II. — Groupes abéliens finis

114. G étant un groupe abélien iini, G), G^, ... des diviseurs de G = nG/, la forme 11.^/ où Xi parcourt G/ fournit chaque élément de G le même nombre de fois (3o), ce nombre se réduisant à I si les Gi sont premiers entre eux deux à deux. En particulier soit o-, , . . ., g,,^ gi ('tant d'ordre y,-, un système de générateurs de G. .a:/ parcourant les nombres o, ..., y/ — 1, chaque élément se présentera sous la forme II «"^'' le même nombre de fois [jl et (G, i)= - riv^.

1 lo. Tout groupe abélien est un produit direct de groupes cycliques. Il suffit évidemment de le prouver pour un >^p'^{p premier)

(') Voir la Note II où l'on trouvera aussi (211) hi forme générale des matrices qui répondent à la question.

(^) Cf. Frobenius und Stickelbeuger, Cr., t. 86, p. 217; 1879.

abélien A. Définissons les diviseurs A, et les éh'inenls d^ de A par la condition (jue Ja j)reniière puissance de a\ contenue dans A/, = j « j , . . . , d^ ,1 ( Ao =^ I , Av = A ) soit d'exposant, niaxini um a,- (donc a/^., divise a/). 11 y a dans A/, a'^- un élément cii d'ordre minimum et précisément égal à a/. En etïet on peut prendre «, = «',. Soit jpo'arrza^ d'où I = ^T^i = «*' ^ ' *- ; on voit que \ est multiple de ao. Supposons prouvé que a,, ..., «p) existent et que, dans x°'f-i =: Hij^'aj', les ç/ sont multiples des «„,, quel que soit x dans A, et soit «p*? = 11 =-'«"<>' d'où ap*?-' = nP-'aO-'^f-'^''?. «p^'f-' étant dans Ap 2, il faut que ap divise 7]p,, et d'après notre hypothèse ttp divise rj,, . . ., r^p^o. On pourra donc prendre «p= a'p !!?"*«""'''•*?. On voit que Ap est le produit direct de Ap( et de j ai\.

On peut encore énoncer le théorème en disant que A admet une base ( lo) r/, , ..., «v, en sorte que tout élément de A se présente une fois et une fois seulement dans la forme \S.\ aj'ixi^=z i , . . ., a,). Il sera commode d'adjoindre fictivement à toute base de groupe abélien un nombre indéterminé de générateurs égaux à i .

116. Soient B de base 6i, . . ., br; (bi étant d'ordre pi ç. p,u] ) un diviseur de A = ) B, a J, a = aj l'ordre de a, a.i{^'Xi^i ) l'ordre de a mod B,i, en posant B,^^ Y-i>\^ ..., 6/J, Bo = i, et supposons a d'ordre minimum dans Ba {il l'est donc a fortiori dans B,a); on pourra trouver une base de A où figure a. Si ai^ (3i, a est d'ordre maximum dans A et l'on peut le prendre pour premier générateur basique. tSoit donc P,-i>ai^p, et prenons pour premiers générateurs basiques 6i, ..., 6/i. Si a,-^p;, B/ia contient, d'après ce qu'on a vu (ll">), un Ca, et aussi a; donc a,.;ai; donc a, = aj, et l'on peut prendre la base 6], ..., è/-!, a, .... Soit donc S,,> a,^ py (y > i) et prenons pour premiers générateurs basiques b\, . . ., 6,-1. En répétant le même raisonnement on obtient la proposition énoncée.

117. Appelons en général aiitomofphisine d'un groupe Q = X -{- y -\-... tout isomorphisme de G avec lui-même {Cf. 19); et, si, dans un automorphisme, les correspondants de" ^, y., ... sont x' ., y' ., ..., disons que cet automorphisme leinplace x, y, ..., par x'., y\ . . . respectivement. Un diviseur de G que tout automorphisme de G remplace par lui-même est dit caractéristique.

