II. — Groupes. Définition. Équations

8. Considérons l'ensemble G',' des arrani;emenls n à n avec répétition des éléments d'un ensemble G) et l'ensemble F formé de la réunion des éléments des G'/ {n parcourant les entiers positifs Jinis; G] = Gj). A chaque élément de F faisons correspondre un élément de Gj, de telle manière qu'à chaque arrangement se réduisant à un élément réponde cet élément lui-même. Nous adjoindrons par la pensée à chacpie élément de G( ses relations avec les divers éléments de F auquel il correspond et nous appellerons G l'enseml)le des éléments ainsi modifiés. Disons maintenant pour simplifier, si l'élément x répond k ab. . .k (a, b, . . . n'étant pas forcément tous distincts), que x est composé de a, b, . . . , k qui seront les composants et écrivons x = a^b— . . . ^k. Lorsque aucune confusion n'est à craindre, on assimile la composition à une multiplication, parfois aussi à une addition où l'ordre des

l'UE.MIKRES DÉl-IMTIONS. CONSÉQUENCIiS. 7

éléments n'est pas indifférent : on écrira ainsi x =^ ab . . .k dans la notation multiplicative, x = a + h -\- . . . + k dans la notation additive.

Si les produits ab...k sont indépendants de l'ordre des facteurs, G et la composition sont dits commiitatifs ou ahéliens. Deux éléments «, b tels que ab = ba sont dits /ler mutables l'an à l'autie ou simplement permutables. Si la composition est associative., c'est-à-dire si l'on peut dans chaque produit, sans altérer ce produit, remplacer un nombre quelconque de facteurs consécutifs par leur produit, G sera dit un corps. Il faut pour cela et il suffit que abc^= a(bc), a, b, c étant trois éléments quelconques (Postulat I). Cette condition est toujours remplie si G est abélien (*).

Soit S une partie de G telle que tout élément de G soit un produit d'éléments de S. (Si G n'a qu'un élément, il faut que S =^ G et l'on peut d'ailleurs toujours prendre S = G; mais, en général, on pourra et de plusieurs manières déterminer S sans y faire entrer tous les éléments de G, car, si a et ^ sont dans S, il est inutile d'y prendre a[i). Les éléments a, [B, ... de S sont dits générateurs de G; S est un système de générateurs et Ton écrit G = I S j = { a, ^, . . . î ou, plus généralement, G = | S', S", ... ! si

S = S' -h S" -h /Si, quels que soient a dans S et 6 dans G, v.x =: b

a toujours au moins une solution [Postulat II), en sorte que y.x parcourt G avec x (alors, a étant quelconque dans G, a x =::^ b ^ toujours une solution, car si « := a[3 par exemple, a k = 6 et ^x ^y ont une solution); s'il en est de même de a7a = b [Postulat III) en sorte que x'y. parcourt G avec x] enfin si G est déjà un corps, G sera un groupe. Pour abréger j'écrirai souvent »■-< pour groupe d'ordre N (l'ordre étant, je le rappelle, le nombre des éléments du groupe (3)).

Supposons que G soit un groupe. G contiendra un élément u tel que ua = a d'où uax ;= ax quel que soit x, et, ax parcourant G avec X., ub =z b quel que soit b. Il y a de même un élément u' vérifiant eu' = c quel que soit c. En faisant a = u'^ c = u, on voit que uu' ^= u' u = u' = u a une seule détermination. Cet élément u

C) D'après ce premier postulat, la couverture /r-(G) (4) qui définit le corps est complètement déterminée par /g5(G). Si G est d'ordre N, G- est d'ordre N- et le nombre des corps d'ordre N est S. N^N.

8 CIIAPITRK I.

est l'unité de G et on le représente ordinairement par i dans la notation multiplicative (par o dans la notation additive). Si ya^az= i . on déduit de a.r = ax' que yax :^yax' ou 37 = 37' et de xa=z x'a que xaz-=x'az ou x ::= x' . Donc la solution de ax=b ou de xa = b dans G est unique. L'élément 37 tel que ax = i se désigne par rt~'. Si G est abélien on écrit parfois - pour ba~'^:^a~*0. (Dans la notation additive on écrit — a pour a~' et b-\-( — a)^b — a pour ba~^ .) De «a~'= 1 on déduit, en multipliant à gauche par a~^ et en divisant à droite par a~' (c'est-à-dire en supprimant à droite le facteur «"'), «"' a = i . « ' est C inverse de a. L'inverse de ab est b~^ a~^ . b~^ab est dit le transformé de a par b. Si a et b sont permutables, b~^ab = a. Dans le cas contraire, b~^ab peut se mettre sous la forme «c, d'où ab = bac^ ba = abc ^ ; c et c~' sont les deux commutateurs de a et de b. Si, « et b parcourant indépendamment l'un de l'autre une partie A d'un corps G, les équations ax = 6, xa = b ont toujours une solution dans A, A. sera un groupe. 11 suffît de montrer que ab reste dans \. Or, A. contient évidemment i, «"', 6~', et ab est la solution de a~^ x=^ b.

