I. — Ensembles (M

1. Un ensemble A d'éléments quelconques est dit coi'respondre à un ensemble B d'une manière iinivoque quand à chaque élément de B répond un seul élément de A.. Si la réciproque est vraie, la correspondance est biunivoque et A équivalent ou égal à B. D'une correspondance biunivoque de A à B ou projection de A sur B (donc aussi de B sur A) on peut toujours en déduire une autre où à un élément arbitraire a de A réponde un élément arbitraire 6 de B : il suffît, si, dans la projection donnée, a répond à b' et b k a\ de projeter a sur b et a' sur b' sans rien changer au reste.

2. Entre les objets a et b supposons qu'il y ait une relation /■ mutuelle, composée par conséquent d'une relation r' rapportant a à b et d'une autre /■" rapportant b a a. Si r est asymétrique, c'est-

(') G. Cantor. A/. A., t. XLVI; iSgS.

à-dire /•' différenl de /•", et si l'on fait abstraction de la nature de /• sauf de V asymétrie, on obtient une relation d'ordre. Lorsque entre a et ^ il y a une relation d'ordre, le couple («, ^) est ordonné : on peut exprimer ce fait en disant que la relation d'ordre constitue a antérieur à b el b postérieur à a (ou inversement). Si entre « et Z> il y a une seule relation d'ordre, l'ordre est simple; sinon, il est multiple et alors a pourra être avant b en vertu de certaines relations d'ordre, après b en vertu d'autres. Les couples ordonnés (a, 6), (a,, b^) sont dits semblables quand à chaque relation d'ordre constituant a antérieur (ou postérieur) à 6 on peut faire correspondre une relation d'ordre constituant a^ antérieur (ou postérieur) à 6, et inversement.

Soit R un ensemble de relations d'ordre. Un ensemble E est ordonné en vertu de R quand chaque couple d'éléments de E est ordonné en vertu d'une au moins des relations de R. L'ordre de E est simple si l'ordre de chaque couple est simple; sinon, il est multiple. Un ensemble ordonné est sembiabU' à un autre quand on peut établir entre eux une correspondance biunivoque telle qu'à tout couple d'éléments de l'un réponde un couple semblable de l'autre.

3. Un ensemble E est évidemment égal à l'ensemble N que l'on obtient en faisant abstraction de la nature de chacun de ses éléments, c'est-à-dire de toute détermination autre que son individualité distincte comme unité composante. Les éléments de N étant individuellement désignables, on peut ajouter à chacun telle détermination que l'on voudra et passer ainsi de E à tout autre ensemble égal. L'ensemble N ainsi déduit de E est la puissance ou \ ordre de E ou le nombre cardinal ou simplement le nombre de E ou des éléments de E. On se sert souvent de locutions abrégées comme répéter un nombre, décomposer un nombre en plusieurs autres, etc. ; mais il est clair qu'un nombre répété, un nombre décomposé, une partie de nombre ne sont plus des nombres au sens qui vient d'être défini, les éléments ayant reçu de nouvelles déterminations.

Si E est ordonné et si l'on ajoute encore aux éléments ou unités de N les relations d'ordre qui en font un ensemble N' semblable à E, N' est le nombre ordinal ou le tjpe ordinal de E.

PRKMIÈRES DÉFINITIONS. CONSÉQUENCHS. 3

■4. Si A. et B n'ont aucun élément commun, \ + 13 désigne l'ensemble obtenu en réunissant les éléments de A. et de B. Si A et B ont des éléments communs, on opposera à lui-même chacun de ces éléments communs comme appartenant d'une part à -V et d'autre part à B, et alors dans \ H- B il sera pris une fois comme élément de \ et une autre l'ois comme élément de B. Cela revient à dire qu'en écrivant A + B on regardera toujours V et B comme n'ayant aucun élément commun. A. -f- B est la somme de A. et tle B et l'opération ainsi laite se nomme addUion. On a évidemment A -f- B = B + A et \ + (B 4- C) = ( A + B) -|- C.

(^uand B est exclusivement composé d'éléments de A, A — B désignera l'ensemble des éléments de A qui sont hors de B. Il est commode d'introduire des ensembles fictifs ne contenant aucun élément : leur nombre sera désigné par o. Si A — B = o, on a A = B (mais non réciproquement, on va le voir). Si A — B ^ o, je dirai que B est une portion de A, que A — B est la di (féreiice de A et de B et cjue B a été soustrait de A.

