III. — Groupes hamiltoniens

129. Si a est premier à 6, un ^ab hamillonien (08) est le produit direct d'un grt et d'un §7, hamiltoniens (67). Considérons donc un g"^™ (y> premier) hamiltonien ()' de central r^s^. Soit A-^b un e^ de Çj "Jl;), c un élément non permutable à b. | ^, c j =G sera hamiltonien non abélien. Soient /?P et /?T les ordres respectifs de b^ c et c~' bc = b^, b~' cb = c^i. La première équation donne, puisque bP est normal, b^P = bP d'où ; = 1 -|- /i/»f*-' (o < A < />), puis b-^ cb ^= cb^P^ ' d'où c' ■'■'= M/»'*"'. Donc c'"^i est d'ordre /» et 7i = i -f- kp^~^ (o <; A <; />). Les deux commutateurs de 6, c étant inverses l'un de l'autre, b^P^~^ est égal à c~'^P''~\ Donc ^ est > i, sans quoi b serait dans ) c |, et de même v >> i . Pour que cyb^' soit permutable à 6 et à c, il faut et suffît que y eX. x soient ^ o mod/>. Donc le central A de G est* bP, cP [, G] A est un ^p- principal et deux éléments quelconques indépendants mod A engendrent G.