II. — Quelques types de g
14(1. Les g'p'n non abéliens contenant un g ,,m-^ abélien du type (m — j»,, I) (•*). Un tel groupe G est défini par des équations île la forme
C) C/. BuRNSiDE, Theory, p. 73.
(') Cf. BuHNsiDE, Theory, p. 89.
(') Cf. Mii.LKR, Transacl. of Llie Am. Matti. Soc 1901.
GROLPKS I) ORDRE p'
Je poserai ; <7i, «2 J = A, /?'"-■*= ^7, p'"-'*^ r. Devant étudier séparément les gyji je supposerai /?i ^ 6 (plus précisément m -^ 5 si /? > 2 ou ^ijj'o^ o mocl/>, /?i^6 si /? = 2 avec Zxy-i = i mod/)). G devant être un g//»-, la condition d'automorpliisme exige (19) que ri, -1 et z-i soient ^ o mod/? (je sous-entendrai désormais le module />). La condition de permutabilité donne
^i(jKi — i)-<- 7^i.r., =E o moAp'"^^, ^\y%-^ ^-li^i — \)^s o,
et la condilinn de fermeture, en observant les relations
^{u)= ^'{ .r'r ' -? "', cp' ( u j = Sg ( / — '2 ) .r^-2 ;;'/-', qui sobtien lient par récurrence,
jK'i'-t- <?^i.7'2¥' (/*)= I mod/>"'-2, qzx'f{p)^ o mod/j'"-^,
On peut donc faire x;2 = i. ^i = 1 , 9( u )ss a, cp'( «) ^ '- «( « — 1), et les conditions pour que G soit un '^i,m deviennent
(i) { \ ji=±i-t-/?^ (/?=ooui) si ^ijK2 = o ^ a7i(jKi — i j-r-^-;iX2 = o moda'«-2,
si Z\y>^i \ xiy-i^ o 5,^1.
( ji=±i-f-0/- (6^± I) En partant de
on obtient par récurrence
d'où, en observant que S'/=j"l',v i/ = o ou [ .
et que, pour p =: 2,
(3) { î = osi/)>2;î'=osi/>^3; î=;isi/j=:'2;
f î' = 1 si /> — 3 ; T| =/> si/> > 2 ; t] = i H- >" si p = 2.
I l8 CM Al'lTIU: IV.
Oïl l'criiiiiiiiKM'a i|ir// y a dea C//"-' toujours et seulement si j'i ^ o l'I qu'alors, en prenant a\'a!,' pour <■/!, a!,'''' pour r/.. (si .31^=0 le groupi^ est abélien ), on peut faire .r, = 1 , t., = 0. j, = i , done, d'après ( i ), jki = ' t ^2=0. On a ainsi l'unique type h/'z=a^, 6^' aj /> = ^i, h ^ d .^ h z^ a'[ a -^ (j'omettrai toujours les équations de A) ou, en posani a-i,^ a^',
/)('""' — aP= i, a iùa^ h^^/>"'~- ( p ^'i, m - '> ) (c/. 141).
Supposons désormais .Vi ;= o. Cherchons dans G tous lt>s diviseurs ^ A. Si ^1 ^ — I niod /•, donc p = i el a7i^omod/', il n'y a pas d'e,,"^-^ hors de A, el A, p. p. c. m. des e/,»'-^, est unique dans G. Soit yi = i -\- / r. Kn prenant au besoin ba{ pour b, X étant convenablement choisi, on peut toujours faire que .r, = o. On voit alors qu'un e/,m-2 sera de la forme a\ = b"^a^a[^ (a premier à />), et un &,, de la forme a', = b"^'afa\ , a' s= o modq, u'x-i^o. Pour que a'.^ soit hors de \ a\ \. c'est-à-dire ne soit pas une puissance de a'(i, il faut que l'on n'ait pas à la fois «'ï=o, ji'ss o. iinfin la condition a\ a'., = a'.^ a\ donne
(4) p' qziU^oi.{l u' r-hjqziy-iu' ( u' — \)) -\-'pq z^ u' modp'"-'^, u'Vi^^o.
