e-' ac = f/" ' ad = a

c-^bc = b, d U)d = bal'"", d-^cd ^cb,

et l'on a par récurrence

«(" — Il , ,r :(;-l)-|v"-» ,v"-'"'-l

{d^cyb^)" = d'^~c"yb ^- a y- - J -,

d'où en particulier ( s' == o si /> ^ 3, s' ^ i si /> = 3 )

, , , Yv + 03 + e;)'—'. J--l-.ru-)- +îP J3*

{d-crb->^^)/' = b^'-y+y-'a^- ' L ' 2 J ' ■' ^

puis

( d" c> ■ 6*' j-i d^ cy bx d^' cr' b^'

Pour que a- = a', a^'bn^b', d^ cy b-^' a'^ = c' , d^' cy' b'^ a^' = d' xérideixl les mêmes équations que a, b, c, d respectivement, y, 0 étant remplacés par y', o'. et engendrent G, il faut et suffit que l'on ait (X, X', X" étant entiers)

^ ^ o, n ^ o, zf — jrz' ^ o

(ces premières conditions donnent G = ) a', b' . c', d \),

/>ç'-t- Zfjj^-^ =^ o mod /)■'■', ^ y -^ ^y^

T/ -f- 0^ -t- /> oc -t- /?^-' < £ Lr H- 372 -^ y

Kp.

;jk'+ £./-'= X>,

Y j' -t- Iz' -\- pa' -\- />'«-i I £ Tj 5 ;= o, />■'-' 3"^' — 23"' -f- y

'iz'-

+ xJ + £>22 j.^Y'?

^ X>, '/' = ^' mod /?*.

mod yo^, mod />*',

Soit 5^2. Alors, quel que soit />, (3) entraîne (2^0) yjK^y'^î Yjr'-i- os' ^ o'ç et détermine ensuite a et a'. Comme ^ ^^5'-, on aura

Si donc Y ^ o, 0' s'annule mod /< avec 0 et peut être pris égal à f pour

l32 CHAPITRK IV.

0 ^ <). Si Y ^ o, on peut faire o' = o et, pour p > 2, y' = i ou N, IN étant un non-reste arbitraire. D'où les quatre types

(4) cP = di'=\\ ci>=\, df—a; ci'=a, f//' = i; ci>=a^, di>=\, py-i. Si yo = 2 (donc s = 1), on n'a que les trois types

c2 = è, <^'^ = 1 ; c^ =6, d^ ^ a\ c- = ha, d^ = 1

répondant aux trois premiers (4)-

Soit 5 = 1. 5i /> > 3, ce cas ne diffère pas du précédent. Si p == 3, on a

s'2^i, Y ^^ y', ( y -t- i)J''~'~ °^'^ ^^- Si Y^ — '» O" peut faire o'=o; si Y^ — '5 ^ s'annule avec 8, et pour 0 ^ o on peut faire 0' = 1 . D'où les quatre types

Les deux premiers types (4) co'incident pour /? = 3 et les deux derniers (5) pour/) > 3.

Si p = '2, on a Y -+- 1 ^ y', '{y' -^ ^ ^ 2'. Si y = ' on peut faire 0' = o; si Y = o, on a 0'= 0. D'où les trois types déjà rencontrés (141)

c2 = ba, d^ — i ; c^ = b, d'^ = a^, 0 = 0,1.