La notation S(.r)^ A exprimera que A est un ensemble dont les éléments sont d'autres ensembles et que x parcourt ces derniers. Pour désigner l'ensemble A' déduit de A, en prenant pour éléments non les x mais les éléments des x^ j'écrirai '^x = A'.

Uarrangement ab des éléments «, b s'appelle produit de a par b. Si a parcourt l'ensemble A et b l'ensemble B, ab parcourt un ensemble S «6 qu'on désigne par AB ou A. B ou A X B et qui est le produit de A par B ; l'opération ainsi faite se nomzne multiplication. On a évidemment AB = BA, A(BG) = (AB)G, A(B + C) = AB + AC et AB = SA^ = S^B. Chaque kb étant égal à A et chaque aB à B, on voit qu'on peut décomposer AB en ensembles égaux à A formant un ensemble égal à B, ou eia ensembles égaux à B formant un ensemble égal à A.

Supposons qu'à chaque élément a d'un ensemble A on associe un élément b dun ensemble B, b ne variant pas nécessairement avec a et ne parcourant pas nécessairement tout B. On peut imaginer b placé sur a et appeler l'opération ainsi faite la couverture ff^^k.) de A par B en représentant b par /^{a). Les couvertures /g (A), f^{k) seront distinctes si, pour un seul des a, f\i{fi) est différent de f\{a.). On désigne par B* l'ensemble des couvertures yij( A) distinctes. Chaque élément de A'* A'' est le produit d'une J\{^) par

4 CIIAI'ITKK I.

une fx{C) et correspond ainsi l)iiiui\o(|uciiioul à une f\(\i -'r G) ; donc A"A^ = A^"^^. Chaque élément de A^B'^ est le produit d'une /*j^(C) par une /b(G) et A'B^' correspond ainsi biunivoquenient à une/A,i(C); donc A^'B^^r (AB)*^. Chaque élément/'AB(G) de ( .\'')*^ s'obtient en plaçant sur cliaque élément de G lous ceux de B el en même temps sur cliaque élément de B un éléuienl de A; donc chaque /x"{C) correspond biunivoquement à une /bi;(A) et(A'^)^ = A''c.

5. Le nombre i étant connu, on a par définilimi 2 = 1 + 1, 3 = 2 + 1, .... Les nombres ainsi obtenus que Ton nomme entiers positifs ou naturels et tous les ensembles équivalents sont àil finis, les autres in finis ou transfinis.

Soient A et B des ensembles quelconques. On peut faire les hypothèses suivantes qui s'excluent mutuellement et ne laissent place à aucune autre ( ' ) :

Ou bien A ^ 6, b étant une portion de B, sans que B soit égal à aucune portion de A : on dit alors que A est <; B et B >> A (on ne peut avoir A = B, car on aurait /> ^ B et la projection de A sur B fournissant une portion « de A égale à 6 il en résulterait a = B). Si A < B et B < C, on a .\ < C.

Ou bien B = a^ a étant une portion de A, sans que A soit égal à aucune portion de B : alors B est •< A et A^ B.

Ou bien A = 6 et B = «, « étant une portion de A et b de B. Alors A = B. En effet, la projection de A sur b fournit dans b une portion b^^ a et b — 6, = A — a. Celle de B sur a ^^ bi fournil dans bt une portion 62=6 et bf — Z>o = B — ^. Celle de A sur b fournit de nouveau dans ^o ^3= « et b-2 — Z^s = A — a; et ainsi de suite. Donc, quel que soit /?, A — a = b.2n — ^2//+!^ B — b ^= b-2,t^{ — bo,i. Si d'ailleurs c est l'ensemble commun à 6, ^, , b.,, ..., on a évidemment B = c + (B — b)-\-{b — 6,)+(6, — ^2)+---' b = c-[-{b — b^)-{-{b^ — ^2) -+-•••• Lu faisant correspondre les termes de rangs i, in, 2 /? + i de la première suite aux termes de rangs i, 2/? + i, in de la seconde respectivemenl, on voit {les deux suites étant infinies) que B = A =: A.