Soit Zx^o. Si a'ïso, donc p'^o, on peut supposer ?/'= o, il faudra u == o et I a,, a2 1 ^ A ; si m' ^ o, / ^ o, (4 ) est impossible et A est encore unique dans G. Si m'^o (donca^j^o), l = hp, (4) donne (ah -+- pzi)u's= ^'uzi, y.2^0, et 5a7"'^2'^' P^'' exemple est ^A. Pmir Zy^^o, (4) donne lu' ^ o modp'^, donc w'^ o ( sans quoi G serait abélien ). et cela suffit. Ainsi A est unique dans G sauf si z^^s. o avec y^ =^ i -\- / r, ou si Zi^ o avec y\=^\ -^ hq, x^^y^iEs o. On voit d'après ( 3 ) que, pour r'i =J -H 1 1\ ^i = o, il y a des e,, hors de A toujours et seulement si x-i^ o et que, par suite, G a plus d'e„ si x-i ^ o.
Four que e = b"^a^a\, soit normal, c'est-à-dire permutable à b, «1, «2, il faut et suffit que y'^-i-jqziy^uiu — 1)^1 mod/>"' -, oi(yi — i)-i- fi^-Sj ^o rnodp'"-'^, uy-i^^ uZi^s oLy^^^^ o. Si e est d'ordre />'"-"-, donc a ^ o, ces conditions équivalent àyi=^i-^hq, u ;^ oih-^ ^Zi^y-y^ o (G n'étant pas abélien, on ne peut avoir /? es ^, :ïs o ).
Le chanj^ement de générateurs le plus général conservant A (si A est unique, les types que ce changement ne peut faire coïncider seront donc distincts) et la forme des équations de G consiste à remplacer ai, a-i, b respectivement par a\ = a'^a^, a'^ = a'f* a% , 6'= b"afa'i . avec les conditions a P' u ^ o (si [i's= o, a'^ est dans ) a\ \ ),
et celles déduites de (1) en accentuant les x, y, z. De là
(5) uxi -t- a"y^ -^ ^(/ fi'-i II ■+- ^ q'^' ^\y-iU- =^ a^'i -t- ^a'.r'2 mod p'"-'^ , ( 6 ) u x-2 -+- z a" uy2 ^ ^' cr'., ,
(7) a[j"-<-|y-5i72"( " — i)]-l- Pç^i " = ^^1 -I- q^'y> mod/>"'-^ ( 8 ) a «72 = P'j'2 ,
(9) b' ZiU = OLz'..
(iliOlPKS I) OUDKK l>"' . 1 19
(7), (y), (y) luoiilreiil (iiu; j/j r^7, mo<L/ cL «'i,.!'^ s'aniiuleiil lotijours et seulemenl avec Z],y-i respeclivciiient.
Soit py- ■>.; yi=^ i -i- hq^ y\ = i -^- h' <j. L'élimination de ^' entre (8) et
(9) donne u-Ziy^^s z\j'.,. Si Ziy-2^ o, on pourra faire J'o = 1 «'t z\ = 1 ou N (non reste arbitraire) selon que Ziy.> est carré ou non, A'=o, aî'j = o. d'où les deux types distincts (A est ici unique)
(10) hi'—\^ h ^(tih = a^a-i^ h ^ a-,!) = cr(l an, ^ — ^ ou M.
Si -I ^ o, ^^2 ^^ •>? '"1 p<"iit lairc ^'j =: 1 , donc x'.^ = o, y'.^ = o, d'où le l,\ pe (m) hi'^i, fj-^aih=a-,, h~^ Uib =^ a{ai.
