C-' ac = rt' +-'/, c-'bc=^b

//a- At</t< distincts, car les relations (ba-^)- ^^ a'J^, (c6a-^')2 = «'/^^ -■' ' montrent qu'il y a plus d'ci pour ^ = 1 que pour Ç = o. On voit, comme précédemment, que le commutant G c-t ) a^ [. Mais ici G | G est principal ; le type est donc nouveau.

Soit maintenant A non normal, G ne contenant aucun g i,<n-i cyclique normal. Soit II > A un g/,"-' de G, A ne pouvant ici être caractéristique dans H, H a pour équations ( 141 ) ai'"'~- = bi' — \, b-^ ab= a^-^'t ip^-i). Les équations de G s'obtiennent en adjoignant à celles de H ci' =6* a''', c-^ac— 6?aP', c ' bc= /j'y aY' , ^ étant ^ o (je sous-en tendrai le module/»). Les conditions d'automorphismc sont ^' ^ o, y'^ o niod^r, y = i. En prenant ca'' pour c, on peut faire y'= o. [b^a^')'' doit alors se réduire à 1, sans quoi ] b, c \ serait abélien de type ( m —2, 1), ou bien c serait d'ordre /?'"': cela exige que a! soit de la forme Ip^ = kp9(k ^ o). La relation c-'^ac'^=z èPUaf*'" + .j'/i^?"''i'-"i ( U = :î:;f ' J3'') qui s'obtient par rt'currence

(jitoi l'KS d'okdkk p'". ''^3

donne alors pour unique coiidilion <le rennetnic

P'/W H;^y pZ-^^ j = I -i-^a muàpq (e = o si /> > 2, £ = i si /> = 2).

Les conditions de |)erriiut.al)ilit<'' se rc-iliiisiinl à

P'= i -4- /i'/^'^ (7^m— i — p, li'^o),

p' aura la forme 1 -(-/(/• avec h^^a..

Si h^=o, on peut, en prenant au besoin rhy pour r, faire p' = 1 , a = o. On peut alors, en prenant c- \)nuy z, faire P = i, puis, en |>renant encore pour c, ca->>/' si p > 9,, crt-*) avec / - — i j 6 = X niod /• si p = •>., faire X — o. D'où le type c/^ = i, c ^ ac = ha, c-^bc = h (on verra tout à l'heure qu'il n'a pas de g/,"'-= cyclique normal).

Si h ^ o, on peut encore, en prenant cby pour c, faire h = % <^p, puis, par les mêmes changements que tout à l'heure (sauf que le cas p—% ne fait plus exception), faire ]3 = i, X = o. lîn observant que

c =rt'C= = b-'~ a-^^l'rXXZ^XqZXKx-X)^

on oi)tient par récurr<'nee

Il est dès iurs facile de voir que le chanj^ement de généi'ateurs le plus g(Miéral conservant la forme tles équations de G, a étant changé en ai, consiste à remplacer «, 6, c res|)ectivement par à = c^b'''ia^, 6'= c^bfa-^', c' = C" hx a"' avec les conditions

^ ^ o, z = o, x—ixcj, x'—ix'/)'-, a:;'^^a,r,

ix' p^ ^ <? [Jt^i mo(l/>^, y = I,

z' = i, o(.i= ocz' -h ix"p, ?7'"^~2-';(' — 0= 1-t -t- ^i;!-^ H- î^i — '

[jL, jji', ix" étant des entiers. On voit qu'on ne peut annuler ocj, mais qu'on peut faire ai == 1 en prenant ^' = a ', ^ = a. D'où le seul type ci'=b, C' i ac ^^ ba^-^'', c~^ bc ^= b.

Il reste à examiner si les deux types obtenus ne contiennent pas de gp"'-^ cyclique normal. Les expressions trouvées pour c-^a-^'c-, {c^bya-^}"' où l'on fait a = o,i montrent que \c~bya-''] n'est d'ordre />'" - que si a?^o, et n'est permutable à c (jue pour ot. — \ el p =^ r donc m = 5 ( alors p est > 2 d'après nos hypothèses): on vérifie aisément que ces conditions suffisent pour l'existence d'un g/j'»-- cyclique normal. Il n'y a donc, pour ni = 5 et /? > -2, que le premier type ( ' ).

(') Comparer Mili.eh, Transnct. of tlie Am. Math. Soc. t. III, 1902, p. 38;î.

lii CIIAI'ITKK IV.

