II. — Décomposition suivant un module. Homomorphisme

06. Soient A, B deux diviseurs (distincts ou non) de G, et a, />, X des éléments quelconques de A, B, G respectivement. Le complexe Aj"B ne change pas quand on remplace r par axb. Donc deux complexes AjjB, Ay B nont aucun élément commun à moins de coïncider. S'ils coïncident, on dit cpie x &ly sont équivalents ou congrus selon les modules A, B, et Ion écrit x ^y (modd A, B). S'ils sont distincts, Bj?~' Aet B^~' A le sont aussi (sans quoi on aurait y~^ = bx~^ a on y ^ a~* xb~* ) et réciproquement. Si donc G = ï AxB représente la décomposition de G en complexes distincts Aj:B, la décomposition G = SBj?~' A fournira le même nombre de complexes. Je dirai que SA:rB est la décomposition de G (modd A, B), et que x y parcourt un système de restes [modd A, B) (^ j. Quand l'un des modules sera l'unité, et qu il n'y aura pas de confusion à craindre, il sera sousentendu.

07. Soit d'abord B = 1 . Chaque Ps.x (ou chaque .r~' A) contient alors autant d'éléments que A. Pour que [Kx)- ^ Ao^il fautcjue^r soit dans A. Donc A est le seul des \x cjui soit un groupe. Le nombre des A.r (ou des x~^ A) distincts en lesquels on peut décomposer G = SAx = A X ^x (ou G = (Sa?~' ) X A), se nomme,

(') Cf. Lie, Transformationsgruppen, t. I, p. 547; t. III, p. O79; Miller, A. J., t. XX, p. ^77; 1898.

(^) Le groupe linéaire L(/>"',2) {voir les compléments) en fournira un autre exemple pour />>3.

(') Cauchy, Exercices d'A/ia/yse et de Pliysique mathématique, t. III, p. 24t {Mémoire sur les arrangements, etc., § XII) ; i844; Dedekind, N. G. G.,

62 ciiAi'rrKK II.

du moins quand (î esl dénomhiahli;, 1 indice de A dans G, et se désigne par (G, A.), (G, i) est l'ordre de G. J'étendrai celle définition au cas où G n'est pas un groupe, pourvu que G = SA.J? ou G = S.z~' A. Si (G, A):=2, G élantun grou|)(', V est normal; car, X étant hors de A, r A doit coïncider avec :\.r. On a évidemment (G,A)(\, i) = (G, ,).

Si G est un groupe continu de points (x,, ,.., :r„), je supposerai que chaque Aj- est dans G une variété k p dimensions, c'est-àdire qu'il corres|)ond biuiitvoqueinent à un ensemble de points kp coordonnées, et que ces variétés forment un faisceau à n — p paramètres, c'est-à-dire que leur ensemble corresjiond univoquement à un ensemble G' de points à // — p coordonnées. Dans ce cas, on est amené à entendre par (G, A) el à appeler indice de A dans G le nombre n — p des dimensions de G' au lieu de son ordre qui, pratiquement, n'intervient pas : on a alors (G, A)-H(A, i) = (G, i).

58. Voici quelques applications de l'importante relation (G, A) (A, i) = (G, I). Si A et B d'ordres a et b sont deux diviseurs de G d'ordre g^ et si A est normal dans G, AB = BA divise G. Le p. g. c. d. de A, B étant normal dans B, on conclut que, si B est simple, ou bien B divise A, ou bien ab divise^'.

Si G est le produit direct des grouj>es A, B, C, . . ., d^ ordres premiers entre eux deux à deux, tout diviseur G' de G est le pro duit direct des p. g. c. d. A', B', G', . . ., de G' avec A, B, C, . . ., respectivement. Gar tout élément de G' est de la forme abc..., «, 6, . . ., parcourant res|)ectivement -A.^ A, il^^B, . . ., et .1, ilï>, . . . sont évidemment des groupes. Si d'ailleurs [j. esl l'ordre de bc... premier à (A, i), G' contient (^abc)y-= aV- donc «, donc cA». Donc X<A' et G'< A' B'C . .. €omine G' est forcément >A'B' G'. ... on a G'^ A'B'G'. ... il est nécessaire que les ordi'es de A, B, . . ., soient premiers entre eux deux à deux : ainsi pour A défini par aP^\ [p premier), B |)ar bP=i, C par cP=^i, G a le diviseur \abc\ premier à A, B, C.

Un groupe d'ordre premier p est cjclic|ue car l'ordre d'un élément ^ I doit diviser/».

Dans le groupe des quaternions d'ordre 8 il n'j a que des diviseurs d'ordre i, 2, 4, 8 : comme il y a un seul élément d'ordre 2 et

Divisi'.i lis. 63

six (I OimIic i, il y a exaclciuciil un (li\isciir d'ordre 2 el trois d'oi^lrc \ (|iil sont cycIkiiics. On vrrilic siins jx-inc (I'2) (|uc ces diviseurs sont tous invariants, \ussi a-t-on donné le nom (V//a/ti//tonicns aux «groupes jouissant de cette propriété.

