IV. — Théorème de M. Jordan. Groupes décomposables

90. Une suite G, A, B, ..., i de groupes en nondjre iini dont chacun est normal maximum dans le précédent (et continu fini si G est continu fini) se nomme inic suite ou série de composition de G. G I A, A I B, ... sonties g /oupes /acteurs, (G, A ), (A, B), ... \es facteurs de la composition. Si G, A', B', ..., i est une autre suite de composition de G, la série G | A, A | B, ..., coïncide à V ordre près avec la séi'ie G | V, V ! B', . . . ( ' ). (On |miuii a donc parler des groupes facteurs, des facteurs de G). Le théorème étant évident pour les groupes simples, supposons-le vrai pour tous les diviseurs de G autres que G. V et A' étant normaux inaxima, G ^ A A' et G I A, G | A' sont simples ; si donc D est le p. g. c. d. de A, V, A I D ^ G I A' et A' I D ^ G j A (67), D est normal maximum dans A et A' et le théorème est démontré pour deux suites de composition de la forme G, A, D,E, ..., i et G, A', D, F, ..., i . Or il est supposé vrai pour les deux suites A, D, E, . . ., i et A, B, . . ., i comme pour les deux suites V, D, F, . . ., i et A', B', . . ., i . Donc il l'est pour les deux proposées.

Il est clair que, si F ^ G|H (H normal dans G), la série des groupes facteurs de G se composera de ceux de F et de ceux de H (03). Un groupe fini dont tous les facteurs de composition sont premiers est dit résoluble. Ainsi les groupes abéliens et les g^a (^ premier) sont résolubles (75 ). Pour qu'un groupe G = Go soit résoluble, il faut et il suffit que la suite de ses dérivés successifs (oo) G), Go, ... se termine par i , car (63) si G,= G/+i , aucun groupe facteur de G/ ne peut être d'ordre premier, et si G/>- G/,.|, G, j G/^.) est abélien (-).

( ' ) La coïncidence des séries (G, A), (A, G), ..., (i-, A'). (A', B ), ... à l'ordre prés a été découverte par M. Jordan ( C. /?., t. LWIil, p. 257; 1869). M. Hiilder développant ensuite l'idée de .AI. Jordan établit celle des séries G| A, ..., G I A', ... (yW. A., t. XXXIV, 1889).

(') Miller, 5. M. Am., t. IV, p. i36; 1898. Cf. \av.. Continuierliche Qruppen, p. 548.

IUVISELIIS. 85

91 . Les <j;i()ii/)es Jdciciijs de coinposifion (V un diviseui- 1,' de (i sont isomorphes chacun à (in diviseur d' un i^roupe jacleur de composition distinct de (1. Ru ellet, dans lasuile de composition G, ..., \, B, ..., C, D, ..., I, soit B le preniicr groupe qui ne contienne pas i,', b le p. g. c. d. de B, i', et A'=B^-^A leur p. p. c. m. ; b est normal dans g^ B dans A' et o- 1 ^ ^ V| B est simple, puisque B est normal maximum dans A; donc b est normal maximum dans g. Soit de mrine I) le premier des groupes B, ..., C, D, . . . qui ne contient pas b, C ^ Db, et d le p. g. c. d. de IJ, b. On \oit de même que b \ d ^ G \ D et que d est normal maximum dans o'. En continuant ainsi on obtient une suite décomposition g, b, d, . . ., I de g où g\b, b\d, ... sont isomorphes respectivement à <les (li\ iseurs de A | B, G | D, ....

92. Une suite G, V, B, ..., i. où chacun des groupes A, B, ... est normal dans G et maximum (oO) parmi les diviseurs du précédent qui sont normaux dans G, s appelle une suite ou série de com- \ii^■i\\\o\\ principale Aç,^j\ G| A, A| B, ... ?,oi\l\e^ groupes facteurs (G, A), ( \, B), . . . les facteurs de la série. Tout groupe G admet évidemment au moins une suite principale contenant un diviseur normal donné de G. D'une suite de composition on ne peut pas toujours déduire une suite principale par la simple suppression de certains termes. Ainsi le g^.» défini par a' = b'-= i ^ bcd) ^=. cv^ admet la série de composition \a^ b\^ \ a-^b \^ \b\i i .' en y supprimant \b \ on n'a pas une série principale parce que \a-^ b \ contient ; a- ; normal dans 1 «, b \. Mais d une suite G, ..., A, L,..., i dont cliaque groupe divise le précédent et est normal dans G on peut toujours déduire une suite de composition par l'insertion de nouveaux groupes. Car soit k un diviseur minimum de A contenant normalement L, H un di\ iseur minimum de A contenant normalement K, ... et A, B, G, ..., H, K, L la suite ainsi obtenue; en intercalant des groupes analogues entre deux termes consécutifs quelconques de la suite principale on aura une suite de composition.