(') Voir E. BoREL, Leçons sur la Théorie des fonctions, Note I.

l'KKMIlÎHKS DKFIMTIONS. CONSKOf KN<:RS. 5

On Invn A n'est cj^al à aucune poition de B el B à aucune porliiin (le V: celte hypothèse n'a pas encore été assez étudiée.

6. Aucune portion <la nombre Jini n n'est égale à n. C'est évident j)our /? = i . Or, V désignant un ensemhle cjuelconque (pii n'est égal à aucune de ses portions, il en est de même de A + a^ (f étant un élément hors de A. Car si A. + « =: B, B étant une portion de Ah- a, et si a' est l'élément de B = B'H- a' qui répond à a dans une projection de A H- (7 sur B, on peut toujours, au cas où B contiendrait a, supposer la projection telle c[ue a'^=:a, en sorte ([ue B' soit en toute hypothèse une portion de A; mais alors (tn aurait A^ B'.

Tonte portion p de /i 4- i est un des nombres i, 2, ..., n. Supposons-le vrai |)()ur !, ..., n. Le seul cas à considérer est alors celui où lunité ajoutée à n pour obtenir /? + i et que je désignerai par 1' est dans p ^= p' ^ ^' . Alors/?', portion de /z, est un des nombres o, i, ..., n — 1, et/)'+i', par suite, un des nombres i , . . ., n.

De ces deux propositions il résulte d'abord cjvie // + 1 est >> /i et ensuite qu'il \iy a pas de nombre ^ > /? et -< /î -h i , ^^^ ^ doit être un des nombres i, 2, ..., n dont le plus grand est n.

7. Le non)bre Q. de l'ensemble s^=ll{n) des nombres finis est transfini, car, e étant un élément hors de s, s -\- e ^ s [on fera correspondre e àe s -\- e k 1 de 5 et (/i) de 5 + e à (/? + i) de .s] donc il 4- I = 0, ce qui n'a jamais lieu pour les nombres finis. Un ensemble de nombre Q est dit dénombrable.

De Q-hi = ù on déduit, pour /7 fini, ù-\- n^ù. Comme d'ailleurs S(/î) = S(2/?,) +- ^(2/z — I) et que :i:(2/«) = S(2 w — i) = S(/i), on a Q -i- 0 ^ Q, d'où /?Q = Q. Si l'on appelle premier tout nombre qui n'est pas le produit de deux facteurs plus petits que lui, 12 doit être regardé comme premier.

Considérons ensuite lensemble [ïl(/i)]- = S(m/ï) [m el n parcourant les nombres finis) de nombre 0-. Pour avoir tous les mn on peut les ranger suivant les valeurs croissantes de m -+- n et, à égalité de valeur de m -+- /^, suivant les valeurs croissantes de m. En faisant correspondre le k^"'^ terme ainsi obtenu au nombre k^ on voit que S(m«) = S(/i). Donc Q^ir^Q et 11'^ Q. Ainsi le

niAiMTHi; I.

nombre des systèmes (.r,, ..., .r,t) ou points de coordonnées A*i, ..., x„, dans lesquels chaque x est un entier jiosilif, sera Q«= U si n est fini.

Tout nombre tiaiisfini est ^ù. En efl'el, tout ensemble transfîni E contient des parties de nombre Q, car, si l'on y prend un nombre fini d'éléments <?i, ..., e«, on peut encoi'e prendre un autre élément e«^, et l'ensemble des e obtenu en continuant ainsi est égal à ù. Toute partie trans finie A = 2C(a) r/e 0 équivaut à Q, car, l'ensemble B des nombres inférieurs à ceux de A ayant un élément maximum ([^) (sans quoi B comprendrait tous les nombres finis), A aura un élément minimum (a,) = ([^ + i), A — (a,) en aura un (ao), ..., en sorte que A = S(a/^)^ S(/?) = Q.

Dans un ensemble transfini quelconque E on vient de voir qu'on peut isoler un ensemble D = 0. Soit E = D -f- E'. Supposons E' transfini [cela avira forcément lieu si E >> 0, et si E correspond biunivoquement à ^(/ï), il suffit de former D des éléments répondant à ceux de S(2/?)]; on aura de même E'=0-|-E". Donc E = D 4- iî + E"= Q -hE"=E'. Ainsi tout ensemble transjini a des portions qui lui sont égales, contrairement à ce qui a lieu pour les ensembles finis.