I. — Quelques théorèmes généraux
132. Les propositions les plus importantes sur les groupes d'ordre/?"' {p premier) ont été rattachées (Chap. II) à des théorèmes sur les groupes d'ordre fini quelconque. Avant d'en signaler quelques autres, les remarques suivantes seront utiles.
Soient a, b deux éléments d'un g^"< et b~^ ab =■ a^^ d'où, par récurrence, b~y a*^ by ^^ a^'^ . La première puissance de 6 permutable à a sera forcément de la forme bP'^. Si a est d'ordre />", y. sera le plus petit entier tel que JB^'^^i mod/>", donc ^^i mod/* et a S /i — i. On voit i\n' un ep n'est Jamais conjugué ci une de ses puissances autre que la première. Soit ji = i -f- hp9 {h premier à />), doù (23) ji^' = i — /i^y>P+^+'^i (hs premier à p; A„ =h; Yj = o sauf si Ion a à la fois p = 2, p = i , s^ i , auquel cas r, est la plus haute puissance de 2 divisant A -h i ). Pour que [i appartienne à l'exposant /-«^ modp", il faut p + a -h '^i = n. Donc si /> est impair, on a p = n — a, |j ^ 1 -|- hp'^~^ ; si /> = 2, on a, ou bien 'f\ = o, donc 0 = /i — a, ou bien 0 := i , donc r^ ^ n — a — i , ce qui donne, en réunissant les deux cas, [îi = dz i -h h'2"~'^.
Soit A normal dans le g^'» G = SA:r et A^ non normal dans G. \.x est permutable à tout élément a de A (car x~*a~'x. a est dans A) en sorte que, si Ax ne contient aucun conjugué de x autre que x, x est permutable à tout élément de A. Il en résulte que, si icn'a que p conjugués dans G, il est permutable à tout élément de A, car, y étant un élément de G non permutable à A^, y\'- (u.= I , ..., p — i) ne sera pas permutable à Ax, et lesy^xyi^ seront tous distincts et hors de Ax.
GROUPES d'ordre p'". Il3
I, A|, -V., ..., V„ ;= G étant une série sjîéciale tlu <;y,"î G et A/|Ai i ajant le Ivpe («/,/>/, ...) (llo), je dirai que le symbole {(t^, by. ... ) («2, 6-, ...).. . (rt„, b„, . . .) est la Jigi.ire de G.
\%\. Si un g^"' non ahélieu G a un <;//" ' al)élien -i., -Xa contient A) , sans quoi G := t,l)A, serait abélien. De même "Ao|A, contient A^l A,. Donc cl) contient A^ et de même A;,, ..., A„,.
13i. Si le Commutant cC un g p^ G est d ordre p^^ la spécialité s (le G est ^ [i -h I . Cela est clair si a ^ i . Supposons-le vrai (juand a a une \aleur moindre que celle considérée. Soient A le central de G, s! la spécialité de G|A, />?' Tordre de son commutant et s' '^^' -\- \ . Comme 5 = 6^'-l-i, il suffît de montrer que |îi est !> ^'- Or à tout commutateur Aj^'j^^' .rj^ de G|A répond un commutateur X 'j^ ' ./jK *'<' ^J- Donc |3est^|i'. Conime d'ailleurs le second central de (i a un commutant >i et t: A, on a
ri>.â'(').
13o. .S"/ a >>:^j3( ^3 -t- i), ///i gp'^ G a toujours un diviseur d'ordre f{^^j)=^ a — t. [i(,3 — i) dont le central contient un g p^ (-). Cela est évident si |j = o. Supposons-le vrai pour |â = o, ...,/< — i , et soit A un ^pf'"-'^ de G dont le central contienne un ^p"-' B. Si Bx est un e^ normal de AjB, x aura au plus/>"~' conjugués dans A et sera normal dans un groupe d'ordre />/'"^'~"+' =/y/'"^ qui contient le gp» ', B, x ; dans son central.
Si f[n — I ) 1= /?, donc y.= !jn(n — i ) H- i , A|B sera cyclique et A abélien (97); si d'ailleurs y.^^fi(n — i), G contient toujours un diviseur d'ordre />i"f"~'^+'. Donc, n étant le plus grand nombre tel que \n{n — i) •< a, G contient un gp» abélien. Mais il ne contient pas toujours un gyo''+' abélien. Ainsi un gy,. contient toujours un gy,3 abélien sans être nécessairement abélien, et l'on verra (lo7j qu'un g^^ peut ne pas contenir de g^^ abélien. En particulier, si a est de la forme ^m( m — i), G ne contient pas toujours un gy,™ abélien, sans quoi un g^a serait toujours abélien,
(') Fixe, Trans. of ttie Ain. Math. Soc, t. 111, 1902, p. 35o. (-) Cf. MiLLEK, M. M., 1^97.
