divise a et non apj^ , chaque élément :r d'ortire m en entraine o(ni) de la forme xV-

jjL premier à /»), et m est ici multiple de pf'. Donc

(Pi- '>^i)pf'~'^(fi= lipf~Hpi—i) iki entier).

Si t = i, Pi étant <C Pi+], cette égalité exige que ai = U'.lpf' divise Âj, donc que Xi = 1. Donc ^(ap'[*) = ap~^ . On verrait de même, en se servant

de e^' dont l'ordre divise apj^ =^ d et non a'pj^, que v(rt/?7') = «yj^P (pia,) et v(ai) =«1, puis que '>{pf^ . . .pf,") =pf'...pf," (i= 1, ..., n — i). Donc le g/^a.. A„ de G est unique; de même, le g/<«'iT< /j»" 'A,,, e,i-i\ est

unique; de même, plus généralement, le •^i>'fi ... pfn JA„, e/,-i, ..., e,i\ est unique.

80. GouOLLAlRii VI. — Si un g p'j-ab {p premier ne divisant pas ab) a exactement p'J b e^,,"!,)., si ses g p'^ A/ ( t = r, ... ; A[ =: A) sont prenùers

(') BuRNSiDE, Tlieory of groups, p. lo.

70 CHMMIRr. II.

deux à deux et si tout e(/,) permutable à un A,- l'est à chaque élément de A/, G a b e^b) et le normalisant G,- (G| = G ) rfe A, est d'ordre p'^al)',

étant premier à a et ^ \ moil/j^ ('). Soil (G, i ) = p'^a! b' . I) élant le

p. g. c. d. fie (G, i) et de h en sorte que 7-, est premier à a'. Soit p'J-b'c

le nombre des &ip«i,') de G et x^= yz l'un d'eux, y étant un ^{p'j) et z un e(^) ; y et z qui sont des puissances de 37 ( 10) sont dans C z qui est permutable à chaque élément de A est le seul e,^, de As. Les p'^b'c e^,,"//) de G se partagent donc en b' c complexes A^ où figurent exactement (p^ — i)b'c e^po-b) qui ne sont pas des e(^). Aucun de ces (/?^ — \)b'c e,p'j./,) ne figure dans deux G/, car une de ses puissances serait un e^/j) ^ i qui figurerait dans

deux A,-. Donc G a exactement , . , ( p'^ — i )b'c e^p'j-/,) qui ne sont pas des e^/,^

et ce nombre doit être <^p^b, d'où c = i, a = a. Il n'y a donc parmi Xe?: p'^b i'fpf'i,) de G que b e,/,) et parmi \es p'^b' e(,////) de G que b' a^//)-

III. — Décomposition suivant deux modules. Théorème de M. Sylow.

81. Considérons niainlcnant la décomposition G = SAa7B du groupe G d'ordre fini g (modd A, B), A et B ajant les ordres respectifs a el b tous deux > i . A.r x B correspond biunivoquement à x^^Ax X B, OLxf) correspondant à x~^ax'^ quand a parcourt A et [3 B. Donc, dx étant l'ordre du p. g. c. d. D^ de^^'Aa? et

de B, Aa"B comme x~^ A.x B (et comme Ax B-z-^' ) contient -7- élémenls distincts. Donc ^=^ -j-' Pour que Ax^ = A^[3', ^ et ^'

étant dans B, il faut et suffit que ^'^~' soil dans x"* Ax, donc dans Dj..

Le nombre des Aa^B distincts dont se compose G et que l'on peut appeler indice du couple A, B dans G se désigne par (G: A, B) : c'est le nombre des classes d'éléments incongrus (modd A, B). Soit 1 un diviseur normal de A, B, G. 11 est facile de voir que si x parcouft un système d'éléments incotigi'us dans G (modd A, B), \x en parcourra un dans G|l (modd A 1 1, B 1 1) et réciproquement.

Quand a parcourt A et ^i B, y.x^j reproduit, on vient de le voir,

(•) Frobenil'S, 5. A. B., p. io33; 189.^.

