I. — Groupes abéliens infinis

112. Ln groupe abélien G qui ooiilient des éléments d'ordre infini est évidemment le produit direct du groupe formé de ses éléments d'ordre fini et du groupe formé de ses éléments d'ordre infini.

Supposons G dénombrable et sans éléments d'ordre fini.

Le rang de G n'est pas nécessairement fini ; car si G est, par exemple, le groupe des nombres rationnels composés par la multiplication ordinaire, eucun groupe dérivé d'un nombre fini d'éléments de G ne pourra contenir tous les nombres premiers.

Il V a néanmoins un cas important où Ton peut affirmer que le rang de G est fini. C'est celui où il existe un nombre /• tel que : i" Entre p éléments quelconques <-/,, . . . , <^<p de G // y ait toujours, si p >■ /•, une relation de ta forme 11^ «f ' ^ i , les a/ n^ étant pas tous nuls, sans que cela ait toujours lieu pour o'£ /•/ a" dans les relations n^"^'a*'==i entre /"H- i éléments quelconques a,, ..., «,.,., de G, les rapports de r quelconques des a^ au dernier restent toujours supérieurs à un nombre fixe > o.

Soient en effet «i, ..., r/,., /• éb'-ments de G entre lescjuels nexiste aucune relation de la forme !!«*'= i oii les a/ ne soient pas tous nuls. Tovit élément a? de G vérifiera une et une seule équation de la forme x^^ n'irt^^', ç étant minimum, et toutes les autres équations analogues que vérifie x se déduisent de celle-là en multi pliant tous les ; par un même facteur; car si x^' :=^ \\\ a]'i et si â; -h )/;'= 0, A, a' étant entiers et o étant le p. g. c. d. de E, ç', x^

esl de la forme W\ar''^''^' • On peut donc repn'sentcr c par les p rap])orts ;, : ç = X/.

q8 ( IIAI'ITIUC 111.

Considt'ions l'ensemble E^ des x pour lesquels, X.ç élaiil >- o et ^ 1 , les X/ où «est > s sont nuls el les X/ où / est < 5 sont ^ o et ^ 1 {as par exemple appartient à E,L E,, est fini sans quoi on pourrait y trouver deux éh'-ments dont les X, correspondants différeraient aussi peu (pic Ton \eul (') et les X, du produit d'un de ces éléments par l'inverse de l'autre seraient d'une petitesse arbitraire contre l'hypothèse. H y a donc un élément bs de E, pour lequel X,f est minimum. Soient [^^, ^i^/, B^/ les valeurs correspondantes de i, Çt, X,. Si les X/ d'un élément ;r de G sont respectivement < B,7 et ^o, on voit successivement que \r ç, sont nuls

el que .r =; i .

Déterminons mainlenaiil des entiers À,., A,- i • ••• tpl^ que

X,- -^U\ ^^/. ^li = >-/ B,7 + Y,-, ( \,. = À,. B,.,. + Y,.. Xi 1 o el < B,-,- ,.

Si Y,= r^/:Tj, les Tj, r,, étant entiers ^ o et û x^= yW\b'-\ on aura j^''i^?--f^r = (n(7P')-Pi ••• ^. Donc \/ jovie relativement à r le rôle de X/ relativement à x^ et comme Y/ est ^o et <C B^,-, y se réduit à i . Donc a? = Ilè'' et />,, .... br est une base de G (il est clair que les 6/ sont absolument indépendants puisque toute relation de la forme nè/'= i entraine, en l'élevant à la puissance [îi . . . ,3,-, une relation de la forme Wa]'=z i ) (-).

113. Soit G un groupe abélien dénombrable de rang fini /;, admettant la base a,, . . ., «/, et n'ayantaucun élément d'ordre fini. Les équations de G sont rt/«A= «*«/, «/«j' ^^ ^h^ ai= i et G est évidemment le produit direct des groupes } «/,, rt^' ',.

Soient Z>y= n*''(y = i , .... v) v éléments quelconques de G, a! étant la matrice ('') des a^y. Peut-on leur adjoindre d'autres éléments ^v+i' • • - b,,', tels que les bk-, 6y, ' (/v = i , ..., /?/) forment une l)ase de G. Soit />a^ W'\a^'^[k = i , . . ., ii). 11 faudra d'abord que

(' ) Si l'on partage l'ensemble \ des points ( \,, .... X^) caractérisant les x de E, (aucun des X,, ...,X^, d'après la construction de \, ne peut être infini) en deux ensembles quelconques, l'un d'eux X' sera infini, si X est infini. En répétant celte opération, on obtient des ensembles où l'écart il 1 X, — X' 1 de deux points (Xp ..., X^), (^^Xj. •••: XJ.) a un maximum d'une petitesse arbitraire.

(-) Cf. Weikrstrass, Neiier Beweis ei/tes Hauptsatzes der Théorie der periodischen Functionen von mehreren Verànderlichen (Mo. A. B., 1876).

(3) Voir la Note II.

GROUPES ABÉLIENS ET HAMII.TOMENS. 99

6,, ..., h,,' soieul indépendants, c'esl-à-dire (lo)que les ('Cjualions II/>}^=:i ou S^^ , a//, 7yi,= o enitaîncnt y^z=...^=y,^'=zo, donc que /«' soil ^/? et (ju'iiii (h'Ierininanl dOidre //de la matrice a des a,A tel que S dz a, , ... y.„n' soit ^ o. Il faudra de plus que l'on puisse exprimer les a par les h, c'est-à-dire que Ton j)uisse trouNcr nn' entiers ./-/^^[Jx = i , ..., // ; /=i, ..., n) tels que '^l=i<y-i/<^ki= eii{^i/= o pour i^l, £//=i). Ov si n' <. n^ les n' premières équalions du système qui répond à /=/?'-)- i exigent que les Xi^u'jf.\ soient tous nuls ce qui contredit la (//'+ i)"^'"'" équation. Donc /?'= Il et le rang de a est n. Mais alors les équations ^y-ikXki^=^ tii montrent que le produit du déterminant |a| de a par celui des x^i est égal à i. Donc |a| = ± i et il est clair que cela suffit pour que l'on puisse résoudre en nombres entiers chacun des n systèmes répondant à / = i , . . ., n. Or | a | est une fonction linéaire des déterminants d'ordre v de a'. Donc il faut que ces déterminants soient premiers entre eux : cette condition suffît d'ailleurs pour que Ton puisse former la matrice a ( ' ) de déterminant ± 1 qui détermine la base 61, . . ., b,i cliercliée.

Un système d'éléments 6|, ..., b^ pouvant faire partie d'une base est à'ii primitif .