Si ap, ^ap=:: . . .^ a^ >> a(j^,, tout e^^ de A est de la forme o = n'ja^'*'"*fn^^, a';', A(7+i, ..., Àv étant quelconques mais un au moins des autres A étant premier à p : pour que la première puis-

GROUPES ABÉLIENS ET HAMILTONIENS. tOI

sance de o conlenue dans Ap , soil la ai^'""', il laut el il siillii (|ii'iin au moins des nombres Xp, . . ., À,y soil [ircmicr à p. cp,- élanl un e^^^ où ).,.(o^r ^0-) est preuiier à />, on ohlieni é\idominenl un auloluorpliisme de A en rem[)la(;ant a^ pai- 'ù,., a,, par (7p(si /-^p), et chaque aufi-e «/ par lui-même ('). Soil alors />,, ..., h^- une base de A, />,• élanl d'ordie ^,i^ [î/^, et posons J/y,, ..., ^p j = Bp (^Bo= I, Bv'= A). Il y a un automorphisme de A où «, est remplacé par 6j, car [3, = ai est l'ordre maximum d'un élément : sujjposons qu'il y ait un automorphisme de A remplaçant a,, ..., a^\ par />,, ..., ha-\ respectivement. Il remplacera a^ par un élément ^' dont la première puissance conlenue dans Bp, est à la fois maxima, égale à l'ordre de cet élément et à ap. D'autre part, ba étant un élément dont la première puissance contenue dans Bp.( est à la fois maxima et égale à son ordre [jp on a ^jp=ap et l'on vient de voir qu'il y a un automorphisme remplaçant ^i , . . ., b^^ , Ap par A,, ..., />p i, />p respectivement. Il y a donc un automorphisme de A rem|)laçant «i, . . ., «p par 6| , . . ., Z^p respectivement. Donc les nombres a,= ^3/ et le nombre des générateurs ^ i de la hase sont des imYt riants relativement aux diverses bases de A. A étant complètement déteruiiné pai" a^^ ..., a^ on dit, si ciLi = p^t, que A est du type (A,, ..., ),v)i Tordre des A dans la parenthèse étant indifférent.

118. Plus généralement, soient G un groupe abélien d'ordre N = n'//>*', les Pi étant premiers distincts; A/ son g^a^ admettant la base <■//,, ..., «7,,^ (v/î!v/,,) ou «/,, ..., ai^ (v^v,) />f'*^ l'ordre de aih {'J.ikù'^-t,k+\ ; y-ik^ o pour A" > v/). Les éléments §'k'= ^l'I^ik (A' :^ I, . . ., v) d'ordre yA= ^'Ipf"' forment une base de G oc> v^^, divise y/,. Une base jouissant de cette propriété sera dite normale.

Soient A,, ..., A^ une base de G, y)/;^^ !!"/>?'* l'ordre de Aa, ^/= N/?~*'. A/ sera évidemment le produit dii-ect des ) à'f'\- Donc 1es/>P'* reproduisent à l'ordre près les />*'^ On voit donc que les plus hautes puissances de pi divisant les ordres basiques sont des invariants égaux aux invariants de A/. Formons avec

(') Plus généralement, si le délerininant des X,n ( t, A = o, ...,q) est premier à p, il y a un automorphisme de 4. où a^. est remplacé par c,, = Ilf a''*:*'-*» n^i^ja''^ (A" = p. .. ., œ) les autres a étant conservés ( Cf. 128).

lOa CHAPITRE m.

lesypf'^ un lablcau doni la i"'"'" ligne soil yy^", ..., pf''. ïouL .syslènie d'ordres basiques est un système de produits obtenus en prenant un élément dans chaque ligne du tableau sans jamais prendre deux fois le même élément. Le maximum du nombre des générateurs (^ i) d'une base est donc S^ el le minimum v,.

119. Le rang de G ef;i v,, car si ^>,, ..., /;,- est un système de générateurs donnant gi^=i\\\h^'^ et si /-^v,, on peut trou^er des Xh non tous divisibles par/;», tels c[ue '^h^Ji^Xh^ o \woàpi el alors n^^'*^ serait une puissance />',^""', ce cjui ne se peut.