DIVISKIRS. 79

flj- (ois lin clément (|ii('lc(>u(|iie ç de V,rB, doue en pari leiilier dx fois X. Donc, c.,- élanl le noiiihre des (''lénienls dislincts de Vj'B, Cxdx^ ab est le nombre des solutions (a, ^3, x) de aa7,3=:x quand a est dans \, |j dans B, x dans A.7B. Ce nombre étant indépendant du complexe VrB, on a, en posant (G;\, B) = /a2, ^c,-dx = mal), X parcourant un système de restes de G (modd A, B), ou '^djc^ ffiab^ X parcourant G. Vinsi y.x[i)^=x à mab solutions (a, |3, x) c[uand a, [îi, x parcourent respectivement \, B, G. Soil maintenant V d'ordre r/'i' (/ un di\iseui' de G = S V'./' dont tous les éléments soient permutables à A. Les x~^ \x où x parcourt A'^' coïncident et de même les dx correspondants. Donc

X parcourant les x'. L'é({ualion y.x [j = x qui s'écrit J-^' y.x = |B~.' montre que ^~' est dans x"' A.r. Si donc |j~' appartient à v des x'~^ Ax' (distincts ou non) tels que x'/^ Ax^(« = i , . . ., v) et point à d'autres, les seules déterminations possibles pour x |)armi les x' sont j;', , ...,x[,. Pour chacune d'elles, a est complètement déterminé (et dans A) par a ::= x'^^' x~' . Donc, b.^ étant le nondjre des éléments de B qui appartiennent à v des x'^* \.x' (ces^' ' A^' ne sont pas nécessairement les mêmes pour chacun des b^^ éléments), x~'' 7.x =: [j^' a Sv by solutions (a,x, [i) quand ,3 est dans B elx parmi les x' . A chacune d'elles répondent a' solutions obtenues en remplaçant.r par a' x (doncapara'a a'~' ), a' parcourant A'. On a ainsi toutes les solutions de l'équation quand x parcourt SA'^'^G et ,3 B. Donc mab ^= a' ïv b^ et pour V= A, //ib = ^y b,j.

Si A, ■< A, B| << B, /??,, «, , bi ,a,, Ti, jouant relativement à A,,B, le rôle de m, a. b, a, ,3 relativement à A, B, on a évidemment /n, ^m et (toute solution de a,jc|j|=j:' en étant une de y.x'^=^x) ntid^bi^ mab ( ' ).

82. Théokème de m. Sylow(-). — Dans un groupe Qt d^ ordre g ^= np^ [n premier à p) les g p". sont tous conjugués. Soient en elFet, dans G, A un g^,», ii un g^p([î>^a), G= SAxB la décomposition de G(modd A, Bj. On aura n = Sy?P~2^, yo^^étant l'ordre du p. g.

(') Frobemus, Cf., t. 1(11, 1887.

(-) M. A., i. V, p. âS'i ; 187;.'.

8o ClIAPITRK 11.

c. d. de x ' \.Z". B. n étant |)reinief ;i j>. un des o,-, soit oj, sera égal à ^, c'est-à-dire que B di\isera ;~' \;. Si ^ = a, B est donc conjugué de V, ce qui démontre le lliéorème. Kn faisant jj << a on voit que B divise un des x"^ ^x (Cf. 75).

Si donc un g'^i, ( a premier à h)Cj a un gf, normal \, \ est le p. p. c. m. des e^a) de (1 (77).