Il peutarri\ei' que les di\iseurs sans être tous inxaiiauls soient tous permutables. C^'est le cas (iu <;s défini |)ai' a''=b'-=zi, b 'ab = a\

o9. L'ensemble B des éléments du groupe G qui 'ionl permutables Cl -l. ^ S ( \/), les parties V/ étant contenues dans G ou non, est un groupe, car si 6~' ol, ^ = e.l.>, c ' .•l.c = =,l), (6c)~' -l, />c = A., donc B-^ B et B contient évidemment l'inverse de chacun de ses éléments (si -l. est un groupe ^G, B contient -U). Je dirai que B est le normalisant de cJl, dans G. Le p. g. c. d. de B et des normalisants des \i dans G, c'est-à-dire V ensemble B^ des éléments de B permutables à chacun des A./, est un groupe normal dans B; car soient ^0 dans By, b dans B hors de By et b~^ Aib = \/;, on aura (^ ' bo ^)~' Aa(/>~' b^ b)= A/;; donc b~^ b^^b est dans B,, et B„ qui est manifestement un groupe est normal dans B. Soit G = SB^: la décomposition de G (niodd B, i). Les éléments de Bx transrorment<i,l,en.r~'"^li).r etcesontlesseuls,carsi^~' r\s>y=^.r^^A;X^ d'où xy~^ rhyx~^ ^ l,, yx~^ est dans B donc y dans ]àx. Ainsi les conjugués de -\> par G coïncident avec les x~^ -A^x, x parcourant un système de restes de G modli; leur nondne est donc (G, B) et divise (G, 1) (on remarquera que x * A/.r ne parcourt pas nécessairement tous les transformés de A/ par les éléments de G) x^^^x est évidemment le normalisant de .r ' e;l).r dans G.

60. Supposons que chaque A/ se réduise à un élément, que d, soit un groupe et B un g^,™ [p premier). Si alors A est le groupe formé des éléments de A> permutables à chaque élément de B, la décomposition de o\9 en classes d'éléments conjugués par B donne immédiatement, l'ordre de chaque classe divisant yo"*, (,^1,, i)^( \, 1) mod/>. Si donc al> divise B, (A, i) étant ^ i sera ^p. SÀnû tout diviseur normal d'un i,'7y"B contient des éléments ^ \ normaux dans B.

Si cjI) =: A, est une partie de G et si les conjugués de A'> dans G sont encore conjugués dans leur p.p. c. m. M, onaG =^ MB. Car,

64 CIIAI'ITKE II.

o: étant (jiiclcon([iie dans G, soil m dans M tel(|ue/;i~' \.in =x~' Ajc; on aura inx^ V^//«~*= A; donc xni~^ est dans 13 et x dans MB.

61. Un diviseur A. du groupe fini (1 /«e peut j>as contenir des éléments de tous les systèmes conj ugués en lesquels on peut décomposer G. Car on aurait G = S V/, Aq^ A, \|, . . ., étant les conjugués de A. Or soient y, a <^ y, [ii ^ a les ordres de G, de V et du normalisant de A dans G. Le nombre des conjugués de A

sera ,(• Comme chacun d'eux contient i, SA/ contiendra au plus

^ (a -^ i)-|- I éléments, nombre <C Y*

62. -Si un élément e est permutable au groupe fini ij et à un système \ A | d'éléments conjugués a, ... de G, e est permutable à un élément de G {Cf. S9). Supposons en efïet le contraire et soit e~*ae^= b~Wib, b étant dans G; e6~' sera permutable à a. Or eb~' est un conjugué de e tlans G\e\, car e, n'y étant permutable qu'à ses puissances, a autant de conjugués x~'ex dansGjej qu'il y a d'éléments x dans G et ces conjugués coïncident à l'ordre près avec les e^ puisque e est permutable à G. Si donc e/^~' :=c~' ec, cac~* ^ a', c~'ec étant permutable à c^'a'c, e sera permutable à l'élément a' de A.

63. Si A est normal dans G = S A^, \.x = x\ et l'on pourra toujours dire que x parcourt un système de restes modA sans qu'aucune contusion soit à craindre. Alors les complexes \x sont les éléments d'un groupe d'unité A (et à n — /> dimensions si G est continu à n dimensions et A à /> dimensions) car (S A.r)- = S Aie, A^. A = A. Ax = Ax, A.r. Ax~' = A,^:"* . A.3? = A. Le groupe des

\x se désigne par -? G î A ou G|A. A^ étant alors considéré

comme un élément unique d'un nouveau groupe doit être plus

précisément désigné (A) par (A^): j'écrirai aussi parfois —7- »

Aa'lA, ou Au?|A, ou simplement \x quand aucune confusion n'est à craindre. On a donc G| A ^ S( A:r)= SA^|A. On dit que G|A est complémentaire ou réciproc/ue de A, qu'il est le quotient de G par A, un groupe facteur de G et que G est

DIVISKIHS.