On verra, par de nombreux exemples, que les trois postulats ne sont pas contradictoires. Ils sont d'ailleurs indépendants, car si l'on prend la loi de composition ab --:^ «, le premier et le second sont vérifiés, mais non le troisième; en prenant la loi ab = b, le premier et le troisième sont vérifiés, non le second; en prenant dans un groupe abélien quelconque la nouvelle loi de composition a — b = ab~*, le second et le troisième sont vérifiés, non le premier ('). ^^ ^

Si l'on remplace les postulats II et III par ceux-ci : y.x = b%^ Xr- " quels que soient a dans S et /> dans G, au plus une solution {Postulat IV) en sorte que ax=iax' exige x = 37', quel que soit a dans G, et de même pour xoL=^b [Postulat V) en sorte que xa-=^x'a exige x ^= x' ^ je dirai que G est un semi-groupe. Les exemples précédents démontrent l'indépendance des postulats I, V, IV. Un semi-groupe fini G est toujours un groupe, car, x par-

(') L'ordre du groupe esl suppose* >i. Cf. Huntington, 5. M. Adi., t. VIII, p. 29601 .100, 1902; MooHE, Transactions of tlie Am. math. -Soc t. III, p. '(Sô,

i>uEMH':iU':s définitions conséqukncks. 9

courant G, ax cL xa parcourent cliacun tons les éléments de G en sorte que ax = b et xa = b ont toujours des solutions. Si un senii-i^roupe G contient i et une solution x de a.r = i, on en conclut, en multipliant à droite j)ar a et en divisant à j^auclie par (i, que xn z= i et <[ue x est Tinverse de a.

9. a*-' et a--^' se définissent par a-^= a-^'-* a, «-•* = a-(-*'~'^«~S en sorte que rt^*=(cr ')^ est l'inverse de a'; a-'a-y= a''~r si x>y, et a-^a-y=a-^r--^^ si jk>^; «°= i- Si «'" est la première puissance de a qui soit égale à i, /?« est \ ordre de a\ c'est aussi celui de a"'. Pour abréger, j'écrirai souvent e,„ pour élément d ordre m, e^,„^ pour élément dont l'ordre divise m. Supposons m fini. Pour que a'^=rt*+^ il faut et il suffît que [i soit divisible par m; ainsi l'ordre q de «^ est déterminé par la condition que aq soit le p. p. c. m. de m et de a, et ^ est le quotient de m par son p. g. c. d. avec a. Les éléments i, «, . .a'""' forment évidemment un groupe abélien d'ordre m qui est la période de a : un tel groupe est dit cyclique. Un groupe dont tous les éléments ai sont d'ordre i est abélien, car alors {aiah)-=^ i donne ciiCik^ akCii. Si m est infini, la période i, «, a-,.. . ne forme qu'un semi-groupe; mais la double période ... a~-, a~', a, a-, ... est un groupe cylique infini. Ainsi les entiers 1,2,..., lorsqu'on les compose par l'addition ordinaire, sont les puissances successives de i et ne forment qu'un semi-groupe : mais si l'on adjoint comme éléments sjnnboliques les puissances de l'inverse — i , dites nombres négatifs (ou << o), et l'unité o, on a un groupe dont les éléments sont les entiers réels ou rationnels. X etjK étant des entiers positifs elx';>y on convient que — x<i — y. Le nombre des points ( j?, , . . . , x,,) dont les coordonnées sont des entiers réels est 12" = 12 pour n fini. L'introduction des nombres négatifs donne x — >/ =: — (y — x) et par suite sans distinction a^a~y^= a^~y.