14H ('). Soil A d'ordre />^ ip premier) le central d'un lipa+'n inétabélien (j = )A, 0,^ ..., b^[ ayant un cominulant cyclique )c\

d'ordre /;ï. Soient ^.hf■= A{i= i v ; v > i (97)), A 6^' bib^ = A/>,

les équations de G| A, en sorte ([ue les A 6, lonnent une hase de G|A ( lo) et que 2^/ = m. Soit enfin b'^' bibk= bicyi''(yi/t^= — Ya/)- L'ordre d'un élément quelconque Ae deG|A est =/?'!', car, c étant d'ordre /j>T, e^" est normal. Donc ^/^". En adjoignant à A successi\enient6|, ..., b.,, les conditions d'automorpliisme sonl/>^!v,y;.^o niod/>ï. C( étant quelconque dans G hors de A, on pourra toujours trouver un élément d non permutahie à C| ; prenons d tel que d~^ C\d ^^ c^dP"'^^\ [i'i étant niaximuiu (> o) et t premier à />, puis une puissance r/, de d telle que d~^c^d\ z=CiCP^~^'. Comme c^l ' et (l'I sont dans A, un élément quelconque a de G donnera //"' c, a = c, c'"/'"^ ■°', /<" ' c/, // = di c^P''~^' et, c, r/"'"// ^ (^ élan! permutable à r,, '/,, on voit que tout élément de G est de la forme c\''/\H'.2, V.2 étant permutable à Ci, /Y,. Si G > * A, C) , /t^i !, soit r.j une détermination arbitraire de v-2 hors de A; prenons (/ tel que o^~' Co d ^ c.2cJP''~^-^ jj., étant maximum O o) et / premier à /?, puis une puissance d-, de of telle que d',^ c^d.,^^ c-^cP'^^^-- On \erra comme tout à l'heure que tout élément de G est de la forme c|'i'/','C2-c?o^C3, V;^ étant permutable à c,, âf, , Co, g?2 et, si G est >> i A,c,, r/,, Cj, r/o !, on trouvera deux déterminations C3, d^ de (^3 telles que d~^ c^d^ = c-iCP'^~^'^ (j3!, étant maximum >» o). Etc. A a et Adi sont évidemment d'ordre /jPï dans G| A (comme aussi cj' ^7' ^''^' dans G; // Jaul donc qu'un an moins des Aa soit d'ordre p'i^ et les Ac, Aa? forment une base de G| A ; car de AWc^-'dY^= Aile,'' d^^ on déduit que nc,''~''v/j^'~*'' est dans A et que, par suite, si yi^y'^ mod/^f*', c^~^' est permutable à c/,-; or c^'~''' n'est permutable à di que si Xi — jr^^ ^ o mod/jP . Uonc les [ii| reproduisent les p/ à l'ordre près (llo). Ainsi le nombre des Abi de même ordre est pair (a fortiori v == 2v') et un au moins des j3, a la valeur maximum y.

Soit A-, un groupe abélien maximum de G, donc > A. On pourra prendre c, dans -l , donc d\ hors de d,, puis Co dans ^l, hors de

(') Cf., pour les n<» l'iS-l i7, I'^ith. Transacl. of the Am. Math. Soc, l. III, 1902, |). 341 , 335.

(-.HOri'KS It'oHDHK p'" . 1^5

j A, f , ; et (I., hors (le -l , puis c-^ dans ^l. hors de 1 A, c,, CoJ, etc. On a lira -.1, =: J A, C| , ..., Cv' !, car un ('h'-nient aWcl'd-'-' {ci dans A) de G

oc -f- —

ne peut être peruiutahU' à r, (|ue si jk< =^ o. Donc ; Jo, 1 1 = /> - .

114, Supposons maintenant (|ue A == | « ■ soit cyclique, que c = «'//'^ (d'où p + Y = a ) et soit />o/, := c/, b^i^^ di. G sera défini par «/'"■= I, bf = cC(,, b^ ((hj = a, d^' c-di=CiaP"-'^-^', d'-' cudi=Ck {iy^ A"), car, si à a Ton adjoint successivenienl />,, ...^b^ el si l'on pose b~' bib/(= bici^'i' (B//,= — 9/^/), la réalisation des conditions d'autoniorphisme />P'9//f ^ o mod/-"^ entraine celle de toutes les autres. (3n observera pour la suite la loriiiule

(|ui s'obtient par récurrence. Soit j3/S^i/,| (|j,^=z:v) et, pour préciser, soient v^f (/.'^ i, ..., s — i) les \aleurs de i |)our lesquelles \^->^j,< p2v,+ ^ Uv^=v). IN. sons ,Sov^+, = oa+, , 7.v,+ i = 3a+). et cherchons à réduire les -'/. Soit "'/= x, />'-'' (x/ nul ou picinier à p' o < a,- < a), Yo,-, = y'., y,/ = y}, Xo,, = x-, x,/ == y.], a,/., = a)-, i-xi^ a'/. En prenant au besoin c/rt-*', r//a/ pour c/. ^//, x' et y étant con\enablenient choisis, on peut supposer que x/:^ o ou i.