La série G i V, V) B, ... des groupes facteurs dune suite principale G, A, B, . . ., I coïncide à V ordre près avec la série G | A', V I B', des groupes facteurs d^ une autre suite principale quelconcpte (j^ A', B', .... i. (On pourra donc parler des groupes fac-

86 ciiAPiTiii; II.

*,)3. Dans une sitile de coniposilioii d \, lî, (^ K, L,

M, ..., 1, soient \, \. (leur diviseurs notiiKin.r de (i eo/ts('culifs : A|L est le produit direct de ^roufx's si/n/>/i's isomorphes à V\\\ et conjugués dans (i|L. Soienl, en ellel, B= I),, 1);^. .... J3h les conjugués de B dans G, tous normaux dans A, el, en |)osanl A = B,, := Ao, A/ le |). g. e. d. de A/, , B/ donc celui de B„, ..., B/. Si A/, esl ^ L, il ne divise |)as lous les B/ : je supposerai que B/ esl un de ceux qu'il ne divise pas el que Aa^L(a^^). On a A = A/, B/, A/, |A, ^ A|B/ ^ A|B groupe simple. Donc les A,- sunl les termes compris entre A. et L d'nne suite de composition de G, et pour (pic la série des groupes facteurs de composition reste la même quand on i-emplace seulement G, ..., K par A,, ..., A^, il fant cpie A|B ^ B|G ^ . . . ^ KjL. Su|)posons prouvé que A/|L est le produit direct de a — i groupes du type AjB, ce qui est évident pour i=^rj, — 1. Soit A) le p. g. c. d. de A/,, B,j,, . . ., B^. Gelui de A/, A'^ est Tensemble des éléments communs aux B,, c'està-dire L. Or, A, et A^- étant noi'maux dans A/ , , et A, normal maximum dans A/(, A/, = A/A'^ . Donc (67) A/,|L est le produit direct de A/| L, A^- 1 L e^ A|B ( A| , p. g. v.. d. de a — i des B, et ayant J^ pour p. g. ('. d. avec B/, joue un rôle analogue à celui de A5j, dans une suite de (-omposilion de G). Si d'ailleurs les groupes simples dont A|L esl le produit direct formaient dans G|L plusieurs systèmes conjugués, le produit direct de ceux d'un système serait normal dansGjL et << :\|L.

On voit que tout groupe invariant tuinimum de (i est le produit direct de groupes simples isomorphes qui. si Gr est résoluble, sont dordre preniier. .l'appellerai principal tout groupe de ce type {Cf. II).

Inversement, tout diviseur normal \. de G, produit direct de g/-oupes simples non cycliques Bq, ..., H,( conjugués daiis G, est normnl minimum ; car un diviseur uorinal iiiiniiniiin <C Vde\rail être un produit de B,- (7ii) et les B/ sont tous conjugués. Si les B/ sont cycliques le théorème peut être en défaut. Vinsi, dans le

itivisiaits. 1^7

j;r'<»M|)<' (léliiii |)ar ''/f = b" ^ \ , ((,(/./,:= a^d/. h ' aih = (Ii^k (/> |»rfinici': /, /.• ^ I , . . ., // ; '■^.,„ =: fi,-) 1 «i, . . ., «« ! esi hoi'ukiI.

*e)i. Si \ csl. le central du ;j;r()U[)(! (i, (ji|\ = G a une ijiiporlauce |Kiili(iili<Te el scia dil le cogrédient de (1. l'Iiis piM-cisrinciil \ =: V, sera le premier central el C ^= C^ \e premier cogréclienl de (1; le /'"'"■(/> 2) rv'////Y//de (j sera le diviseur \/ répondanl dans Ti an ceiilral \/| \, , de dj V,,, el G| A/= Gj sera le i"'"" cogi-édient. c/e G(Ao= I , (^(1=^ G). Il y aura évideiniiieiiL une \aleur uiiniuia iji.(^o)de /, telle que V/ = Vfji pour /'^ [J..

Si a, est l'ordre in<ixinuiin d'un élément de A/|,\/^,, a/^., est^y.,. Gir si c//^, esl d'ordre a,,,,, uiod V, dans V/,,, el si ./■ esl (|ueleout|ue daus G, ou a ./• ' r//)| ./■ = r//,, r//, a/ élanl dans A/, i\\)ù ./■- * /i^' ,./■=: af:, uîod V, , el V/,r/f;, sérail normal dans G| V, 1 hors de \/| A/__, .

