Les g/;<+3 Ti de figure (si) (i i). G est défini par
«/'■ — bi' —\, cl' = cfibV-, di' = <fib'', b-^ ah ^= c-^ ac ^= d ^ ad ^ a^ c^ bc =^ d ^ bd ^ b, d^^ cd ^=ca9b'^^
p =s o mot! /)■••"-' ci]) avec l'une des deux eonditions p^o niod/j''', T^o iiiod/i (car la condition pour que dyc-^a^b^ soit normal est py^ p-T modp''. "yy^ T.r. et elle doit n'être vérifiée que pour x^^y^o). On a alors par récurrence
„ // 1/( — Il -/((« — 1 1 •
{drc-^a'-^b?)"- = d"yc'^-^b - a -
(ûf^C-^aOC^p)/- = ^lJ.jr+v>-Hî(T.f.> (^ya■^-e.r-^-£pJ■.y■; s = o, 5i/?>'2; î = I , si ^ =2 ;
( dy c-^' «a b'^' ;-' dy c<: a'^ b'f- dï c^' aJ- b'^' = c/vc-<aO'-+-p (iy-r-^') ô^+'î '-^t'- r-^').
Le changement de générateurs le |)hi-; général qui conserve la forme des équations de G consiste à remplacer a, b, c, d respectivement par a'^bA = a', a< bf\ = b\ dvc^a'^bi^ = c', df c^' a'^' hf^' = d .
Pour que rt', b\ c', t/' engendrent G et satisfassent aux mêmes équations que a, è, c, d où -,', ]^-, o, v, p, a sont remplacés par y', [J- , ^', ^>' - ?', '^' respeclivemenl, il faut et il «ullit qu'on ait (je sous-enlendrai désormais le module/;)
J si*^i, ^ ^ o, ^'5= o m od /;•''"-•, ïi'^o,
f si 5 = 1, ^r/ — T, ^'^o;
(ces premières conditions assurent l'indépendance de a', 6' et celle de c',d' mod ) a', 6' { et permettent d'exprimer a, b. c, d par a', b', c', d', qui
GROIPES 1) ORDKI-: f
engendrent par suite G);
p'^omod/P^ ', avec p'^omodp* ou «j'^o;
( '(X -\-oy -^ lip -^ tpxy ^'("ç,-^ \x"!; niod/>-%
\ \Lx' -\-^*y -\- z<yx'y' ^so' -f] -\- 't' ■{]'] j cr( ^y — j'.r' ) = p' r, + cr' r/, / p( j-j^' — j'^-') ss p'^ -t- a'^' modyo'.
5'r>/7 d'abord s i-i. Alors, quel que soit/?, (i) entraine
et détermine h, h' lorsque (4) est vérifiée; (3) montre que a' s'annule moAp toujours et seulement avec a.
Soit (T^o. On pourra faire j' = o, p' = yc>*"-'. Supposons donc o- = a' = o, p = p' := p^~K (•2) et (4) montrent que l'on a y'=s [jl'^ 0';= v'^ o toujours et seulement si y ?s [ji es 0 ^ v ^ o, et que A {xy' — yx' ) ^ A'( ^yj' — /] ^' ) ( A = Yv — ôl^, A' = y' v' — 0' ;j.' ).
Si A ^ o, on peut faire y'='''=o, o'=[i.'=i en prenant ^ = tq' = A, ^' = Y) =0, a; = — 8, j' = Y> .^' =^ V, j'' = — [JL, d'où le type (je sous-enteiidrai les équations communes à tous les types)
cf = b,
dP
d-^cd = caP'^'.
Si A is o sans que y ^ H"- ^ ô ^^ v ^ o, on peut toujours faire y' = I^"-' = o, Ç = Y)' = I , ^' = Y) = o, prendre pour x, y des solutions non toutes deux sh o de ^[X-i-oy^o, pour x', y' des nombres vérifiant xy' — yx'^si, puis 0' = '^x' -^ oy' , v' = [jia:'-i- vjk'. Supposons donc y = M- = o (donc on n'a pas 0= [ji=:o), Y=H^'=o. D'après (4), 0' s'annulera alors mo(l/> toujours et seulement avec 0, et, si 0^0, on peut faire 0' = i en prenant x = o. Si 0 =: 0' =1, on pourra faire v'= o en choisissant bien y), d'où le type
( 6 ) cP = i, dP = a, d^cd = c aP'~' .