Soit /SV). Si tous les y^., ^'^ ne sont pas nuls, soit a, le plus ^rand des a,., a'^. Si /• >> i , en prenant au besoin c'^.d\ pour <^/, , et cj^^;'/;- pour dr {c^di et cjV/, sont permutables) et en déterminant x par xy.\p^t -+- x^/>*r ^ o mod/>'^, on remplace "'^ par o; en prenant ensuite f/^' pour c,- et c^ pour dr et en répétant l'opération précédente, on ramène à o tous les -/., ^']. où a' >> i . Supposons Xo = i . Si yo > 2, en prenant d^^ pour C( et c, c/y^'^'~"- pour <:/,, on ramène yo à o. Si /> = 2 , on a (c , d\i'"-~''--)P^^ = aP"' '•>"' ' +;»«-«.-'}+ 1 1 ^ Si a2< a — i , en faisant r(i +/>"'"'""') ^. — i mod/?^' et en prenant C\ d''^"'"- pour d^ , ^/~' pour C) , on ramène y^ à o. Si a^ = a — \ , comme «i ^ a, <; ^\= y = *5 011 aura [ii, ^ a, a, ^ a^ = a — i . ^/î opérant de même sur chaque série de pi égaux entre eux, on ramènera à o tous les ^^i (]ui ne sont pas des s, sauf si Ton aà la jois p = 2, pf =^ |i^:=a, auquel cas il y a à faire en outre r hypothèse yi = •^'.2:=p'^ * ; mais, dans ce cas exceptionnel, si y^ = o, on a (c,rf|)-"=i, en sorte que le type répondant à y, = 2"~',

I2(i ClIAlMTHi: IV.

V.. = . . . = v^ 1= o est à omettre connue se i amenai) t à celui où V, = . . . z= ''v ^ o (en prenant r, r/, poui- c, ). et (ju^il reste seulement deux types possibles.

SoiUnainlenant£Ai=/?°'^> £/ = />'^/ (/.<</). \i\\ posant c,^/''*'*^C;^^=«, on a iiP^'- =z ci-'^P"''^ yP''- . Si donc a/=a/i. ou |)eiil trouver x et j' premiers à /> tels que x/>«/ +)/>='/.= //^/. Kn prenant donc au besoin g pour c^^ et une puissance convenable de d./^ pour «^vi-. on aura a/, = a/ et l'on rain«'nera encore îa ;^ o- !^<>it donc a^ << y./. Alors, coujUHî (ci'^c;)^ )/''*'= a*"/'"* ^'*' '*^+.>7'"', on peut, si a/=a/;-|-o/ — Oa, ramener £/ à o y^en faisant x =^ — i, J^ = ' fl en prenant c^^^ c^^ pour c'v,), el, si a/ >> a^ -h 0/ — oa, lrou\er x, y tels que

puis, en prenant c;'|,c^, pour Cv, et une puissance convenable de d,,^ pour <'/vp ramener a/ à a^ H- O/ — Oa, donc encore ti à o. Si donc £a e/ £/ sont ^ o, o// /ve/// supposer a/ •< 7.a H- o/ — oa p/ >> aA.

Les types canoniques obtenus en donnant aux t toutes les valeurs possibles dans les limites trouvées sont distincts. Mn effet, si 5 = I (/» ^ 2), les types répondant aux diverses valeurs de s^ sont évidemment distincts entre eux, puisque l'ordre maximum d'un élément de G est /'P* si £5=0 et/yP<+°'~«< si £^=^/>°'<, Supposons les types obtenus distincts pour les valeurs de s inférieures à celle considérée. Le j^roupe G^ des éléments dont la puissance />^--i est dans A est, en posant p^~^i-i:^~,

; A, c,, c/i, c,, d-i, . . ., cv.j,, afv,„ c^,__,-M' <^^,^,-i-v • • -i ^^^,1 ''^?. !•

Or on peut ramener G^ à un type canonique où les £ sont au nombre de s — 1 et coïncident, si s^\, avec ceux désignés pour G par £,, . . ., £i,. Cela est clair si £^^0. Si e^^ o, £?, = o, il suffît d'échanger les couples Cv, ,^1, <^",+i et Cy^ .4.1, d-^ j^^. Si £^£v,^o, donc ts-\<^^si il suffit de remplacer c,^^^, par ^'v.-,4-i'^7,I.'/'"'- Or aux G^ distincts répondent évidemment des G distincts. Donc tous les types obtenus pour G sont bien distincts.