Aucun élément A»-^ V de G|A = ;SA:: ne peut être une puissance de tous les autres^ ear si \i>'= V:;''', g^ de la forme (!.z^ («étant dans V), esl permutable à :;, et si cela a lieu quelque soit ;, g doit être dans A. Donc G|\ n'est jamais liani il tome n (08 ) ( ')•

Tout élément a cie A^ est permutable ci tout commutateur x~^ y~^ xy de G, car on a ,r~' .'/.r = a^, )~'«j- = r/Yi, ç, r^ élanl dans A, d'où a~^ x~^ y~' xya = x~^ y~* xy.

9o. Si Aj;, = G, G sera dil spécial. La suite 1 , V, , . . ., A|j, = G des centraux sera dite suite ou série spéciale de G, el u la spécialité de G. Les groupes abéliens sont de spécialité i . Les j^roupes de spécialité 2 seront dits meta hé liens.

IM). y>(^/ propriété fondamentale d'un groupe spécial G c/ ordre \\'[' p'f' [pi premier =2= /?/, ) est rju' il est le produit direct

(') MiLLKK, 5. .)/. .4m., t. VI, p. i.K); 1900.

88 CllAl'ITHK II.

de ses g a,. {Un g «, étant toujours spécial (00), la récijjroque est évidente.) En efl'et, sup|)os()ns le théorème \rai pour les ordres <; (G, i) et soit X = \x\ un g^^ de A.. G|X, homomorplie à G, étant spécial sera le produit direct de P'JX d'ordre /?*'""', P^.jX d'ordre />*-, ..., P,„|X d'ordre /?*;", c'est-à-dire que chaque élément de G|X sera de la forme n(a/X) ^ ^7, . . . «/„X («/ parcourant un système de restes P^ mod X); rt/X et «aX seront ])ermutables, et tout élément de G sera de la forme ax . . .a„i.x^. Mais si a,X et rt^fX sont permutables, «^^ P^r/^ := P^. Or, si Vj{J^%) est un " rj.. <\c P;^= P,X, P,, ])ermutahle à x. est normal dans P, et P' est le produit direct de P/ et de X (67), chacun d'eux étant ainsi unique de son ordre dans Py . On a donc r/^' P,rtA = Pj (Pi = P', )• Chaque P,- étant ainsi permutable aux éléments des autres, G est le produit direct des P/ (71).

97. On remarqiiera([ue si Vjj, ^ i , G| Ajj. ) n'est pasc) cli(/ue ( '), carde G= S Vfji,.3:'P résulterait G| S.^^-2 = -( \^.i | Vjjl 2)( Au.2.rP), et comme X^,__2X est permutable à ses puissances et, par hyj^othèse, à chaque élément de Au., | A[;,2, G| Vj^-a sei^ait déjà abélien. Pour (G, i) ^y9*', on en conclut que (A, i) est ^yj*'~', et de nouveau que, si a, = 2, G est abélien. Si G = 'A, x, y. ...1, sans être abélien, a tous ses diviseurs abéliens, G = 1 J?, J", •••[•, car \x^y, ...\ est <G et n'est pas abélien; ainsi le rang (lo) d'un ^p^ (p premier) non abélien est 2. Si G = J ^^-i, -2", y, • . . J est d'ordre /?°' et si (A,-, Ai t ) = p pour /< tj. — I , le groupe \ x, y, . . . J = B coïncide avec G. Car, en le supposant prouvé pour les groupes d'ordre -<(G, i), on aura G|\^!A.r, ^.y, ...{ ou G = AB, A étant d'ordre /> ; or si B était premier à V, le central A' de B étant > I (60), celui de G serait A' A > A; donc B = G.

9<S. Tout élément de A,.,., | \/ étant normal dans G} \,, on |)eut évidemment intercaler dans la suite spéciale entre A/^, et V/ des grou|)es formant une série principale où tous les facteurs sontpremieis.

On i'oit <pi(' toute série principale de G sera une série de

Cj Yoiing, /l. ./.. t. W. 189.3, p. 102.

DIVISKIUS. 89

coniposilioii (mais non r(;(i|)i<i<|iicincnl (92)). I.a séiic |)nn(ipale ainsi formée n'csl |)as néccssairemenl iinH|iic : ainsi le j^^,. {p [jremier) défini par dP' -^rz hP t= cP ^= \ ^ Ir' ab = «, c~ ' ac-=- «, c~' èc = èrt^ adniel la séi'ie |)rinci|)ale 1, \aP\. \aP, b[, \aP,b,c\, }a, b, c\. Mais dons ton le série /)rinri/i<ile d'un i',,^ le diviseur cV ordre p est foriué d' é/éntenis normaux (60^.