Le rang d'un diviseui- G' de G est Svc G' étant le pi-oduit direct de ses p. g. c d. respectifs A^ a\ec les A/ (58), il suffit de prouver le théorème pour le cas où G se réduit à V,. Or le groupe des e, , de A,, qui est d'ordre l>\{^^\ est le rang de A, ), contient le groupe des e,^,^, de tout diviseur de G.

120. Dans toute base normale les ordres basiques sont yi, ..., Yvj, l'ordre de la base étant V|. Les y,- sont donc des invariants relativement aux hases normales. On |)eut les nommer invariants normaux. Considérons une base quelconque d'ordre a-, et soit <r/(7 x+i le p. g. c. d. des produits À à A des ordres basiques. Les plus hautes puissances de/?/ di\isant respectivement rf,, d.^^ ..., sont /?*', le produit des v/ — i plus petits /'f'S celui des v/ — a plus petits pf''- Les plus hautes puissances de />,• divisant respectivement ^j. -^i ••• sont donc «?", />f''- Donc -7^^ y,, ...,

-r-^ ^Y/, C'est une nouvelle définition des invariants normaux.

121. Soit />(, ..., hn une base de G, h^ étant d'ordre [ii^. Pour que les équations c/= Wb^' {i^^ 1 , . . ., /i'; A' = i , ...,/?) soient résolubles par rapport aux bk^ c'est-à-dire pour que j C) , . . . , c« J = G, il faut et il suffit qu'on puisse trouver nn' nombres Xii{l == i , ..., /? ) vérifiant S,yA,-^</^ eA^modJii^ {^k/= o si /.• ^ l; zii^= i). On trouvera dans la Note II les conditions générales de résolubilité d'un tel système. Je me bornerai ici à quelques remarques. Ecrivons le système de congruences sous la forme S,y/;/.r,7H- ^/f.rA/ = £/f/ e' considérons le système partiel Sx répondant à une valeur ), de /, les x et les y étant les inconnues. Supposons nuls tous les déterminants d'ordre

GllOl PES AISKMKNS ET lIAMlI/rO.MKNS. 1()3

/•-h I (/■■< /' ) <lii litl)leaii (les coefficienls, el soilA un (Ic-lciiiiliiiiiiL non nul d Ordre /'. Il v iiiii;i iiii moins une \aleui' de / [)oiir la<|tielle les seconds ineinhres des é(nialions doni /• eoeffieients (igurenl dans A x ronl nuls. AJais alors un des délerniinants oaractén.sli(|ues de S> est égal à A^o et S) est incompatil)le. Donc r = // et les n (''(fuddons de chaque Si so/tt indépendanies. Supposons II' In. Il suKil évidemment ([u'un seul des déterminanls d'ordre n du tableau des v/,.,- soit premier à (G, i)pour que le système des congruences soit résolul)le. Mais cela esl-il nécessaire? Soit o-, , . , ., o^ une base normale de G, gj étant d'ordre yy ( y/ diN isant yy,) et 1,^=^1 g^j'\ Ci=ï\.jg]K Y'j^ = :^/t'{!>jk-(/,i. Pour cpie j C|, . . . , c« j = G, il faut et suffît que les équations Yti^'j-x'^.^ eji' modyy (/'=!, ..., V,) soient résolubles par rapport aux œ' . Or ces écpiallons montrent que la somme des produits <ies déterminants d'ordre v, des y' par des déterminants d'ordre v, des x' est ^ I motl^'v . Donc les déterminants d ordre v, des "' (et de même ceux des V, d'après un théorème connu sur les déterminants) ne peuvent être tous divisibles par un même facteur premier de yv^. Si donc (G, i) es/ une puissance d'un nombre premier p et n'^n, pour que ;C|, ..., c«'j^(i, il faut et suffît qu'un des déterminants d'ordre v, des v soit premier à p.

122. Si G est principal d'ordre p'\ pour que \c,, ..., cv | soit d'ordre p'\ il faut et suffit <piun des déterminants d'ordre r du tableau des y/ip{p = ' 5 • • -^ '' ' ■'>'^'f ^ <* mod/>, car c'est la condition nécessaire et suffisante [)our cpie l'équation II cfe^ 1 exige

Zf ^. . .^ 3,.^Hi o modyo.