Il4 CIIAI'ITKK IV
ce qui n'est pas (154). Mais, pour |)icn(lie un cxcmplf moins sim|)k', considérons !e ^p>- (/>^'2)G (\t- lii;iii-e (i)(i i) ( i i i) défini par les é(pialions
a/' = bi' = ci> — di' — ei' =fi' = i .
b-^ ah = c-^ ar =^ (/-' ad = e ' ae =./ ' ci/ == «,
c-^bc = b. d^bd = b, e^be = ba. f-^bf=b, d^cd^ca,
g-i ce = c, /-' cf — c, e~' de = da, /-' df= db, /"-' f/= ec
(on vérifie dirrcleiuent qvie f"e' c/yr' ù'a'^ ne peiil ètie normal (pie si «=:;; = ')' = j:- =^ / = o, et l'on voit que G\]a[ a la figure (i i) (I I i)). Si A est un diviseur aljélien d'ordre maximum de G, A contient «, et A|;«; divise l'unique ( lo6) ^p- abélien jr/, b, c, d, e[\]a\ de Gl'.a;. Donc A divise ; <-/, b, c, ^, e[ de figure (i) (i I I i) qui ne contient pas de g,,, abélien (14-3).
Si y.^ T,(n — i) (/i H- 3 ), an g po. inétabélien G a toujours un g p" abélien. En effet, soit D d'ordre yo^ le central, C d'ordre />T le commutant. Un élément ^ de G hors de JJ, avant au plus ypY conjugués (ils sont tous de la forme ex, c étant un commutateur (oO)) sera normal dans un groupe G, d'ordre ^/?°'"", dont le central D,^;D,x! sera d'ordre ^//^+'. Un élément de Gi hors de D, sera normal dans un groupe (i^ d'ordre ^p'^'z" (le commutant de G, est ^C) qui aura un central d'ordre ^/>°+- ; etc., .... En continuant on arrive à un groupe G«,s , d'ordre >y^2'-r(«-ô-«;^ dont le central D„s, est d'ordre =/>""', et qui contient, c désignant un de ses éléments, le groupe abélien )D„8,, z\ d'ordre ^/?, pourvuque a — y (/« — o — i) soit ^n. Comme yest^ô <; w, cette condition sera i-emplie si a est >■ // — i -h o (/? — o — i), c'est-à-dire si
ou
donc, a fortiori, si a > {(/i — i)(/i -h 3) (' ). Nous obtiendrons un résultat plus précis dans le cas où le commutant du groupe métabélien G est cyclique (143).
(') FiTE, Trans. of the Am. Math. Soc, t. III, 1902, p. 336.
Giioi i>ii:s d'okdri; />'". ir5
130. S i /es ^s,> f,<^ ' A,, ..., A,^ <'/';/// i,'p''(j sont premiers entre eux, G est abélien principal. En effet, coinine (1 = A/Ayi, A,-, \h oui pour |). ^. ('. (I. un ^p'^--- \ih- En supposant le théorème vrai poui- les !^p\'- où u. << a, on peut admettre que A/ est abélien principal, puisque les A/a de A, et, a fortiori, tous les j^/,» - de A,- sont premiers entre eux (le p. <;. c. d. des A/a de A/dixise \,, ..., A„). Donc G= A, Va est abélien [)rinci[)al. La réciproque est vraie ^ car on peut l'admettre pour \|, et le p. g. c. d. des .V/, divisant les A) A, se réduit l\ i .
