C + hp

Comme d'ailleurs (^cy b-'-'Y'^ c"y b " - , A est le groupe

des puissances yy"^""^^ des éléments de G. Je supposerai ^ et c choisis hors de A de manière que [3 soit maximum et r minimum. Si G est d'ordre pP+r-8 (y ;> 5) ses équations sont bP^=^ i , cP''"^^ b^P^'^^ (l premier à p) c~' bc = b^^. Or, pour p >- 2, c6^^ est d'ordre p^'^. Donc, d'après le choix dey, 0 = 0. Dès lors • b \ est premier à j c |, G est leur produit direct (53) el est abélien contre l'hypothèse. Donc p =z o..

130. Toutg^ est abélien. Un gg hamillonien non abélien contenant forcément un Cj (9) a et un élément b non permutable à a ayant

(') Dedekind, m. a., t. XLVIII, p. /pS; 1897. — Miller, B. S. M. A., t. l\ . p. 5 10; 1898.

GUOl'PES ABKl.lK.NS ET 11 AMII.TOMKNS.

son carré dans \a\ aura potii- (''(|iiali()ns (67) r//' ^ i , «-=6-, h *rtb = a^^ et sera le j;r(>ii|)(' des (juaternions (^.

Supposons fUabli que, pour chaque ordre af^ où [J- <Ci /fi., il J a nn seul groupe liauiillonien H de la l'orme DQ = D + Da + D6 + Drtè, D abélien principal d'ordre 2H~- étanl le central de H et contenant a'^.

Soit H d'oi'dre 2'" ', et considérons un i^.2'" lianiillonien 3C de central (0. On aura ."H! = H -h H:p, les éléments de Hx étant d'ordre ^8. Or le carré y- de t(tut élément / de JC étant normal (pour z quelconque dans CfC, on a y~* zy=^ z9 , p étant impair, d'où j~-zy-=: z^'^ z) est o fortiori dans le central D de H. Or, D étant abélien piiiicipal, (j'-)-= i. Donc .!€ n'a pas d'cs. D'ailleurs, il j a certainement des e^, hors de H. En eft'et, soit x un e-, . Il ne pourra être ])ermulahle à « et à Z>, car on aurait b~'^ axb= a^ x^ b~^ axb^= (rtx")^= a^x'^ et a^ x = a^x^ exige ç ^ 3, ^•-= 1 . Soit donc j:' ' ax = rt, ^~ ' bx = 6^ (si.r~' ax^^ a-', a'"' bx = b'^ , x serait permutable à ab et l'on ferait jouer à «6 le rôle de a); ax sera permutable à « et à 6 et, par suite, d'ordre 2. Soit donc ^ un Co hors de H. On aura H -f- H.r = (D H- Vix) {\ + a -\- b -\- ab) et le groupe D-f-D^- ccnitenant tous les éléments normaux de 3€ coïncide avec (0. Donc JC ^ cOQ.

Si tO' est le go"'-3 de (0 obtenu en su[)primanl le générateur rt-, on a J€ = tteV x Q.

131. Un 64 ayant toujours l'une des formes da^ db, dab l^d étant dans (ô), il est clair que tous les e4 ont pour carré a-, que deux 64 sont permutables toujours et seulement s'ils appartiennent au même complexe (Da, CD6 ou (ôrt6 et que deux e,^ non permutables engendrent an groupe ;^ (^. Le groupe \ da^ d' b \ [d, «''étant dans tô) coïncidant avec celui qu'on en déduit en remplaçant d par da- et d' par d' b- ou d par da- et <i' par <i'6-, on voit que si d et <i' parcourent i)c) on obtient \ 2-^'""-) = 2-'""" groupes distincts ^ Q. Comme ! c/a, «i'è | contient dd' ab, on a ainsi tous les diviseurs ^ Q de 3€. On les obtient sans répétition en faisant parcourir à d, d' , non plus CÔ, mais ût)'.

GROUPES D'ORDRE p-