Le nombre N),'^^ des gpr d'un gp" abélien principal est, en posant ^'^^{p'^ — i)=to.,., w^ : m,-T;T„,.= JN);^,j^. Cela résulte d un théorème plus général (34) dont la démonstration se traduit d'ailleurs immédiatement en langage abstrait pour -=^p [cf. 128).

1:23. Le produit m de tous les éléments d'un groupe abélien G est égal à 1 sauf si G contient un seul e^. Car, si G contient x, ii contient x~^ qui est ^ .r, sauf quand ./^ = i . Donc nr est le produit des 62, qui forment un groupe abélien principal B. Soit ôj, ..., 6^ une base de B; on aura

TTv = nôji . . . 6p? {xi=o,i). Donc ro = ( 6, . . . /^p)2'~' qui n'est y^ \ que

I04 CHVl'ITRi: III.

J24. J regroupe al)élienG=:S.r de base normale i'", , ..., i'v, SiClanl d'ordre v/( -',, >- i) admet t'-x idcmincn! Iedi\i.sei]r |j?]''^'", ..., •i?'!]" ' ^'v | , y'- divisanl y/, et, si y^' divise en outre y|. ^ , les g(''^' en forment une base normale. Inversement si G=.1^j'' , de hase normale «', , . . . , ^v, gj étant fVordre y'^, divise G, y) divise y/. Tout d'abord il est clair (|ue, 5/ le groupe 1^"^, ..., gt/, des .rP a an rang <ii^ p e^t divisible par y/. Or le groupe P des .r"'' est de rang ■< / et contient le gjoiipe P' des x'^', en sorte que le rang de P' est, a fortiori^ < M 1 19). Donc *7 est divisible par v|.

11 résulte de là que le p. g. e. d. D des deux diviseurs particuliers de bases normales respectives o',', . . ., g[';'\ g-\\ . . ., g';' (/',• et 5,- divisanl y,) est, en désignant par li le p. p. c. m. des deux nombres /•/, 5,, ; g\\ . . ., g!/{ ; car ce dernier groupe divise évidemment D, et il a l'ordre de D, puisf[ue le «'"""'• invariant de D divise

yr. //d'où (D, i)^n^.

Soient A un g^,a (p premier) abélien de type (a,, ..., av) (a;>a/^.,); {ii, .. ., {■!>„ les valeurs distinctes des a/(,3/> ,j/+,); r,- le nombre des a égaux à pi' r^ +. . .+ /',= R/ ; A/ un di\iseur de A de type (a^, ..., a^) {a'-^a'-^^); [i\, ..., [i'^. les valeurs distinctes des a' {{i'■^'p'■^^ ) ; r'- le nombre des a' égaux à [i'- ; ap,= J^/ > ap.+i- Le nombre N des types de A', lorsque [îi,, . . ., [i'^, sont donnés, est le nombre des manières de choisir les /■)(^i). Or, r'■^ étant fixé, /•^- peuL prendre p, — r'-^ valeui's (/„= o). Donc N est une fonction JN(o,, ..., 0^') des p/ où i'^'j'. En prenant successivement /•; = p,, . . ., I , on obtient N(p,, . . ., p,.)=y^^ N{i,, p^, ..., p^), puis, en répétant cette décomposition,

W ( p,, . . . , p^') = Sp„__p, Sp,,-.^ . . . Sp^,,.^,^ V.

Le nombre N'(s , o^ ) des types de diviseurs de A do//t les

invariants sont égaux à l'un des nondtres p^' s obtient de même en admettant pour r- la valeur o : N' se déduit de N en remplaçant, dans l'expression de N, les indices su|)érieurs p^ — i. •••- po — ' respecti\ement par po, ..., pu •

Pour qu'une valeur de ct' soit admissible, il l'aul et suffit que A ait un diviseur de type (fi',, . . ., Ci^) et par suite un di\iscur Ao de type (o-'. G-'— , iV Représentons a,- (Rp</<Rp,^, : a,-= ^p.)