Si 5i s= o, j'j^ O) '^*" l><2iil faire j^!, = i, x'.y = o ou 1 selon que t-i^:^ o ou ^ o. d'où les deux types dislincls entre eux ((i a plus d'e^, si ./-osso).
(12) hi'=a\, 6 'rt|6 = «i«2, /> i a-ib = cii, Ç = o, 1.
Si Sjïisj^o'^ <^ "'" peut faire z\ = j'o = o, x'.^ = o ou 1 selon que x^^^ o ou ^ o, A = I (sans quoi G serait abélien). d'où les deux types dislincls entre eux pour la même raison
(i3) 6/-'= «5, /) '«,/> = rt{+'/, h^^ aob = a,, !^ = <>, '•
Dans les types ( 11), (ii), ( 1 î ), A n'est pas unique; ils sont donc distincts de (10). De plus (ri) est le seul à avoir un e/,'"-2 normal. Pour distinguer (12) de (i3) on observera que, dans (i3), ; «i ; est normal sans que ai le soit, tandis que dans (1-2) tout gn'"-» normal divise le central, car un ef,'n-2 b" a'^ a^ =: e (a ^ o), y étant toujours normal mod ) «20 '^^ peut être transformé en Css 6'"'a*"mod [ a-, [ que si ^' = 1 .
Soit p ^1 et d'abord y y^^± 1 -hq, donc z^y-i^o. Si Vi = 1 -i- hq, on a de même les types ( r i ),( 1 •>.),( t3 ). Dans tous les types que l'on va trouver A est unique: ils sont donc distincts de (11), (12), (i3), et aussi entre eux par le fait même que la transformation employée ne peut les ramener l'un à l'autre.
Soit y\=^ — \-\- liq , y\ = — \ -h h'q. On aura, d'après ( i), ^'1== r ZiX-2-\- çq, x\ = rz\ x'., -f- ^'^, ou d'après (9 ), (6), ( i ), x\ = rziX.2-\- ^' q.
Si Zi=s i. y^^ o, on peut faire /(' = o, ^' ^ o et l'on a les deux types
(i4) b'^=^a\^a\, b~^aib = al^, b-^ a^b =^ a'( a-y, ÎT = o. i.
Si ^, ^ o, ^^2^^ ', '^" peut faire /«'^ o, x'o = i, -^'i = o, d'où le type (i;")) b-==a.i, b^^ cijb ^ a^' cii, b ^a-yb^a^.
Si Zi^^ y2^ o. on a h's=h, x'^^Xo, et, sauf si h ^ x^^ o, on peut
120 CllAPlTltli IV.
prendre ^' = o. l'oiii- h ^ Ti= o, on a ^'= ç. De là les types
(i6) ù-^=al, A-'«,/> = a7 •+'"/, lr^aib=.a. {!;,/< = o. i),
(17) f>-=ci'i, h-'^ttib =a\K h^a-ib = a..
Soit jKr=± I H-0/-, clone :;iJ'-2= '-Si jKi = 1 M- 0 /•,}-'] = i -i- ^'/- (0' = ± i), (lone Xx — ^2= o, on |)onna faire x\ = .r' =0, 6' = 1 . d'où le tvpe
(18) b^-=\, b-^aj? ^a\+'a.,, b-^ a.b ^ a'(a,.
Si jKi = — ' + ft'', ,1''i= — i + G'/-, on auia, d'après (1), Ti—r.r2-\-^g, t\ = /-.r'., + ^'«jr, et l'on |)onrra faire G' = i , .r'j = o, i' = o, d'où le type
lil. Le^ 5'/,". ( /« ^ 4 si /> = 9.) «o/i ab^liens contenant un e,,"— 1. Un tel grou|)e G est défini [lar «/'"'"' =1, bi' = a*, b~^ ab = aP, [3 = £ + /*/>'"— 2, £ — 1 si/j>2;£=±i si/»=:2 (132) : // ^ o mod /> si £ = 1 . La condition de permutabilité est a(^ — 1) = o mod /)'«-' (d'où a = o mod p). On trouve par récurrence (/;rrt')« = />".> «■< (p "^'^.> -+-p("-".>H i-[i>-*-i)^ fPoù
(bya-^)i' = «2<.r+/'.'- si/; > 'i ; (6.va-')2= ^/a v + .r(fi.v+ 1' ^j p = -j,.