10. Si a est d'un ordre fini m = II jx, == a/tj.,, les [jl/ étant premiers entre eux deux à deux, donc les a/ premiers entre eux, on pourra résoudre Sa/X/= i (')• -^i étant pi-emier à [j.,- ([j-i divise (t^

{ ' ) Plus généralement cherclions des entiers a;, tels queSa,a;;=|î, a, ,a„|i, étant

pour k ^ l\ a^i^i^hi sera d ordre y./, et l'on aura a = Tzbi, l'orr/re des facteurs étant indijf'éient : cette décomposition de a est d'ailleurs unique, car en élevant « = 06/ à la puissance y-iXi^ on obtient (6^'^= i pour i -^ k)^ a^i~^'i^= bf-^^^i et, d'après '^%iXi= i, a'^i^'i= bi (').

11. Si, dans un groupe fini, V(A; est le nombre des e(A), vg celui des eg, on a, en désignant par S'^^ une sommation où x parcourt tous les diviseurs de y y compris i et j)/,V(yt>= S^^'-'S- De là résulte yif=^%''ziv(^'){rj?j' = k)^ z,,^ désignant ( — i)^ si les u facteurs premiers de m sont distincts, i si /?? = i , o dans tous les autres cas (-).

12. Un groupe abstrait est défini jiar l'ensemble des relations

des entiers don nés. Suil |a,| le plus petit des Ix-l et a.=Y.a(-f-a',(|a-|<la,i,y,= i,a', =o). En posant:»?', = ^T/^, on est ramené à résoudre (XyX\ + x'^x..-^- •■■ = jî où le plus grand commun diviseur 5 des coefficients est resté le même et où le plus petit coefficient a diminué en valeur absolue. Si a/=o(î> i), on est sûr que le problème, aie supposer possible, sera indéterminé, x- restant indéterminé. En répétant l'opération, on aura finalement une équation de la forme Sy = ? résoluble toujours et seulement si 3 divise p. Les x- dépendront alors de n — i indétermi-, / « nées puisque n — i coefficients se sont successivement annulés. W, v/»'^***'^»Ta^>'-^') /Z-, (') Cauchy, Exercices d'Analyse et de Pliys. math., t. III, p.- 179, i844- {') f{d), g{d). h(d) étant trois fonctions, définies seulement pour des arguments diviseurs de N(y compris i et N), dont la seconde satisfait aux conditions ^(c?)" {d')= g{ dd' ), g{d) n'étant pas nul quel que soit rf( doncg-(i) = i), si l'on suppose vraie pour tous les diviseurs d de ^ {y compris i et N) une des deux égalités h{d)= S^"'/( 5) ^(3'),/(rf )=s/ s^v g{o)h{o') (5S'=rf), l'autre le sera également. Supposons, en effet, que la première soit vraie. On aura par substitution/(f/) = 4'^^,îO.(o)s;V(^)^('^') = s;V(^)^(<^)^;5'sj(^^' = 5',' = 5T'). Or je dis que S'5''c^=u si s 7= 1. Comme £,5 est nul si 0 a un diviseur carré, on peut remplacer a par le- produit Q = q^. . .q^^ de ses facteurs premiers différents; alors, pour le diviseur i, s, = 1; pour les diviseurs «7,, .... q^, la somme des s est — n;

pour les di viseurs ^,^^ elle est h ;•••; pour le diviseur (/j ... ^^ = Q, sy =( — 1)".

Donc — /£^=(i — r)"=o. On voit que, si ^( rf) = i , on peut, dans l'expression de /{d) pour c/> 1, remplacer /i( 0') par /t( 0' ) — c, c étant une constante : c'est parce que cela n'est plus permis pour d = 1 qu'on ne peut conclure à l'égalité de h{d)—c et de ^^' f{o).

Si, quels que soient les diviseurs d. d' de N, h{d)h{d') = h{dd'), li{i)^o, g{d)=t, on a évidemment /(c?) = 11 ( I — /i(/^ )), yj parcourant les facteurs premiers distincts de d. Soit, par exemple, 9(0) le nombre des entiers S 3 et premiers à S. A chacun d'eux x répond un entier xZ' ayant avec d = cio' le p. g. c. d. S' et récipro(|ueinent. En prenant successivement tous les systèmes d'entiers = d

i'ukmii'lRES définitions, conskqlences. I r

telles que ah = c qui donnenl le produil de deux cléments quelconques et qui constituent la loi de composition ou, si l'on veut, la table de multiplication du groupe. Ces relations qui doivent vérifier les postulats I, II, III ne sont ordinairement pas indépendantes : ainsi de ah^^d, bc=^e, dc^= J\ ae ^= g on déduit par la loi associative g=^f- Cet exemple montre en même temps que la table de multiplication peut entraîner l'identité de certains éléments supposés distincts. Si l'ordre du groupe est donné, la construction de la table de multiplication n'est donc plus arbitraire {Cf. 18, 19).