GROl'PF.S AltKI.IH.NS ET IIAMILTOMENS. I05

par le poial [i, [îip ). Les poiiils lii;uratif,s analogues relatifs à <A, sont tons sur la droilc (D) x -\- y ^ ct'H- i , et |)()iir (|iie A, soit ^A, il faut et suffit (|iie les («', |3p ) soient tous, relati\cjnent à D, du côté opposé à l'orij^ine. Or, la parallèle à D passant par (f, |Sp ) est .r + r = / H- [îi,^ et c-oupe O) au |)(»inl ( o, / + [ii,^.). Il faut donc et il suKil que n' soil au plus éi;al au |)lus |)etil des nombres

125. Si K est un diviseur du groupe abélien G, G a an diviseur ri, ^ G I A. Il suffit de le prouver pour le cas où G est d'ordre />^ (/j> premier), car si G = BC, (B, i) étant premier à (G, i) et si B', C sont les p. g. <-. d. respectifs de V avec B = 5B'jk, C = SC^s on a (oS)A = B'G, G = S B'j'SGg = SAyc, donc G I A ^ B I B'. C I G . Or, soit <"/,, . . ., On une base du g^,». G, ai étant d'ordre y.i = /?, A,:= J «,,..., «^ ;, B/= | (ti^t, ...,«« j, ^<= ^-/+i 1 ^p^ î'.p^.t = a,/. Supposons le théorème vrai pour les groupes d'ordre ^y)'^ et soit d'abord A=]a\ d'ordre />. Si A divise Ap, G | A := Bp . Ap | A, et si A ^ Ap [ A divise Ap, le diviseur BpA de G est = G | A. Si a a la forme b'^n-P^ b = îV^af'' '■='", les Xi où i '>■ p n'étant pas tous multiples de /?, on peut prendre b pour c/p^, ; alors A divise Bp, et l'on peut raisonner de même.

Soit maintenant A d'ordre ^p- et admettons le théorème pour les diviseurs d'ordre -< (A, i). A' étant un diviseur d'indice p dans A, G aura un diviseur ^ G | A' et G | A' un diviseur ^; G | A.

-A, pourra être choisi en général de différentes manières. Si, par exemple, A a une base de la forme ah, ..., a'^", [ii,- divisant a/= [irfi, on aura G = ASc^[ ' . . . a'//' (,r, = o, . . ., [ii,- — i ) , et l'on pourra prendre d, = ] a]', . .., al" \ en faisant correspondre naT'"' de A, à An^/;' de G| A.

126. Deux diviseurs particulièrement importants d'un groupe abélien G = S:r sont le groupe E5:=E8 d'ordre £5= îg formé des 6(8, de G et le groupe P?'^ Pg d'ordre iz^^Trg formé des x^. Soit G == S/Ega?/. 11 est clair que tout élément de Pg est de la forme J?^. On ne j)eut avoir x''^=xl car Xixj/ sérail dans Eg et Ega^/=: EgiP/v. Donc, les x'î étant tous distincts, P?^='^x] et (G, i)=r£g7:g. Soil G d'ordre /?«, de base «,, ..., a^, ai élant

io6 chaimtuh: ni.

d'ordre />='', a/i! a/^, , av > o. Si o = />^ el api^ À > ap^., , une hase de Lg sera a'^ , ...,«^' ? , r/p^,, ..., a^ elti= p ^ So'. bi

0 ^=p, Zp = p^ et celle équation détermine le ran^ v de G.