99. Si V et 1) sont deux i^roupes eonsécu tifs d une série principale du groupe spécial G, chaque élément de \|l) est normal dans G. Car soil ( \. B) =/>(. \^ eonlienL hors de B un élément a dont Tordre est un midliple de />, et tel que A = S',''Ba'. Il suffit de montrer que tout élément x d'un g «, arbitraire est permutable à Br/. Si / ^ 1 le théorème du n" 96 donne ra = ax. Si « = i et si B^~' ax = Ba^, d'où Hx'^^a x^^ B<7='\ on a, en prenant pour q l'ordre/?'' de .a?, a^î" ^ i mod /j>, , donc a^i. Inversement , si tout groupe facteur d' une seule série principale G, ..., D, i cV un groupe G a ses éléments normaux dans G, G est spécial. Supposons, en efi'et, le théorème vrai pour les groupes d'ordre <C(G, i). G|D sera spécial. Donc, d'après la |)roposition directe, dans toute série j)rincipale de G|D, chaque groupe facteur aura ses éléments normaux dans GjD. Or G|D a (92) une série principale S où figure A.,|D, A) étant le central de G. G aura donc une série principale i, ..., A), ...,B, G, ..., G formée d'une série principale de A, et des autres groupes répondant dans G à ceux de S. Si (î = ^x. C = S Bj)/-, on aura

On peut donc supposer que la série donnée pour G contient A,. Or, aux groupes de la série spéciale dont nous admettons l'existence pour G| A( répondent évidemment dans G les groupes d'une série spéciale.

190. Soient G, .. ., A, 13, ..., i une série principale et. 2", j)/" deux éléments d'un groupe quelconque G. Si \|B= ; \\a\ est cyclique (donc simple), xy eX yx transforment Brt en un même complexe Ba*. Donc x''^y~'* xy est permutable à Ba, et de même tout élément du commutant G. Si tous les groupes facteurs principaux

l)0 cil M'ITHi; 11.

sont cycliques, loiit élcincal de G est |)primiliil)l<' à Ions leurs éléineuls. Donc G, qui fail partie dune s('iie |)iiiiei|)ale, esl spécial cl, par suite, csL prodali dliccL de ,:,'./.,, les pi étant premiers distincts. Gonsidérons, dans G, deux diviseurs normaux Q, Pi (pii soient produits directs. (^ de certains !4„^. <^^, les r/, élant premiers distincts, et II de certains i;,..V| Ry, les /•/ étant premiers distincts; Q, et R/ sont évidemment normaux dans G, de même Q<H/ et (^)R sera un diviseur normal de G produit direct de £;y.i, es .S'A- étant premiers dislincis. Il y a donc dans (i un iiroupe '^ normal produit direct de i; ,.^ (les // étant premiers dlslincts) qui contient tous les autres groupes de cette sorte. Donc 'J.' ^ G et Gj'J? est abélien comme G|G.

JOl. Soient, dans un grou|)e (ï dont tous les groupes facteurs principaux sont (;ycli([ues, V un v^po. normal ( p premier), x un élément d'ordre ç premier à />, G \a= ^^ ^a i ' •••^ ^i< ' ime

série |)rincipale, ui un élément de V, hors de A./ , . On aura

(mod A-/i ) x"^ aiX= a'', x~''^aix'^ ^ «^'s donc v;^ i niod/>, et l'on peut supposer v;^^ i mod/?=' ( '). Soit x'^ aiX^dl'ct j (niod V/, ; j^i — I); vy est ^ V, mod />, sans quoi ou déduirait de là x~''CiixJ- ^ a\Wi'j'''^ (98), d'où, pour A = ç, v/^'^om()d/>. Soit donc Oy(v, — V/ ) ^ I mod/>. On aura

a,- a?.ix ;s a)' a^^'^^'i^'i s= (^ a, a^.i )''<■ m od A /

et, en prenant c//C/^' pour «/, x~' ft /x ^ a)' luod :V/, . En répétant l'opération o/t trouve/u fl/u/leutent c// tel r/ue x~*c(ix = a'j'^ ^rj ^ I mod p'^ ( - ).

10:2. Soii (\ an i^roiipe xpécial rie central A ; si G|A a un eiy normal \x^ (i (I un coniniutateuf noiunul (t'nrdre x. D'après la propriété foiulamenliile de G, on |)eut se lioincr an cas oii (G, i)=/;"'(/j premier). On anra, y parconranl G, x "^yx — y c c restant dans A, et

(') Si VT = I -+- Ayw:'- ( a < a ), en iireiiaiil v, — AS-'/^:^ niotl /j:*+' pour v,, on aura v'-. s; I ni()(i//'^+', l'L, en répélanl l'opération, v'.;^ i niod//'-.