Si £ = 1. on peut, en prenant bï a-^' pour A, ramener a à o. Ii à 1, d'où le seul type
(i) a/''"~' = bi> = 1 , /j-î «A = (7i+/''"~\ /j I -i, w ^ 4,
de figure (m — 2) (11) ( C/. 146) (' ).
Soit donc £ = — 1. D'après la condition de perinulabilité on a a =: o ou -î"^--. ba'- étant ici d'ordre 2 ou 4, on voit, en snp|)Osant /» = 4? fj^e \a\ est unique dans G, ce qui n'avait pas lieu pour £ = i ; les types où £= — 1 sont donc distincts pour mî=4- I-'C chans;ement de générateurs le plus général conservant la forme des équations de G consiste à remplacer a par a'^a?, b par b' ^ ha^ avec les conditions ^ ^ o mod 2, h'-=za''^., ô'-i a' b' = a'P', [j' =: — 1 -H h' o.'n--^, a'^s o mod •x'"---, d'où
a-l- //'a-2"'-2= ïa' mod 2"'-i, [iJ; = ^'^ mod 2'"-',
(') Ifo'a^J contenant toujours un et un seul e m-i de la forme ^J'a, G conlieut les/j-Hi g '"-1 ! fo'Vr ; (y = o, . ..,/> — i), { af, 6 !• Tout diviseur A de G divise un de ces g /«-i ; car soit b^'a'-v^ ( ? pi-emier k p) un élément de A où 0 soil minimum ; si p = o, A est 1 I 6.''a j ; si p 7^ o, A est ^ j aP. b \. Un diviseur de j 6ro | y étant unique de son ordre, donc normal, dans G et \ay^b\ étant abclien, on voit que les diviseurs de G sont tous permutables.
GKOUl'KS U OUDHi: />'". I"*!
OU
(X -I- liT'i'""'^^ 3t' iiKid •.>.'" — ', // s; /;' inf)H V..
Si /i = o on a a' = a ; si /< = i on |ieiit faire a'=(). De là les trois types (lislincls
lr^= a^-"-
h-Uth =. a-'
l^e central élanl ; rt-"'~' ; = A dans les trois Ivpes cl GlA clant du type (jj où /t = o, G a la fiiiure ( i ) (i) . . . ( i) (i i) ; il admet une série de composition formée de groupes caractéristiques (117). Inversement un g.i\^ G de figure (i) (i) ... (i) (w) a un e-2\>--^. On le verra (1.j3) pour ;/. = 4- Supposons-le vrai pour [J. - m . Pour [x = m -\- \ . G sera défini par les équations f)- = i , «-' 0 « — /y- ' 0/> = f) jointes aux équations (2) ou (3) dont on multiplie les seconds membres par les puissances de H. Or, si a-'"~' = f)p, le cenlial de G est ]a-"'~', H[ contrairement à la fijiure.
On verra ( KiO, l.")9 ; que. pour />> •>., un g/;!^ G de figure ( 1 ) ( 1 ) . .. ( u { 1 1) ne contient pas nécessairement un e^^-i. Mais il peut du moins être engendré par deux générateurs (' ). Car si l'on suppose la proposition vraie pour 'ji, 1 //?, on aura, pour [jl = /n -h i , A étant le central de G, G = A 1 h,c ] : or, si ;6, cj était < G, G serait le produit direct de ]b, c\ par A, et son central serait d'ordre >/>.