Soient G d'ordre X{'[pf= N (les pi étant premiers distincts) un groupe abélien de base normale ^i, . . ., ^,^^, gk étant d'ordre v^.; G/ le gp»; de G de base r//,, . . ., «,,^ , a,/, étant d'ordre /?*•% ^ik=^i,k+\', v/>v,^., ; o = no/, 0/ = /^^', a/p >À/> a/^p.+,. On aura Es^nEa':, £§= no^'/?J''P,+'"^'"^'''-',<3''.; pour o = Y,,^, £8=:B^.. Ainsi le rang v, est le maximum que puisse atteindre l'exposant de 0 dans les ordres îg qui sont des puissances de o (.s'/ donc S8= o pour toute valeur de o, G est cyclique) et i%^ est le plus grand nombre o di\isant N pour lequel sg^o'^i, ce qui montre de nouveau l'invariance de y,^^. vSi o divise y^j et est divisible pary^^.,, on a £g= o'^yçy j, . . . yv, et cette relation n'a lieu que si Z di\ise yo- et est divisible par y^+i- On peut donc définir y^ comme étant le plus grand diviseur o de N vérifiant cette équation, ce qui montre de nou\eau l'invariance de v^^. De même, puiscpu^ sg-g^ N, la relation 7tg^ y, ... y^ \ o'^ a lieu toujours et seulement si o divise y,j et est divisible par yo+i, en sorte que v^^, est le plus petit diviseur o de y^ qui la vérifie, y, est le plus petit nombre o vérifiant Ttg= i.

Revenons à un g^a (/> premier) abélien G de base «i, . . ., <7v, «, étant d'ordre p^i^p^i+x et soit rj=.p'^^ ap^ A >> ap^, . On aura, en posant ap^, + . . . + av= .s'p, tp^ = p'^9+^^^ ey— = />t^~*^P+'^î, î/)^ I £/>"'•-■ =/>P ; ? = '}(^) est le nombre des invariants divisibles par /j'^ et 'K^^) — ']>(). + i) est le nombre des invariants égaux à p^ . On voit que ']>()v) — '|/(À-|-i) est toujours ^o, c'est-à-dire que Zp>-'.Zp>-' est divisible par s^j^+i ; î^>. et par suite aussi, puisque £g^^a:7îg, 7û^5.-i : TipA par 7Zp\'.~p\+'. Comme on a évidemment ^p\^^ = pO~+\)'i^{\+n + [^ha)-'ij{l+i)]\+s^^ le quotient est

Le nombre des eg est Zpi- — tp\-^=^ ^//'•(' — />^'i"'^') (').

It27. Un eg ./■ d'un g^ (N =:: W p^'i les /j, étant premiers distincts) abélien G est dit primitifs si It première de ses puissances qui soit dans Pg est x^=^\ . Si l'on a ô := n o/= o/A,- (o/ premier à Ai),

(') Cf. Hkffter, Cr., t. 119, p. 263; i8ç)S.

GROUPES ABÉLIENS ET UAMII.TONIENS. 107

ùi= p}', X = 11^7/, Xi étant cV ordre o/, x, est an e?^^ piiniilif de (j o//, ce qui revient au même, du g-pf, Gi de G (P;; étaiil le produit (lirecl du jiv^,-»; de G el de P^"', si une puissjuue de r,- autre que x]'=^ 1 est dans P^. elle sera dans P^î); car si x]' était dans \^?j. pour ^i<;ôi-, ^^A= jp^'*^' serait dans Pg, produit direct des P5. Inversement, si les Xi sont des e^. primitif s, x ^=Uxi sera un es primitif. Car si x'^ es! dans Pg, x^^'^x'j^' sera dans Pg'; ; donc 9 sera divisible par 6/ el |)ar suite par 00^= ù.

Considérons donc un jj;^,« (p premier) abéllen A de base a, , . . . , «v, (fi étant d'ordre />"' , el soit ^ = Il'j rt^?' un es(o=yo^). Si ap>^^>y-p4.i, Ç/ est divisible par p^r'^- pour f^p et, par suite, rpp^-i__ (nÇrt^'^/')/''' est dans Pp^-. Donc il n'y a pas r/'eg primitif, si 5 n'est pas un des invariants.

Si 0 =1 /)'== p<^^ est un in\arianl et si y.p,'>- a,;,^, =...= ap >■ ap^, (uL <; oj, A^,= ;«!,..., rtjj, I n'ayant pas l'invarianl 0 ne contient aucun eg primitif. D'ailleurs 1 ai \ étant premier à Ajj, pour

f := -jL H- I V, la prem ière puissance des eg de J (^fy.+t , . . . , «v 1 = B^.

qui soit dans Ap, est la û'^""' : c'est donc la première aussi qui soit dans Pg= { «°, . . ., a^ {. Donc tout eg de B^, est primitif.