Soit a,, ao, ... un système de générateurs; si l'on remplace dans la table de multiplication chaque élément par une de ses expressions, au moyen des a/, cette table donne un système d'équations entre les a,- qui est équivalent à la table, c'est-à-dire qu'on peut déduire chaque système d'équations de l'autre. Tout système ainsi écjuivalent à la table de multiplication est un système d'équations de définition du groupe.

Deux groupes sont dits distincts si aucun changement de générateurs ne peut amener leurs équations à la même foiune.

Voici deux exemples : Les équations «-=1, b-=i, c- ^ 1 , ab = ba = c, ac = ca =6, bc ^ cb =^ a donnent visiblement la table de multiplication (vérifiant les postulats I, II, III), d'un groupe Q abélien non cyclique d'ordre 4 (lo) f^it carré dont les

ayaiu pouf p. g. c. <\. avec cl un des 0, on a d = !.$ cp ( ô ). D'où inveiseinent

Soittoujoiirs ^( (i) = 1. Si quels que soient les entiers a; ely on a h{a:)= h{xy) dcjnc ^ h{yY, on voit, en faisant x = '^ que h{x) est de la forme a". Posons alors/„(rf) =-/ î^a*'. d'oùa''=r S^' /"(o ). Si 0?= jxv, [x étant premier à v et sio = ST, ff divisant |x = aa' et t divisant v = -ut', on a £^= z^z. et

/„ ( ;j.v ) ^ S^'^ c^ si'' c, a^--' ou fj -xv ) = 2 V .^ f^^, ( ,, ^

(on pourrait définir f^id) par la condition de vérifier cette formule quel que soit v quand a est une puissance de nombre premier jointe à /„(i)=a: l'application réitérée de la formule redonne la première définition). Comme /„(/>')=«''■ — a."'~' = a/J'~'(a?(P') — i) (p premier) est divisible par p' {voir n° 25, note )/„(«) est donc divisible par n. Appelons diviseur propre de a" — i un diviseur qui ne divise pas a^' — i pour x < n. Si un diviseur S de a" — i est diviseur propre de «*^— i, k divise «, car si « = A"^ -+-/■( o <;•< A), S divise a'"i+'- — a'"J = a'"i {W — i) d"où /• = o. Donc :£.'f l!'/ cp ( rf ) = a" - - i (o dans la sommation S^ parcourant les diviseurs propres de a''— i). Donc s;V' o{d)z^ 1,'f zj ( a^' — I ) = /„ ( /i ) ( Cf. Dickson, Annals of Math., 2= série, t. I, P- i> 1899).

éléments sonl i, «, 6, c; mais i)^z= \ a, b [ peut élre défini |)ar a- = 6- = I , ab = ba.

De même sur les éqnalidns

1 bc = cb'^ =: c'^b =z a^, cb = b^ c — Ac^ = a,

i ca = ac^ =z a-^c = 6*, ac = c^« = ca^ = 6.

I «6 = ba^ z= b^a = c^, ba = a^ b =^ ab^ = c

on lil immédiatement la table de mulliplication (vérifiant les postulats I, II, 111) d'un {groupe H d'ordre 8 (19), dit groupe des quaternions ('), dont les éléments sont i, a, b, c, a-\ b^,C'\ d; mais H = \ a, b \ peut être défini par «'* = i , h- = f/-, 6~' ab = a'\

['S. En général, un éléments sera dit indépendant d'un système S d'éléments si x n'est pas égal à un produit d'éléments de S. Les éléments de S seront dits indépendants (entre eux) si chacun est indépendant du système des autres.