(-) Cf. Wkndt, m. a., l. LV', p. '(79; i()ot. Pour les numéros snivanls, Cf. Kite, Transactions of th,e Ani. Malli. Soc, t. Itl, 1902, p. 33i.

DIVISKUHS. 91

x-'^y x^ = yc^ =: y, donc c'< = i . Donc l'uidit; riiaxiiniim y ''^^ '' '"'' '^"^ ^• Mais x^Y/xy=ycy=i inonire (|iie .rï <;sl ilmi^ \. Donc % divise -; <-'-

103. Suicnl G un i^'ioupe de cent rai A, ilc spécialité s = i, j ou i, ') le /'. g. c. cl. de {s — i) l et de { G. 1 ). Si G a un cninmulateur x 'y ' xy — C3 d'oi-dre -(,G\X a un éh'nnent d'ordre h';-A), h divisant (). Dcmonirons-le, par exemple, pour 5 = 4- O" p<-iil supposer G <\'ordvr. p'-^( p |)remier). Si ^-'C:;^ = c^c-j, j'-i Cl 'K = Cof'i, "•" " |>ar réciirrcnce ( Zf, /=o pour / <<))

(1) y-'^xy"= xc'.^c^'^ ' c'j-» "^'>', y" c-iV"' = C:i('7" ') ^'""'^2/ = ^2 '"T < ' )>

d'(jLi, ponr u = r^, Tj étant l'ordre de y mod A, cf = ci'^ = C;j'' = 1. Donc -( divise Or^ et si ■/ t'st le p. :;. c. d. de r^, •(. y-"'" est d'or-die -,'' 'nod \.

Si invrrse/ne/i/ G|A a un e^ Ay, G a un coinniatalcur d'ordre k r^ :0-, k divisant 0-. Car (en supposant toujoiii-s .s = 4- (G, i) = yO^) soit y l'ordre de .r 'v ' .r>' = C3 ; y-^c\y^ c\ <^i, y~^ely:=cjc\ donnent cl = cT = 1 . t'J ( I ) donne alors K^^T.r/'Jy = x. Or faisons pai-courir à A^ un système de généraleuis de GjA et soit g le maximum .le 7. Comme y-^S'xy^^ = X, d'où Aj^'J" = A. r, divise 0,^, et comme d'ailleurs c^''=i, ^^ divise aussi Or,.

.Si Ay parcourt tous les générateurs c/eG|A sauf un, Ax^i d'ordre ^, ''^divise 6e,e étati.t le p.p.c. m. des r^. C?LVso\ly-'^xy = xc-i, x-^c^x = c^b-^, x^^ b^x = b-ibx. Comme c'j'"' = i, on aura bY' = 1 et la formule

X"'^ y .r" = y c ;; " 67- " ' b ^ -0 -'»' donne alors x '>''tyx''1 =y. Donc A.r'J'' = .\ et ç divise Oe.

104. Si G, /néfabélie/i, de central A, contient un diviseur abélicn B> A et d indice n, tout élément de G|A est un e^n-)- On peut supposer G d'ordre />^ (/J premier). Soient a? un élément de G, x'^ la première puissance de X dans B, x\'Ci{i = 1, . . ., v) (."10) les conjui^ués de .r? dans G. .rl^ étant

normal dans i B, x J, v divise -^ . c, étant ici dans A, réiément normal

n'i a7?c,; est égal à x'\>''\S^\ci et .r?'' est normal. Donc l'ordre de Ax divise ^v et a fortiori n.

(') Une somme HJ' il' ... If, ^ où (ii;iu'e n f(jis le signr i; est égale à

10."). D'autres propriftës de groupes spéciaux. trouviMonl mieux leur place au Chapitre IV. J'ajouterai seulement ici une remarque sur le produit de deux éléments x^ y d'un groupe mélabélieii G de central A. Soit x—^yx ^= yc, c étant dans A. Si ^, r, sont les ordres respectifs de .r. y, on a

T'? — 1, c?= cO = I, el l'on obtient par récurrence (xy )'^ = x^y'^c ^ ('), d'où,

^i-ifj.— Il ;j. étant le |). j). c. m. de ^, r,, ( xy jl'- = c - - Si ; et r, sont impairs ou contiennent 2 à des puissances différentes, on en déduit (.rr)^-=i. Si tous deux contiennent 2 à la même puissance (^i), on peut seulement conclure que {xy)-V- = i .

Soient/»'", p'^, />P, p^(p premier; les ordres respectifs de G, x, y, z ■= xy : une discussion obvie montrera que deux des nombres a, p, y ont une même valeur 6 et que le troisième est =^si/>>2, ;^6-i-i si/?=:2 (comme .;-• =jV'~'^~'? on peut supposer a ^ 3, et il suffira de considérer les produits X = sj—', y ^ ar-' z ).