Si V est le commutant c?e G = Kx H- h^y +. . ., G| A est ahélien ( ' ), car \..t ky = kxy = iK.yxy"^ x~^ xy = Ajk A^ ; inversement si (j\^ est abélien, B contient le commutant, car, x^ y étant quelconques dans G, on a ^xy = Bj'.r et B contient xyx^*y~^. Si donc G est parfait aucun gioupc facteur de G n'est abélien.

G|A n'est déjà plus un groupe abstrait puisque ses éléments, indépendamment de leur loi de composition, ont des relations avec ceux de G. Ces relations établissent entre G et G| Aune correspondance univoque où à chaque élément o- de G répond l'élément A»^ de G| A; donc à kg de G] A répondent les éléments de G qui composent Ai,', et en particulier à l'unité A de G| A les éléments de A; au produit xy de deux éléments .r, y de G répond le produit A.r A)'' =: kxy des éléments de G| A répondant k x, y. A chaque di\iseur de F = G| A répond dans G un diviseur B contenant A. Si B = SA5 est normal dans G = SBr = S A^, B| A l'est dans G| A et réciproquement, car \.r^' As A^ = Aa?"' zx. Donc A est invariant maximum dans G toujours et seulement si G|A est simple. On observera que G | A = SS ( .\ zy) = SS ( A s) ( ky) = SB | A. ky \ A. Donc Gl A : B I A Z3= S(B I \. \r j A ) = S( B^r) = G| B. Si A' est normal dans G'=SA'.r' et si GG' est le produit direct de G, G', onaGjA.G'i A'=S(\^)( V^')=GG'|AA'. Si A.- est un commutateur de G|A, kz est de la forme A.r~' Aj-~' Ax Aj' d'où z^ x~^y~^ xy modA, et si z^x\y~^xy est un commutateur de G, As en est évidemment un de G| \. Si donc z parcourt les commutateurs de G, le comuiutant de G étant C= iSsi, celui deGjAsera ;S(As):= ACJA.

()i. Inversement et plus généralement supposons entre les groupes A et B une correspondance telle qu'à chaque élément de A réponde un élément au moins de B et à chaque élément de B un

(') .MiLLKK, Q. ./., l. WVIH, p. îC)-; 1896.

élément au moins de V et que si oi de A et Iji de B se enrrespondent, aiaïf et 6,-6/f se correspondent aussi. On dit que :\ et B sont homomorphes. Alors les complexes \o, Bq répondant aux unités de Bet de \ respectivement sont des groupes normaux dans A, B respectivement. En elTet, si ^o/? I'i\k sont dans B,,, boi^^ok répondant à I de A sera aussi dans Bq ; donc Bjj= B,,. De plus 0 et bi étant deux éléments de B répondant respectivement à aj^ et à «,, bbi et bib sont dans B„, donc b dans B,)6^"' et dans bj' B^', tous les éléments de B^bj* ou de b~^ Bq répondent d'ailleurs à a~'. De même pour Bq^/, biB^ relativement à «/. En particulier les éléments répondant à i ' de A forment le complexe b'J B(,^ donc ^^^!B„=Bo; donc />^/ est dans B^ et Bq est un grou|)e. Eniîn à aj' ai= I répondent tous les éléments de bj' Bo.B„6i= bj^ Bq bi, donc bj' Btibi= Bq. Donc Bq est normal dans B et de même Aq dans A. A un élément quelconque cii^ai de Vor/^ répond en particulier \ bi=: bi, donc tout le complexe B,)ft,. Donc S( AoC//) et S(Bo^>/j se correspondent biunivoqueinent.

Si Aq et Bq sont ^i, A et B seront dits fraclionnairement homomorphes , ou homomorphes avec correspondance (a, ^)(a = ( Aq, i), ,3 = (Bo, i)) ; on dit encore que S. est a-|3-morphe à B, ou que A a un homomorphisme a, j3 avec B, et l'on écrit B (on peut laisser vide la place de a ou de ^3 lorsqu'on

ne veut rien préciser). Si Bo= i, A sera dit multiplement liomomorphe à B et B mériédriquement ou partiellement /lomomorpJie à A. Si A,, = B^ -= i , \ est isomorphe à B, ou simplement homomorphe ou hol()é(lri(/uement homomorphe à B : j'écrirai alors A^ ^ B. A et B étant homomorphes, on a toujours A|Ao^B|Bo. Prenons par exemple pour \ le groupe des quaternions déiini par «'• = i , «- = />-, b~^ab=^a'^ et pour B le groupe défini par aj=^i, aiak^auai (i=i, 2, 3, 4)? et soit Ao^lrt-j, Bo = ;«,-, «A,; AjAo^BlBo sera le groupe carré. Supposons encore que B = SBo6« divise A;=I]Aoaj et (jue B,) soit le p. g. c. d. de B, Aq. Comme />//>' ne peut être dans Ao sans être dans B„, les bi sont incongrus modAo et A = SAoè/=AnB(c/. 67).

Si A, est normal dans A et si B, lui correspond dans B, B, contient évidemment B„ et est normal dans B; car ./• ' A, x = A|,