8'^. M. Svlow a également démontré que (j a toujours des g^a(que l'on peut a|t|)cler les group)es de Sylow de G) en nombre ^ i mod p. Ce résultat déjà rencontré (73) dans un théorème plus général ])eut être légèrement précisé. Soient C d'ordre n'/)'^( /) =zn' n") le normalisant de V dans G (A étant l'unique gy,». de G: tout élément de G permutable à C l'est à A et appartient à G; donc, s^ C << G, C n'est pas normal), 13 un ^p?l A, G = SGxB, D^- d'ordre /?^.> le p. g. c. d. de B = S/Da^^a-j-et de x^' Cx. On aura n" = I,pP~^x. D'ailleurs, xî).rX~* étant dans C puisque D.^. divise x~'Cx, G^ B s'écrit liCx bjci et Cxb,ri est ^Cxbxj sans quoi bj-ib~j serait dans x~*Cx ei par suite dans D^. Dès lors les éléments r = J^^.r/ forment un système de restes de G (^modd G, i) et, G n'étant permutable qu'à ses éléments, les y~* Gy sont les n" conjugués distincts de G (e/ de même les y~^ Ai' sont les ti' conjugués distincts de Pi.). Ainsi pour chaque x {x parcourant seulement un système de restes de G ( modd G, B)) on a les y^P""^ conjugués de G b'^x^'^Cxbsi àonX^ le p. g. c. d. avec B = ^;j B6j-/ est è",- D.r6.r/. Donc, // étant le nombre des .r^'G.r ayant avec B un p. g. c. d. d'ordre /j?'^^, celui desy~' Gj^ayant avec B un |i. g. c. d. d'ordre />?"•/ sera Ij pi et /?"= S lip^ {i = o, i , . . .).

Soit ^ = a, donc B = A, et écrivons Jalors /,/ pour /,. G ne contient aucun élément z de x~^ ^x hors de A, car Aj^j serait d'ordre >■/>*. Donc ù^ n'est égal à a que si x est dans A et /c ^ =: i . Donc n" =■ \ -{- kp et Z,,^ i i«od p. hipj' est le nombre desy~^ A rayant avec A un p. g. c. d. d'ordre p^~'. Donc, si p^~P est l'ordre maximum d'un p. g. c. d. de deux y~* \y, on a A, = o pour / <C p ei kp ^ o mod />P. Si inversement kp'^o mod p9 et ^ o inod/>P+' , P ordre maximum d' unp. g. c.dSde deuxy~^ Aj' est ^/>*^P, sans quoi kp serait ^ o inod />?+' ; pour p = i cet ordre maximum est />»"' à moins que A ne soit normal : pour p paonne peut rien dire.

DIVISKIKS. 8l

Voici (It.'ux applications ( ' ). Si A est cyclique et si nlp"^. G a un gi,'p normal > i. Car ky étant alors nul, deux y^ '^y ne sont jamais premiers entre eux. Soit donc B| > r un p. g. c. d. d'ordre inaximun) de deux y-^ \y. B] divisera norniaienicnt i -\-\i p (\ir: i ) y ^ h. y et par suite leur p. p. c. m. Mj. Si Xj = />■, Bj est normal dans G. Si Xi ■</(:, il y a hors de Ml un > ' ky A^ ayant avec un g/,» de M,, donc avec Bj (ol), un p. g. c. d. B;) >i et <B) qui divisera normalement i -i- ^2/? ( X2 > ^i )jK"' A j^. On peut supposer B2 d'ordre maximum après B; et l'on obtiendra de même B3, .... B, étant toujours > i, on arrivera à un B >i normal dans G.

Si n^p'^, G a un gp»-i normal. Car il y a un gp'^-i lU) divisant normalement (7a) I -i- X/j (X ^ i)jK~' AjK et par suite leur p. p. c. m. M d'ordre ^ /)^+^/' ((57); n étant =p-^pP, on a M = G et \\\^ est normal dans G.

Il y aurait évidemment intérêt à étudier k consiiléré comme fonction de /> et /) considéré comme fonction (ic/>. M. Burnside a énoncé à cet égard les propositions suivantes {M. M ., t. XX \1, kjoi ,p. 77 ). Si k = 2, i -4- 2/? est un nombre premier ou une puissance de 3 ; si A- = 4, i -^ !\ p est un nombre premier ou une puissance de 5 ou est égala 9.