106. Je désignerai dans ce qui suit(-) par m(X, \, ...) l'ensemble des groupes permutables à tous les complexes X, Y,.. ., par '/(U, V, .,.) l'ensemble formé de i et des groupes composants des groupes U, V, ..., et pour exprimer qu'un groupe H est maximum dans G, parmi les groupes de to ou y, ou coïncide avec G, je dirai que H est maximum dans G, w, ou dans G, y.

Si A. est diviseur normal luaxiuium du groupe C, B diviseur normal de C et non diviseur de \, on a C == \B, car \B est normal dans C et >> A. Si A était maximum, non seulement comme normal mais comme diviseur, B pourrait être un di\iseur quelconque ne divisant pas A, car AB divise G et est >- V. Si A est dans 7Tî( B, L), L étant, un complexe ^ B, le p. g. c. d. D de A, B est aussi dans ro(B, L). Car, 0, À étant des éléments de D, L respectivement, on peut trouver a dans A, )/ dans L tels que Ào = a)/ ; cette égalité montre que a est dans B, donc dans D, 6"/ L se réduit à un élément )., // n^est pas nécessaire que K soit dans\^:, il suffit que A et B lui soient permutables pour que D le soit

(') On voit que, si y est le p. p. c. m. des ordres des coniniulateurs dans G =1 Sz, les z'! forment un groupe si (G, i) est impair, et. de même, les ^-v si (G, 1) est pair.

(-) Voii\ pour la fin du Chapitre, E. Maillet. 5. M., t. \XIV, 1896; t. WVIU, 1900; C. R., t. CXXX, p. i4'l9; 1900; J.M., 5° série, t. V'III, p. i3; 1901. L'idée première a été donnée sous une autre forme par M. Joiîdan, Traité, p. 34-4o (avec une rectification de l'auteur, G. B., 1872).

DIVISEIUS. 93

aussi; car alors on a Ao = yj, = ^j)>, -i élaul dans H; donc a ^ !j esl clans D. Si enfin L est un g/'Oupe^D, D est éi'ide/nnie/ii dans Tn(B. L), même si V n'est pas dans Tn(B, L).

107. A, V\), B, C étant des groupes et D le p. g. c. d. de V, B, if A( <; A^G e^ C = A, B, donc C= AB, on aura A= A, D. En effet, B étant dans nT( \, \, ), D y est également. Donc A, D est un groupe ; soit A = A' x A, D. D'ailleurs, le p. g. c. d. D, de A,, D est celui de A,, B, car tout élément commun à A,, B l'est à A|, D et inversement. Soit D = D, X D', B = D x B'; on aura B = D, X D' X B', V, B = A, X D' x B', A,D = A, x D', AB = A X B', A = A X V, X 0'. L'égalité AB = A, B ou A' X A, X D' X B' ^ A, X D' x B' montre aloi-s que A' = 1 . On pourrait dire d'un mot : a, a^^ 6, c, '■/, d\ étant les ordres respectifs de A, A| , B, C, D, D, , l'hypothèse donne C:=ab '. d = aib '. df, dOù a= a , d '. d\. Donc \. = A| D. Mais la démonstration ne vaudrait plus pour les groupes infinis.

Réciproquement^ si C = AB et A = V, D, A, divisant A, et D étant le p. g. c. d. de A, B, on a évidemment C = A, DB = A, B.

108. Soit alors A dans 7tj(^B, lilj,, ...)=7Ty, W^i étant^ ou un complexe ^ B, ou un élément quelconque peiniutahle à B, ou un groupe contenant le p. g. c. d. D de A, B, et \, maximum dans A, ro. Pour V égalité C= AB = A, B il faut et il sujjit que, 5f A, << A, le p. g. c. d. D, de A,, 'ù soit << D, car, D ne divisant pas A, , on aura ici A = A, D. A lors D 1 est en outre maximum dans D, nî( A,, B, ii!i,, ...j. Car si un groupe X de Tn(A,, B, il!), , ...) vérifiait D>X>D,, on aurait A, D ^ A, X ^ A,D, = A, ; or, si A, X = A, , X divise A, , donc X = D, ; si A, D = A, X on a (107) D = XD, = X.

On remarquera que.ç/ A, est maximum dans A, rn ,'^(A, JU),...), ^iétant un groupe quelconque ^A, il est forcément maximum dans A, ra, sans quoi il y aurait un groupe X dans A, ra véi^ifiani A>X> A,; or, si A= A, Q, .Â./= A, R, on a aussi A = XQ, A<iz= XR. Mais si A, est maximum dans A, ra, il n'est pas forcément dans y, comme on le voit en prenant B^ A, Jlo/= A, A étant cyclique d'ordre /?"*, p premier, /?? >> i .