145. Le nouibre de ces types est d'ailleurs aisé à calculer. Soit ni\e nomljre des systèmes de valeurs distincts de £), ..., £/. £, a les 0, -\- I valeurs possibles o, /o' (« = o, . . ., o, — i) {p^ 2).

(iKoi l'Ks d'oudhk p'" . liy

Su [(posons |>roii\ ('■ (|iic /?/= n'i {Or — o,„, + I ) |)oiir / == I , . . .. /. — i (Oo^o; />^2). Si £/t-i^<J, 'fi it Ifs oa — oa ( \aleiirs possiljles

£A- I />'{i= ' ^A — ^/,- 1 — I ), <l'où ( //A . I — /'A-^2,)(^A — ^A ,) systèmes

poiii' ;, îA- Si £a-i = o, £a-j^ o, £a a l<'s oa — r>h^.. valeurs possibles £a- j/>'(/= I, ..., Oa — Oa.j— l), d'où {jn --i — ni, :i)( Oa — Oa:.)

systèmes £,, . . ., £a. Si ôa i = ... = £:.= o, £, ^ o, £a a les oa — o, valeurs possibles t.>/)' (i^ i , ..., oa — o., — i ), d'où (n , — •)(^^ — ^0 systèmes £,, ..., £a — Si £a, =...= £, = o. £a a les Oa + i valeurs possibles o, // (/ = o, ..., 2a — i ), d'où oa -(- i systèmes £,,..., £a- On a, en ajoutant /?a = S'J ' /'/<5^+( — S,)+o,H-i et, |)uis(|ue niioi^t — Oi+i ) =: /?/+, ( «■</.), 0, H- I = /? , ,

«A = /iA-l(^A— W.-l )-H -i^- («/-Hl — /'(•) -i- /M = «/.-l(^A— ^A-I-H U-

Donc n, = Il 'i ( 0/ — 2/ , + i ) ( o„ = o ; /> ^ a ) .

146. Soil F le central d'un ^p'^--" i p premier) G ayant la série spéciale i , F, A, G, A. étant d'ordre /f^ et G j F ayant un ctjm uni tant cyclique ;Fc; d'ordre/>T. On peut supposer (ii'B) que

G ^ ) A, C], ^/i, . . . , Cv, d,j [,

Ci et (Il étant d'ordre />i^' mod \ (S[ii,= /?/, o ■< [j,l^ [j/4.1 , [i^^y) et véiùfiant mod F les mêmes équations qu'au numénj j)récédent : on aura en particulier c/^ ' Cv f/v = Cv c/", f étant dans F; c/" étant donc un commutateur de G est normal dans A. (94-) et par suite aussi c. Couime SjJj= m et qu'on peut former G en adjoignant à Aies C/, <://dans un ordre quelconque, il faut que | A,c/,<:/,, ca, <^a1 contienne )A,c,, <://! et ; A, c/, r//, ca ! . Or les conditions d'automorphisme appliquées à dj' Cidi^ CicP^~^' fi {/) étant dans F) donnent tV^' oP'^^'d^^^ C/^' cP'^^^'C/i^^= cP'^'. En particulier, cP' ^' est permutable à c/, di pour 1^2. et cP''^' à c,, <i) . Donc cP''~^' qui est une puissance de cP'^^- est permutable à tous les c/, <:// et, comme il est normal dans A, il l'est aussi dans G bien que hors de F, ce (|ui ne se peut. Donc G n'existe que si y ^ i .

147. On en déduit que, dans un groupe G ayant la série spéciale 1, F', A, G et un commutant cyclique C^ ;c;, le commutant FCjF (63) de G|F est << AjF'. sauf peut-être si

(IIAI'ITUK W

(A, F) ^ 2 ino(l4 [on verra (150) que re\(e[)liou se pioduil réellement ). Il suffit (96) de le uioiilrer pour le cas où (G, i ) = //" eu supposant (A, F) =/>°'^3. c est dans A, puiscpieGl A, estabélieu, et hors de F, sans quoi G|F serait ahélien. Or, si FC = A, A|F est ('v<"lique et G est de la forme \ A, c,, d, S, C|, d, \éri liant des équations de la forme Fd'f''^=V^ cP' =^ f\ d\^ c^d^ ^=- C\Cf^ ^

d ^ ' cdx = c/^, d'où, par récurrence, d ^-^ c, d\ = c, c'/' " et,

pour X ^ p'^ (;> a), /'== I. Mais alors, G étant normal, FG ^ A serait produit direct et ahélien contre l'hjpothèse. En particulier, lin gp'ip'^'^) ne peut avaii-de commutant cyclique d^ordre p- .