8i. Soit D d'ordre d r:= ^j j/^'^1 (y premier à /> ) le normalisant (Tiin ij^p^ 1^ = A. dans G. Chacun des g>P+T de D est dans un x"^ A.x distinct, car si l'un des .r^' k.x en contenait plusieurs, son p. ii,. c. d. avec D serait d'ordre '^ p'^'^'^ . Supposons que le p. g. c. d. B' de \, D soit un g/jP+r et observons de suite que B' est toujours un ^'>.2+ï quand B est un p. i'. c. d. maxiniuiyi de deux y '^ \y (c'est-à-dire qui ne soit contenu dans aucun autre diviseur de deux y~' ^y) sans quoi B serait normal dans un g;,?+, A >- B' et tout r~' Ky contenant A aurait avec V un p. g. c. d. i;B'> B(7o). On a vu cjue chaque x~^ C^ ayant avec B' un p. g. c. d. d'ordre /*■/ donne lieu à pjv>+l~J conjugués ayant avec B' des p. g. c. d. d'ordre /y conjugués dans B'. Donc le nombre des conjugués jK^'C>' de C qui ont avec B' un p. g. c. d. contenant B (normal dans B') et d'ordre pj^'^X' (y, 1= v étant le maximtim de yj), c'est-à-dire le nombre des y~' Xy où B a y>*~P~Y.r conjugués, est multiple dep^CTr. En transtormant par y"' on obtient dans Au un système conjugué complet de p'-^^^'^Xr g^p (conjugués de B dans G) correspondant à celui cjue contient y'^ Ay. Ainsi les conjugués de B dans G qui se trouvent dans A s'y trouvent par systèmes conjugués de p^~P~Xy groupes ((^-'r^"^)- Soient alors À le nombre des conju-

( ' ) Maillet, C. /?., t. CWIII, p. 1188; i8g'| ; Annales de Toulouse, 1895, D. 7 1896, A. 5.

8l CIlAI'ITRi; 11.

i^ués l>(, = B, B|. ... <!«' I> <l;iiis (i, /. le iKiniUrc de cnix t|iii sonl dans A. Si Von coinijtc une lois cliactia des x l), (|iii soûl dans cliacnn des i + Ay> conjiimK's \, de \, ce qui en donne x (iH-/>y>), chacun est répélé autanl de fois qu "d y a de \/ à le eontenii-, cestà-dire l(,z=\-\-ljj l'ois. l)oiie x ( i +/./>)= A( i -h //> ), cl ((nnnie ^ p'-^n' (i -^ kp ) p'^n' ( \ -^ Ip)

80. 5'/ B et B, ^ c^' Br sont deux complexes ixtrimi iix dons A et conjugués dans G, //^ sont eonju gués d(r/ts(]. Car B sera normal dans :; Ag~' ; V et z \.z~' divisant doue le i;i-ou|)e D des éléwienls permutables à B \ sont conjui^ués et il y a dans D un élément t tel que t"^ z \:; ' / =: A, donc z~^ l = c est dansC,:? = tc~\ c~' B) c := ^~' B/. ^ B (puisque t est dans D).

<S6. Si V> est un p. g. c. d. maximuu) de deux y~^ \r tels que \ et V, , le normalisant D d'oj-dre v/>h+T ( v premier éi p ) de B dans G contient des éléments d' ordre premier ii p qui ne sont pas permutables à \ ( ' ). Eneffet on a vu ((Si) que le p. i;. c. d. de D et de tout r~' Aj(^ >> B est un g/,?^v (B ne divise donc que les y-^ Vr qui ont avec D un p. <j. c. d. d'ordre /»^'+T). D contenani au moins deux gyu?+Y qui sont ses p. ^. c. d. B', B', avec A et A| res|)ectivemenl, v est > 1 , et 1^ contient des Cfvi qni ne peuvent être tous dans G, car D, p. p. c. m. de ces e(v)" et de B', diviserait G et contiendrait B' normalement (tout élément commun à G, 1^ est permutable à A et à D donc à B').

Chaque gpP+^(p ^ o) ^ a de D divisant par hypothèse un seul y~* Ay, le groupe des éléments de D qui sont permutables à B' est le p. g\ c. d. de G, D. De plus l'ordre maximutn du p. g\ c. d. de deux g'pP+y de D étant p^ le nombre de g'p^+-; de D, c'està-dire le nombre des y~^ Ay > B, est ^ 1 mod /A' (Si).