Inversement^ A( étant toujours maximum dans A, ra, pour

94 ClIAl'ITItK II.

que C= \}à soit > A., B, il faid cl if s/fj/il que V, soit << A et D, = J).

Alors ^ si yW^iest ou un complexe^ B, ou un élément quelconque permutable à B, ou un groupe ^ D, \, B est en outre maximum dans VB, w{ V, B, »ll>, , . . .). Soit en eftet 4, B < C'< AB, C étant (l;ius t;î( A, B, \ll.,, ...). Si A' esl le p. i;. c. d. de C. \, on aura A,<A'< A et non \,=: V; car, d'ai)n-s l'inégalité A,B<G'< AB, pour obtenir C, il faut inulti|)lier B par des éléments de AB (ou, ce qui rcMcnl au luéuie, de A) étrangers à A,. V élaut dans to(C', b. ii!>|. . . .), V y sera aussi (106) coulre l'Iiypotlièse faite sur A. .

109. Soient V,',, A"^ , A";;, ...; B';',, B"^, ... (v = o, i, ..., // ; A" =rA^; B^'.= B^.; AU=::B[|=C) deux systèmes de suites de groupes vérifiant les conditions suivantes : A'^^.est S A^, ^o///- ^ > o et^ k\:^^ pour V < /î ; B^. est ^ B^, pour y > o et ^ B^.^' pou/- V -< /i; le p. g. c. d. D^-^ de A^-, B^ est celui de A^, B'^. pour xy^o; \x est maximum dans Aj-^t^ ttj(AJ,),

TiTi B,. B.,. ... : Bj, B.^. ... : ... : B',', ... : li,. !•.. . . . ) = mu,

E/ étant un groupe ^A||B',Jow un élément quelconque (dans A'JB^ ou hors de A'^B^j) permutable aux A'', B]!; B^ est maximum dans By i, Tn(B'.),

td( Â], a,, ... : A}, ... ; ... ; A'/, ... ; lî|, . . .) = wx:

enfin A'^ est dans rn^ et B'|. dans 7îî,j. Les (Aa:,, A^;) reproduisent à l'ordre près les (Bj i, B^). (Le cas /i = o est le seul intéressant.)

Si A, = B,, on peut faire jouer à A, = B, le rôle de C. Su|)posons donc B, ^ A,. Alors A, B, étant >■ A, dans TOjj, on a C= A, B, . Si C = Aj;B^, on a aussi A^^By^ ApB.^^(c^.r, r^'^y). Donc A| = A,D|^=A^D^^, B,= B,D,,= B,Dj.,,'d'où D5,=D5,.D,,,(108), ( A^, A.r) = (D|,., D.^^), (B,„ B^) = (D.,.,„ D.,,) (67). Or, A;:, étant permutable à Bjl, Djj est dans m^ (106) et de même dans w^^. De plus, d'après ^yT)xr^= ByD?.^, D.,,, p. g- c. d. de D^yj, D^^ est maximum dans Dfj, rrf(D.^-^), TOu, si D.,-^^ l'est dans Ds-^, t;t,; (108). Or, Djo=: Aj;

DlVISKl'HS. 9")

1 Y' Lan l dans iJ^o= Aï, to,; pour z = .r — i , on xoil, en lalsaiil 'r^ = y — i et, .successivement, y = 1 . 2, ..., que D.,.>- es/ nidjiniinn dans