J'appellerai fondamental tout système d'équations de définition (u'i ne figurent que des générateurs indépendants et l'unité (qui ne peut jamais être un générateur indépendant). Ainsi, deux quelconques des trois éléments «, 6, c peuvent servir de générateurs indépendants, soit dans Q, soit dans H. a- :=/>'-= i, ab = ba est un système fondamental pour Q et a''=i, a- =6-, ba=^a^b pour H : pour vérifier l'équivalence de ce dernier système avec le système (i) on peut poser ba:=a'-^b = c et observer que ba=^a'^b permet de réduire chaque produit . . .a^bya,^' by' . . . ^ en faisant passer tous les b à droite, à la forme a^by'^ ou bien on remarque que ces équations réduisent les formes a^b^ix huit distinctes, formant un groupe contenu dans H, donc identique à H. Le nombre des générateurs indépendants peut varierd'un système de générateurs à un autre : ainsi, le groupe cyclique engendré par a d'ordre fini

(') Du nom des quantités complexes a + pj + yy'-i- ô/i (a, p, y, S réels ) introduites par Hamilton, où les unités complexes ou symboles i, j, k sont liées par les relations

i-=j- — à- = — 1 , ,/■/. - — //.■ - f , A / =: — ik — J, if = — j'i = A :

il suffit de poser i — a, j —- b, k = c, — i ^ d pour retrouver les relations du texte.

PRKMIlillKS DÉFINITIONS. CONSÊQl KNCKS. |3

m = U" [j!./, les ^i étant |)remiers entre eux deux à deux, peut aussi être engendré par les n éléments indépendants /-</ d'ordre |j.,, dont a est le produit.

Un groupe cyclique inlini exige toujours deux générateurs rt, ù, inverses Funde l'autre et est coinplèteuientdélini par aO = ba = i . Si, parmi les générateurs d'ordre infini d'un groupe G, il y en a un nombre fini «,, . . . , a„ «pii figurent en même temps que leurs inverses respectifs /v,, . . ., />„, on peut, au lieu des ù,, introduire un seul générateur a: lié aux a, par les /? + i équations

(■i.) xai ..«,•, = !, rt/-i-i . . . a iixa\ ...«; = i, a^ . . . a„x = i ,

car on en déduit, en posan t eu... a„ x = b., Oi^t . . . a„ xa^ . . . ai t = bi {i= 2, . . ., ri — i), .^Y^, . . .«„i = b,i, les A/i équations

(3 ) Oifji= ôia/ = I.

Inversement de (3) on déduit (2) en posant x ^ b„. . .b^ et en multipliant xa i . . .a,,^ \ à droite par b,i...b/,, à gauche par au-. .On ( A" = 1 , ..., /?). (3) devant résulter des équations de G, (2) en résulte aussi. Si l'une des écpiations (2), la première par exemple, ne résultait pas des équations de G, l'élément xa^ . . . a„-\ = b,i vérifiant a„ b,i = i et non b// a„ = i , rr,/ n'aurait pas d'inverse et G ne serait |)as un groupe.

14. Considérons encore le groupe abélien engendré par n générateurs indépendants a,- d'ordre premier p. Ses équations sont «f = 1 , aiah = a/sai. Les p" formes possibles a.■^^^. . .a'/' (x£=^ I, 2, ..,,/?) pour les éléments du groupe étant distinctes, à cause de l'indépendance des générateurs et de leur ordre premier, le groupe sera d'ordre p" . J'appellerai groupe abélien principal d'ordre p" un groupe abélien de cette forme. Tous les éléments ^ 1 du groupe sont d'ordre /> et il peut être engendré par n éléments indépendants quelconques. Cherchons d'abord tous les arrangements possibles b^.-.bn de ces divers générateurs. On peut prendre le premier 6| àe p" — i manières; il reste alors à choisi)pour />o entre /j" — p éléments hors du groupe engendré par b^. Le groupe engendré par bi et b.y étant d'ordre /»-, on pourra choisir b-i entre les p" — p- éléments qui n'j sont pas contenus,

i4 (Haphrk I.

puis 64 entre les p" — /j>'' éléments étrangers à ;Z>,, h-,. O-i',-, etc. Il y a donc (/>" — i) (/>" — />)••• </>" — />""' ) arrangements possibles de générateurs indépendants ( si b.j = b',^^ . . . ùf^-ib'^i et si ô est le plus grand indice, 65*, et, par suite, ^g, p étant premier, serait dans j^|, ..., 68, J contrairement à la construction). Le nombre des combinaisons possibles de générateurs sera n ! fois moindre.

lo. Un élément x sera dit absolument indépendant d'un système S d'éléments si aucune puissance de .r n'est égale à un produit d'éléments de S. Les éléments de S seront dits absolument indépendants (entre eux) si chacun est absolument indépendant du système des autres. Un système de générateurs absolument indépendants sera dit une base. Les générateurs eux-mêmes seront alors dits éléments ou générateurs basiques et leurs ordres les ordres basiques. Une base d'ordre minimum, c'est-à-dire composée du plus petit nombre possible de générateurs, sera dite minima et son ordre le rrina- du groupe, \insi les générateurs a, b de Q sont absolument indépendants, mais non les générateurs «, b de H.