87. Si B esf un ,:^p'.i norinat dans A sans l'être dans tous les y-^ Ky. il y a dans G un élément î dont l'ordre /, premier à /?, a un diviseur s tel que les ^~'Bï'(/ = 0, .... s — 1 ) soient distincts et permutables {- ).

(■) Frobenius, 5. A. li., iSf)'), p. 176; Iîuunsidk, /-*. L. M. S., l. WVI, p. aoij ; 189.5.

(-') BuiîNsiDK, Tlieorv, p. 100.

DIVISIU HS. >S )

Soient Iniijnuis I» le iiuirii;ilis:ml df IJcIaiisGt'l A' un (les ^^' A;K "e divisant pas 1» où l> a Ir moins de conjugues, c'est-à-dire que le p. g. c. d. E (> lî ) de D, A' est dOidie maximum, ïi divise un des conjugués de A dans I) (|ue l'on peut snp|)Oscr être A. Soient F, F' les normalisants de E dans V, A' respeci i\cmcnt . V el F' sont > E; donc F' ne divise pas D. '^roul li/.j de (i (pii conlicnl I*" est dans G, car un k" ' A )' <|ni le contient, eontenanl F >• l{, esl dans D. Donc, dans ] F, F' ; = (|' d'ordre /'/>?(/" premier à />), si deux g//f -X>, rA>' contiennent F, F' respectivement, c/L est dans D et A-' n'y est pas. Donc cila est ^ A^' et /'>i. Les Cj/) de (j', ^, ;',... , ne permutent pas exclusivement entre eux les conjugués de o-U qui sont dans D car | JU,^. ç', . . . \ ? G est d'ordre Afp9 (77) donc égal à ()' ne contiendrait pas rW. Soit donc ^ d'ordre f premier à p, tel que ^~'cAi^ = Jl/'. e/l." étant hors de D. ^^'B; est ^ B sans quoi B serait normal dans ^-'A^. Si ^*" est la |)rem.ière puissance de ^ permutable à B (s divisant nécessairement f), les ^-'Bç' ( i = o, ..., s — ij seront distincts et normaux <lans E puisque E, normal dans F et F', l'est dans Tj'; donc ils seront permutables.

88. Si V (r ordre ah divise G d'ordre g^=.anb et si toiil facteur premier de b est n^ A a un divisew normal dans G dont t^ ordre est multiple de ^ ( ' ). Car soit b = b' p^^p premier ne di\i.saiit |)as b' . \ coiilient un "^p"-^^ el la décomposilionri =;SB.r \ tloiiiie/i' =2:^y>°'~'^", /v^r étant l'ordre du p. g. c. d. de x'Bx el de A. p étant ^/?, tous les o^ sont égaux à a et A contient tous les conjugtiés de B dans G {x peut être pris arbitrairement dans chaque B.r V) donc aussi leur |). p. c. m. M^, normal dans G. Comme on |)eut raisonner de même pour chaque facteur premier de h^ A contient le p. p. c. m. M des M^, normal lui-même dans G et d'un ordre ^o mod b. Si «^i, M^ \. En faisant « = i, Z>=/>^"', n^p^p premier, on Noit de noineauque dans un g^j» tout g/j"-' esl normal.

89. Si r élément a d'ordre p'^ {^p premier) est permutable à G d'ordre g premier à p et à un système de v parties P, . . . de Çx conjuguées dans G {ce qui revient à dire que P a les mêmes conjuguées dans G et dans G } a {) a sera permutable à une conjuguée de P {Cf. 62). Car soit ^S d'ordre t: le groupe des éléments

permutables à P dans G ) a {. On aura t:v = gp'^. Or v divise g. Donc - est ^ G mod />^ et ^ o mod /v^+' . Donc M.' coiitient au

(') Froben'ius, s. a. b., 1890, |). 172.

moins un gp«- conjugué de J a ; dans G ; <7 ; et <J? a dans (j \ a \ un conjugué ^~' ^.r contenant \a\ dont chaque élément est permutable à^~'Pa7. P pourra être par exemple un di\iseur d'ordre ^P, q^ étant la plus haute puissance du uomhrc |)reinier (/ ipii divise g.