Si 0 = 0'= o, donc V ^ o, on pourra faire v'= 1 , d'où le type
(7) c/' = i, dP = b, d-^cd = caP'~\ Si Y ^^ I^^ ^ 2 ^ ■' ^ o, on a le type
(8) c/' =£//' = !, d '^cd= caP"'\
(6) et (8) sont des produits directs de \b\ et de [ a, c, o? |.
l3o CIIAI'ITIIK IV.
Soit a ^ o. On pourra faire a' = i , p'= o et par suite supposer a = T'= i, p = p'=o.
Sip^2, donc £ = o, on n'a qu'à répéter ce qui précède en mettant seulement h au lieu de «/''"' dans les équations (5), ..., (8). Soient ( 5'j, .... (S') les équations ainsi déduites de (5), . . . , (8) respectivement.
Si p=:i, on voit, en considérant les six déterminations possibles (modp)
de la matrice ) que l'iivpotlièse y^o^o entraîne v'^o'^o.
Si l'on n'a pas y ^ o 5= o, on peut faire y'=: o, 0'= i. En supi)0sanl que Y = 7'= o, 8 = 0'= I, on a [jl ^ [jl' et on peut faire v' = o, d'où les types (5'), (6'). Si Y ^ 8 ^ o, l'hypothèse [jlv ^ [ entraîne [jl'v'^i et, quand fjLv ^ o, on peut faire ;ji' = v' = o, d'où le type
(7") c2=rf2=è. d~^cd=cb
et le type (8'). On voit que, pour p^=:i, (7') coïncide avec (8'), tandis que, pour /j >■ ■?., (7') coïncide avec (7').
Soit maintenant 5 =: 1. On peut alors toujours faire p' = o, 7' = i et Ion a les mêmes types que pour s >> i, j ^ o.
Tous les types obtenus sont distincts, d'après la méthode même qui les a fournis.
1-49. Les gp"+a G de figure (ir ... i)(ii). Soient A le central, Ac?, ke deux générateurs de G | A, P = ]di\ ei'\ le groupe des y?'«™«* puissances des éléments de G. Si e-' de = da, ; a j =: G est commutant. G est le produit direct de G' =: ! PC, d, e\ (de même figure que G avec n = i, 2 ou 3 ) par un groupe abélien principal^ i, et le type de G' dépend de G mais non du choix de n?, e. Il suffit donc de déterminer les groupes G'. C'est ce qui sera fait au paragraphe III.
130. Les ^p^+i G de Jigure (s)(ij(ii). D'après les types connus (143) de figure (1) (i 1), G est défini par
iaP' —i, bi> — aP, ci> — bV-at, di> = b"' a^\ b-^ ab = c"-' ac = rf-' ad = a, C-' bc = ba^, ûf-' bd = ba'^, «?-' cd — cba9,
et l'on peut, en prenant au besoin ba9 pour b, supposer p = o. Pour que G soit d'ordre /J^+3^ j] fa,|t qi suffit (21) qu'on ait
( 2 ) X ^ X ^ o mod />^-' ,
y.p(p — i) o '^pip — i) o ,
y. a = TV = ' ' — Tfx -H 9 = ^C-LC '. ; y. v -1- B = o mod p" .
D'après (i), un élément normal est de la forme b-^a'^. Pour qu'il soit
(iHoupEs d'okdrk /?'". r3i
nécessairement de la forme «'-'•, c'est-à-diro pour que (î ait la figure voulue, il faut encore (|iie v. ou - soit jé. o mod p^ .
On [>oiirra donc toujours, en prenant au besoin cï d poui' d et a-^ pour a, faire ■u^/»''"', puis, en prenant d^c pour c, faire y. = o. // résulte alors de {i) que v = o, [jl = £, ^ = zp^-^ (e = o si p^ -î; s = i si /? = 2), en sorte que les équations de G deviennent
a''" = I , bi' = a^i'''\ cl' = 6' «y, c//' = «S^