Il résulte de là que, si Q\ = S^ est un g pi- quelconque, C son commutant, D lep. g.c. d. de ses g po.-^ A,, A2, ..., etP=: jS^/'j, o« rt D = CF. Car P divise évidemment tous les g>«-', et de même C, puisque (i| V/ est abélien. Donc CP divise D. D'ailleurs, G|CP étant évidemment j)rinci|)al, on a D|CP ^ • (')•
137. Un gp". G == Sa? ayant un seul g p> F est cyclique, sauf si Von a à la fois /> = 2, 5 = 1 , a ^ 3, auquel cas G est cyclique ou ■dicyclique (i20). Tout d'abord F est cyclique; car, pour tout e^^ a de G hors de F, on doit avoir a- >> ,ç (sans quoi a serait dans un gy^^F), d'où F=;«/''^~';. Le théorème a déjà été établi pour a= 2 et le sera pouryo =: 2, a = 3 au n" 1?)2. Supposons-le vrai, •en omettant le cas d'exception, quand on remplace a par un nombre plus petit, et soit a^ 3 si /> ^ 2, a^ 4 si /> = 2- Les §>«-• A,, . . ., A« de G seront donc cycliques, et G est défini par r//'"^' = i , ^/' = «'",
i>-'rt/> = rt^ [ii = £ H- A7>a-:i, z—x siyD> 2, £ = ±I si/> = 2(132)
la condition de permutabilité (19) donnant [îir^/* mod p^~^ . Tout revient à montrer que /• est premier à/?, car alors G = J 6 j. Or si r^pr mod /?-, la condition de permutabilité montre que pour /'^oinod/j, £=1, et il résulte alors de la relation (è^'a')" = ^"^a?^" P' que ba''' est d'ordre ^ /»*"-, bien que hors du p. g. c. d. D des A,. Mais D contenant tous les xP est d'ordre ^/?°'~- et tout g/j*-^ où ijL^ 2 divise un A/, donc D.
Il reste à établir qu'«/i ^^a (a ^4) "o/i cyclique G ^wi contient un seul g.2 est dicyclique, en admettant le théorème pour les valeurs de a inférieures à la valeur considérée. Si tous les g^»-' de G
C) Cf. tUGXERA, /?. A. L. n., 1.S9.S; A. D. AL, Ser. fil. t. II, 1899, p. 264.
Il6 CHAPITRE IV.
claienl rjcliques. leur p. g. c. d. serait un f^^.a-; unique <i;nis (î, et G serait cyeli(|ue. I.'un deux sera donc dicjclique, et (î sera défini par rt-"^'=i, h- ^= (f-'^~\ b~* ab ^ a~\ c'-=bPay, c~^ac=^a^^ c~^ bc^ ba^^ l'unique ea étant «-"^ La condition d'automorphisme (19) exige seulement que x ^ i nioda. La condition de fermeture donne |j ^ o mod 2, et ay ^ (ji.(x 4- 1 ) mod 2°'"-. La condition de permutabilité donne y(x — 1)^0 mod 2°'"-. j3 étant pair, c- est dans ', a \ et l'on peut faire |b = o, d'où x- = 1 . Comme (c«5)- i=«T+--'''% {cba^y- = a^-"^--^-"-''. il faut, pour (|ue a^^""' soit le seul e2, que y soit impair (donc x=i) et que ul ^ y mod 3°'""-. Alors on a c-"~' = i , b- ^ c-'^~\ b~^ cb ^=c~^ ^ et G est dicjclique (' ).
138. Un g-y n'aycint, quel que soit nt^ jamais plus de m e^„i^ est cyclique. H suffit (78 ) de le prouver pour N ^Z*". Or si un gy,a, qui a toujours des e^^j, en a exactement/^*', il ne peut avoir qu'un {^p'{i <^5<;a) et est par suite cyclique (p()ur/y = 4 on le vérifie directement).
iiiO. Soient G=:Sa7 un gpc non abélien dont tous les diviseurs soient abéliens ( - j, G son commutant, Ai, . . ., A,j ses g/;"-», P = ^xi'. n sera > i, sans (|uui G serait abclien (137). Donc chaque élément dû p. g. c. d. GP des A, ( 136) est normal dans Ai A2 = G. D'ailleurs chaque A, contient le central A (133). Donc A = CP et G est métabélien. De plus, si a, b sont deux éléments non permutables de G, on a évidemment G^ ) a, 6 |, et tout élément est de la forme a^bya^'by .... Si donc b—^ab = «c, c étant normal et d'ordre p {cip est normal), tout commutateur est une puissance de c et G = I c J est d'ordre p. Donc tout élément de G est de la forme a^byc^, et A ^ CP = | a/', bi', c [ est de rang ^ 3. D'ailleurs, G étant métabélien, a el b sont permutables mod A, et G | A est un g,;.: principal. Les conditions obtenues sont suffisantes, tout gMt--i étant évidemment abélien.