La question de savoir si un groupe G de rang fini /• dont tous les éléments sont des e^,/) {n étant fini) est nécessairement fini n'a été résolue jusqu'ici que dans des cas particuliers. Pour n = 2, G est un gorabélien principal (9, 14). On verra (73) que, pour /i = 3, l'ordre de G estS 3-'"' et que, pour n^ ^, avec /• = 2, l'ordre de G divise 2'-.

16. Il importe d'observer qu'un système absolument quelconque d'équations entre des éléments regardés comme générateurs n'est jamais incompatible. Ces équations sont analogues aux équations homogènes (la notation additive le met mieux en évidence); on n'en déduira jamais que 1 identité de certains éléments, et la seule proposition qu'elles pourraient contredire est l'hypothèse que ces éléments étaient distincts : mais elles ne définissent un groupe que si elles déterminent l'inverse de chaque générateur.

Le calcul des générateurs est supposé associatif (c'est-à-dire que. A, B, G étant trois [)roduits de générateurs, on regarde (AB)C et A(BC) comme identiques); un système d'équations S définit donc toujours un corps E dont les éléments sont les produits de

PBEMIÈRES DÉFINITIONS. CONSKQLENCES. l5

généralciirs que S laisse distincts. Mais on ne peut affirmer que E soit un semi-groupe. Si, par exemple, S se réduit à V unique é(piation a^ . . .a,i^= i (le même générateur pouvant y revenir plusieurs fois sous des désignations différentes), E ne sera pas un semigroupe, cdiTa2---ci„ y serait I inverse de «, (8) et l'on aurait «2 ••■^'«'"'1 = 15 puis de même «^^j ... o„ «) ...ar= i (/'= 1 , ..., /?). Donc un système qui définit un semi-groupe et contient une quelconque de ces équations entraîne toutes les autres ainsi que l'existence des inverses de chaque «,-. Si aux équations a'' = i , b^=za-^ ab^ba^ du groupe des quaternions on ajoute a^^\^ on obtient le groupe carré. Si au contraire on supprime une équation, une infinité de produits de a et de b restent distincts: ils formeront un groupe si l'équation supprimée esiab::=ba'^ ; ils ne formeront qu'un semi-groupe si l'écpiation supprimée est a' = i ou b'-^ a-, l'inverse de a ou de b n'existant plus.

III. — Conséquences d'un système d'équations. Nombres rationnels et irrationnels.

17. Cherchons la forme générale des conséquences d'un système S d'équations entre des générateurs (distincts) <7,, a^, ... (^ ' ) indépendants ou non, lorsque S définit un groupe G. Alors a~' a un sens et l'on pourra, en multipliant par des «7', ramener à l'unité Je second membre de chaque équation de S, puis remplacer ou non dans le premier les «7' par des produits de générateurs. Le système ainsi obtenu étant équivalent au primitif, supposons S donné sous la forme F, = 1, Fo = i , ... (où peuvent figurer les «7').

Chacune des conséquences de S peut, par des transformations identiques [c^est-ù-dire ne supposant aucune équation

(^) Le lecteur suppléera aisément à l'insuffisance de la notation quand l'ensemble des générateurs n'est pas dénombrable : alors a^, a,, ... repi'ésentent seulement certains éléments de l'ensemble; néanmoins, en disant « les a- » j'entendrai tous les éléments de l'ensemble. Cette observation, faite une fois pour toutes, suffira sans doute pour les cas analogues qui se présenteront dans la suite.

l6 CHAPirRK I.