Soit alors C = Ajt lî| >> A-y,i H| . \rj__^\ <''laul uiaxiiuiini (lan> V^, TTT|j, on a Djii ^D.^.,^, , (IO(S) et Aa4.|l^i=H|, sans (|uoi Ij, ne serait pas niaxiniuni dans C,7n^,M( 15 [l iJone Aa-t-i ^B, , D^^, = A^+t . De plus D/,(i5f£a) est niaxiuiuui dans D/„, ,, rn( A,), -n^^. De même si C = A, Bp >> A, Bp^i , Bp^, est SA,, Bp^i=:D,p ei D|y(i ^y ^ |ii) est maxinuim dans D, / , , 7n( B^ ), to^. Enfin C = A^B, donne (C, B, ) = ( A,;, D.^, ). Donc les deux suites D„„ = C, D,,, = B,, D,,,D,,,...J\, = A,^,,A,+„...:Ao = C,A,,A,,..., A«^,,A«^,.... présentent les iii('''nies indices, et de nièuie les deux suites Do,)=C, D,„= A|, IJ,M 1^112. •••, t)i, s =!%+!, Bj3^o; B„=C, B,,B„...,Bp+,,Bp+„....()r(C,B,)=(A,,DM)et(C,A,)=(B,,D,,). Donc tout i-e\ient à montrer que les deux suites D,,, D^,, ..., Dai , Aa^2, ... ; D| I , D| j, . . ., D, p, Bp,2, . . . présentent les mêmes indices. Or IJ/,, |). jj;. c. d. de A/, D,|, est maximum dans D/, ,, nî(Ai-), ro,j, donc rt foi lion dans ra(A/), ra,), 77î(D,o, ..., D,t5) [A; étant dans ra( B,, D|y), }^^^ est dans ^(13,/)], etD|y, p. i;. c. d. de By, D,,, est maximum dans D, ,y,, m(By), nr^, tniD^i , ..., Dai). De plus D/i, |). <^. c. d. de A'/, B'^ qui sont dans to^ et Wg est dans TO^ et dans to^, et il en est de même de D)/. En introduisant les deux nouvelles suites A,, D, , , D^,, ..., D^i, Aa,., (= D^, ), ... : A,, D,,, D,2, ..., D)p, Bp^,(=D|pj, ... et en faisant ensuite jouer à D,, le rôle de C, on est donc ramené au théorème énoncé où n est remplacé par 11 -\- \ mais G j)ar D, , << C. Or, ce théorème étant évident, quel que soit /<, si C = i, on j)eut l'admettre pour tous les groupes < C.

Le théorème subsiste si l'on suppose A.,, niaxiinuin dans X^-s^ ^(-\1-)' ^in 7,(-^-'--i5 ^^"-'M • • ■)■' -W/ étant un groupe ^ A.,..,, et B,. maximum dans B^,, t77(B|.), m^, y(Bj,, \)1)^, 1 • • •), "'>>•/ étant un groupe ^Bj-,. Car alors (108) A^- est aussi maximum dans Aj;,, Tî5(A[), r;T|( et B^ dans By,, rîT(B|.), -ns^.

Ces théorèmes s'appliquent évidemment aux groupes finis continus (o7). Ils tlonnent celui de M. Jordan si l'on prend pour E/ tous les éléments de A^JB'J ; dansée cas on peut en outre remplacer partout le sjndjole (X, Y) par X| Y.

gG (iiAi'iTKi: II.

1 10. Soil M iKiiiiial dans C. Etant doiniée une suite C, A, , Ao, ... dont chaque groupe est niaxiinuni dans le précédent, un pourra toujours évidemment former une suite B,, Ho, ... telle (jue B;r, soit maximum dans Bj., Trî(A,, Ao, ...)=7T5^ et où figure H. Mais on pourra le faire en particulier de telle manière que les groupes << H de cette seconde suite soient chacun maximum dans le précédent. Supposons en effet H non contenu dans A, (on prendrait sans cela pour C le dernier des A, qui contient H) et soit Hj le p. g. c. d. de H, A/. H/, contenu dans A,, ..., A, et normal dans A/, est dans to^. On se raj)pelle que, si H A,, > HA/, ou a H/| = H, et que si HA/., = HA/, H/ est maximum dans H/,, ra(H), donc (H étant normal dans C) maximum sans restriction dans H/, ; dans le second cas A/, = A/H/„,, d'où (A/,, A/) = (H/,, H/). Si donc HA/> H A/+, > . . . > HA/+a^, = HA/^a, ï^i+k sera maximum dans H/ et (H/, H/^./f)= (A/^/v(, A/^^)- En ne retenant que les H/ distincts c|ue je désignerai par Hj^ (a/-< a/^, ), H^^ est maximum dans H,^^^ et Ton peut prendre pour la seconde suite B,, Bo,...,H = H^ , H,^,, ... où (Hj^ ,, H^) = (A5^ , A^ ).

111. On remarquera que si un groupe G est composé sans être décomposable, il faut que tout diviseur normal H de C soit contenu dans tout diviseur maximum A sans quoi HA serait > A et ■< C. De plus, si H est normal maximum, tout diviseur normal H' est ^H sans quoi HH' serait > H et << G qui est indécomposable. Enfin G I H' est indécomposable, car si G | H' = X | H'. Y | H' etG=:SH's,X = SH'^,Y=SH'r, on aurait I(H';) = ^(H'x)S(H» d'où G= XY. Enfin (G, A) ne peut être de la forme p^ (p premier), car si (G, i)=:/?Tc (c premier à/?) et si B est un g^v de G, en sorte que le p. g. c. d. de A, B est d'ordre p'^'~^~^ (s^o), on a (67) G = AB.

En toute hypothèse, pour qu'un groupe quelconque G soit décomposable, il faut évidemment et il suffit qu'il admette deux diviseurs A, B dont luu V contienne un système de restes de G (modd B, i).

GROUPES ABELIENS ET IIAMILTONIENS.