Inversement tout eg primitif x est le produit (V un e^) de A^. par un eg de V>^ (et par suite p — tj. eg primitifs al)solumenl indépendants (lo) mod A|j. peuvent être pris, après a^., pour ('■léments dune base normale de A), car .r, étant un eg, est de la forme Il^ft;'""' a}^^l...a\\ un au moins des nombres S,, ..., Çp étant premier à/>, et, si Çjji^.), ..., Hp étaient tous divisibles par />, .^p'-i—- fj!A^?,7» • serait dans Pg contre l'bjpothèse de la primitivité de ^.

Le nombre /?g des eg primitifs s'obtiendra donc en retranchant du nombre p'^9+^o- — /?(^ ')p+'p(^P= ap^, + . . . + av) des eg de A le produit du nombre /y^H- — pO-\)]}. des eg de Ay, par le nombre p{\-\){ç-^)+s^ des e(y,"'-i) de Bu. ce qui donne

ng = /?>^p+>-î(I— pU--p) = £g(l— /J^t'A+D-J^l)^') = — ^^' '^

(pour A := a,, a, ^ a,.>> 2^/+ti nô=^ p^ — p{(x.-i}r+s^ . c'est le nombre des epa, de A).

128. Considérons les .v — |j. eg primitifs n/<7^^'"^"'^^n^r/^.''*= A^

I08 CIIAI'ITKE III.

( CT = [j. + I , . . . , 5 1 p ; i=\, . . ., ;j. ; A- = [j. -i- I , . . . , v; ^n,[}.+ i^ • • -1 Çap i^e sonl pas tous ^ o mod/?). Soit / un indice parcourant ij. -f- I , ..., p. Pour que les b„ soient absolument indé- |H'iidants mod Vjji, c'est-à-dire |)Our que l'équation II^^^'^^ i modAjj^ ou le système "^çg^ak^a^ o mod /;>''* entraîne ^(j^ o mod/y^, il faut et il suffit que les déterminants d'ordre i- — [j. du tableau S des ^ç/ ne soient pas tous ^ o mod/? : il le faut, car sans cela le système admettrait des solutions de la forme p^~* x'^, les a?^ n'étant pas tous ^ o mod p ; cela suffit, car si A est un déterminant de S ^ o mod p, les s — [A équations du système dont le d(''terminant est A donnent Axg.^ o modyo^'. On peut supposer (en changeant au jjesoin la notation) q^)^^^^^^ ^ o mod/> et prendre b^^^i pour r/y.^,, en conservant les autres générateurs. Supposons qu'on ait pris (en changeant au besoin d'abord la notation) ^a+i, •••, ^5 i pour rt[j.+i, . . ., a,ç I en conservant les autres générateurs. Alors les ^^j où 0- <; 5 seront nuls sauf ceux où a- =y qui seiont égaux à i et un déterminant d'ordre s — u. de S ne peut èti'C ^ o mod/? qne s'il contient les s — ij. — i premières colonnes. Or, pour que l'on puisse prendre bs pour ^"^'"«^ générateur, il faut qu'un au moins des déterminants d'ordre s — tj. de S soit ^ o mod/?. Donc, un des ;^y où J^s doit être ^o mod/?. On peut supposer ^^^o mod/? et prendre bs pour cis en conservant les autres générateurs. Ainsi une fois choisis ^jj,^.i, ..., /?i(, on peut prendre b^ de p^^^~V~^^ nis manières, ni,; étant le nombre des eg primitifs de j A[j,, as, ..., a^ \. Soient alors /?Ps . . ., pi^G les invariants distincts de A( [3, > |3/+)) ; l'i le nombre des invariants égaux à /?P', R/= /•, + ...-(- /v, S/= i;?^, i^a/"a; /?/= iU\ b> nombre des e^.B, primitifs :

Cherchons le nombre M/^ des systèmes de tep<i,bi, ..., ^; primitifs, indépendants entre eux et des générateurs basiques d'ordre >/?^'.