On a vu (140) que, pour m : 5, ( 1) est le seul type conlenaul un g^m-iabélien de type ( m — 2, i). Si /n = 4i ( ' ' contient toujours ) b, ai' \ ; aucun des autres groupes ne contient de g» abélien de type (2, 1). Si ni = 3, (3) pour/; = o coïncide avec (1). Les g-2"'-> <le G, dans les deux cas (2) et (3), sont \a[, \ a"2, 6 ;, ! a-^ ba \.
14^. Les g i,m non abcliens contenant un g f,"'-^- cyclique A =: ) a | (/?ii;5 si yj >• 2 ; m^ 6 si /> = a). On connaît tous ceux où A divise un g/y"-i abélien. Il reste à chercher ceux G oîi aucun élément n'est permutable à a.
Soit d'abord A normal. G | A sera cyclique ou non. Si G | A n'est pas cyclique, G est défini (je poserai p"'-3=q, p>>i-'*z=:r) par a'''"~' = i, bP — ai^. cP=a'ï, b-^ab — a'^'"/, c"^ ac = an+i^i (£ = rj = i si/>>2; £, r^ = ± 1 si /? = ■;•.). Soit lik ^ o mod p. S\ p ^= 1, on peut évidemment supposer /? = A = [, et de même encore si /9 > 2, en prenant au besoin b^', cX pour b, c respectivement. Alors si r^ = s, bc-^ est permutable à a, et le cas a été traité. Si rj = — s, (6c )-• aôc = a^i, et l'on |)eul supposer que A, par exemple, ==0 (donc s^ — i) avec A=^i (si /; ^ A= o, £ = r, = — r).
Soit p >. 2. On peut supposer G | A cyclique. G sera défini par
( ' ) BuiiNSiDE, Tlieory, p. 89.
CIIAI'ITIU: IV.
ai'"'~' = I , bi'° = rti^, h ' ah = «■+'' ( i;{:2) avec ^ ;= o inotl/»- et ne contiendra pas d'c/v"-'- Gomme {ba-^)~ = 6=«'=p(~', en posant tp(5) = S5~'([ + /•)', et que v^i p'-) ^ o mod y»'', on peut, en prenant au besoin ba-^ pour 6, supposer p ^ o, d'où le type
Soit p = ■i. Si G I A est cyclique, on ne peut avoir bWib = a-', car 6^ serait pernnitahle à a. On obtient, comme pour /> > a, ( cp(4 j ^ o mod (S si m ^ 6)
^2'"-- = ^2- — , ^ ^ I ^^ <aj£+2"'-'^ î = ± I, m ^ 6.
Ces (b'ux types sont distincts: car, si e^i. (î a le commutateur «'' et G| \a''\ esl ab('lien, en sorte que le commutant G est \a''\\ si t =■ — i, G a le commutant a'-^ et G | \a''-'^\ est abélien, en sorte que G = 1 «'-',. On remarquera que, si e = — i, G I G est du type (2, 1 ).
Si G|A n'est pas cyclique, G a des équations de la foiine a-"' '^i, h- = af^, c- = aï, 6 ' ab =^ «~', c ' ac = a'"*"'/, f^' 6c = ba^ . La formation <le \a,b\ impose la condition de permutabilité S^somod^. L'adjonction de c donne, parmi les conditions de fermeture, y s=; o( 1 -1- /•) mod ?/ et, parmi celles de permutabilité, y ss o mod i. Les autres conditions du n" 19 sont vérifiées d'elles-mêmes. Gomme ( ca^)2 = aT+-^(7+-', on peut, en prenant ca^' pour c et en choisissant convenablement t, faire y = o; donc OE^omody. Gomme c-' 6a-^c = èaS+j(i+'/)^ on peut, ^n prenant ba-^ pour b et en choisissant convenablement x, faire 0 = o. On a ainsi les deux types
«2'"" ' = I , b-= a'^"'~'^, c- :^ I , b-^ ab = cï-',