D'après ce qui précède, une fois choisis />, ^>f i, on peut

prendre b( de

/jP;(/—1)//jPi'"i— ' + !'-<- s, p{iiil\i—t + l\-ri-i-l-l-hSi\

manières, et M/^^ /?/, . . . n^-

GROUPES ABKLIENS ET IIAMILTOMENS. I09

On reiiiar<nierii que M/^, d'après la manière dont il a élé ol)lenii, est le produit par/>'^'"'-'"^*'''' du nombre M(^, /v; p^i) des tableaux rectangulaires de t lignes et de ri colonnes dont chaque élément est ^o et ^p^i et dont les déterminants d'ordre t ne sont pas tous ^omod/j». Donc

^\{t, rr,p'i^' ) = ll/=i(/>P''-. — />f^.'-'-''+/-')-

Le nombre des manières de choisirles généra leurs indépendants de \ est n,M„.^^M^. Si A est un gy,» principal, i' prend la seule valeur i , ,'ii, = I , R, = r, = a, S, = o, /^,v =/;«-//-% Ma= n^-'(y>«- y>') (1-i). Si A est un gp<^ cyclique, i prend encore la seule valeur i, [i, = a, R, = /•, = !, S, = o, Ma= /h 1 =/>°' — /*"'"'• Si A est du type (a— I, \), M^= p^{p — i^.

Soit A'= j a, , ..., rtvM un diviseur de A, et désignons par a^, [i'-j /•'■, R), S]-, a-', M^,,' les nombres jouant relativement à \' le rôle

de aj, [3/, /•/, R/, Si, (7, xM,,. relativement à A. Soit />P<=o',-, ap >^^>-ap^.,. On aura pj^p,^.,, R^-^p« (ll2i). Clierclions le nombre des diviseurs de A isomor|)hes à A'. A' divise E^yj=B,. Donc «', , ..., a\., forment un système d'es^ primitifs de R, et peuvent être choisis de M(/'',, p, ; y?P'i )y?*'fi'"'i = N, manières. Une fois a,, ..., a',., choisis, prenons-les pour les /•', premiers générateurs d'une base normale de R). «^.,t i, • . -, (f'n., doivent être /'.', eg., absolument indépendants mod {«,, ..., a',., \ ou, ce qui revient au même, modU;^^'"^', ...,af'~-^\ (^ar n^r^,a^'' ne peut être qu'un eg^ de [r/'i , ..., a',., \) dans E>/ :^ Ro. Le nombre des déterminations

de «i;,+i, ••., «k:,, une fois a'f''' '"', ..., rt'.^'"'" choisis pour les r\ premiers générateurs basiques de Ro, est donc, d'après ce qui précède, M(/-!,, po — /', ; y^f^^ j />(Pî'''"^^?J'-^ N^.

ne lois rt,.,,i, ..., Oy^' choisis, prenons «, , ..., «/, ,

«r^+i "\ •••1 ci\t' pour les R!, premiers générateurs basiques de E^y'^ B3. T^e nombre des déterminations de Or'^+i, •••, «r' , c'est-à-dire le nombre des manières de choisir /'^ eg' absolument indépendants mod'rt, , ..., «r'J ou, ce qui revient au même,

jrt,^ , . . ., a,f , a^f^i , . . ., ai^ \ dans Ea,= R3, est

ciiAi'iTiu; m.

(le iiièine M(/-.j, p^ — y.', ; yol^')/^''^'"''"^''?3)'^= N;j. En corilinuanl ainsi eten posant N/ = M(/-)-, p/ — r ; , ; />?.') />(^''*'-i"^^?<)''<- (/•,',= o), on aura N, ... N(y' diviseurs de \ isomorphes à A'. Chacun étant

Ni ... N ■ , N-

évidemment répété M^^-fois, il j en a — ~ — ~ = IT^' ,^^7^ distincts.