autre que aia~^ =^a~^ ai^= i entre des produits formellement distincts), être mise sous la forme typique Fly ^V^'F-' V ^ i, F parcourant un système de ¥,oif te même peut retenir plusieurs fois, y parcourant indépendamment de F-' des produits quelconques de ai et de aj^ où les a]'^ peuvent figurer formellement, et V~' étant écrit de manière que V~' V^ i identiquement (il en sera de même dans toute cette question pour les autres lettres affectées de l'exposant — i). En etl'et, S est sous forme typique. Supposons qu'on en ait déduit un système de conséquences sous forme typique formant avec S un système S'. La transformation qui ramène une équation à la forme typique étant identique n'altère pas sa \aleur logique et l'on pourra dans toute déduction prendre sous forme typique chaque équation dont on se sert. Il suffit donc de montrer que toute conséquence de S' peut être mise sous forme typi(|ue. Or on ne peut déduire une conséquence d'un système d'équations que par la répétition de deux opérations : multiplier les deux membres d'une équation par un même facteur (l'équivalence de l'équation ainsi obtenue avec la primitive résulte de la définition d'un groupe), substituer à un produit d'éléments un autre produit égal (^soit identiquement, soit en \ertu de S'). Le résultat de la multiplication des deux membres de nV""'F— ' V = i par A s'écrit identiquement llA"' V^'F~' V \^ i qui a la forme typique. Soient ABC = 1 , <I> = i deux équations de S', la seconde équivalant identiquement à B = D. <ï> sera de l'une des formes B~'D, DB-', BD ', D-'B. Le résultat de la substitution de D à B s'écrira donc identiquement ou ABCG ' B~' DC = i, c'est-à-dire ABC . C-^ (I)^' C = I , ou ADB-' A' . ABC = i, c'est-à-dire A$-< A~' . ABC = 1 , donc toujours sous la forme typique.

Ainsi, pour former l'ensemble C des premiers membi'cs des conséquences de S sous forme typique, ou formera dabord celui T des V~'F— 'V et ensuite celui des produits des éléments de T; Ç = ST«.

Par exemple, dans toute conséquence du système

C[ui définit un groupe abélien, la souime des exposants de ai sera un multiple de a/. Il en résulte que les ai forment une hase. On arrive à la même conclusion si les équations af'= i ou quelques-

PRKWIliUES DKKIMTIO.NS. CONSKQL EXCES. I7

unes d'enlre elles sont i'('iii|)la('ées par «/«/' = «"'<-//= i (le grou|)e esl alors inlliii).

18. Supposons que dans les équations d'un syslènie S définissant un i;ronpe G figurent deux séries de générateurs «i, a.,, ..., ^i, èo, ... et désignons d'une manière générale par X(a/)^X(«), X(è/) = X(^) des produits des «— ' seuls ou des b—^ seuls, par Xrt), Xi) ce f[ue devient le produit de générateurs X ou le système d'équations X quand on y remplace les a ou les b par i. 11 est clair que si $ = i résulte de S, <t>z,-) = i résultera de S/,-,, et plus généralement, si dans <i> = i on fait quelques-uns des b égaux à 1 ou entre eux, le résultat obtenu résultera du système obtenu en faisant les mêmes changements dans S (il suffit pour le voir de faire les mêmes changements dans toutes les déductions conduisant à <ï) = i). Si donc <I> = i ne contient que les a, elle résultera de Sè-i ; mais une conséquence de S^—i ne l'ésulte pas en général de S. Supposons que S^—, définisse un groupe B. En général, Sa-i ne résultant pas de S, les conséquences de S^^i ne le seront pas de S, c'est-à-dire que la table de multiplication de B ne fera pas partie de celle de G et que G ne contiendra pas B : autrement dit, les 6, dont le sens dépend essentielle/tient (8) des relations qui les lient, auront un sens différent et engendreront des éléments différents dans B et dans G. Au contraire, si Sa={ résulte de S, G contient B. S^ étant le système des équations de S où ne figurent que les «~', supposons encore que S^ définisse un groupe A. Ici, Sa résultant de S, les conséquences de S^ le seront de S; mais G ne contiendra pas encore nécessairement A parce que S peut identifier des a(«) laissés distincts par S^. On observera que, les conséquences de S dans A résultant toutes de Sè=i, G contiendra A si S|j, résulte de S^. Si c,, Co, ... sont des éléments de G, il €st clair que tout système d'équations équivalent à l'ensemble des relations établies par S entre les cf définit le groupe engendi'é par les cf.

Je me bornerai au cas important où S a la forme

A,(a) = i, By(6) = A}(rt), bj,^aibk= X'iHa) (t, y, A, / = i, 2, . . .).

[(Si Ay = I, G contient B, car alors S„— , équivaut au système Si <ies By=i. Si, en outre, AJ'^:=a^, G contient aussi A et est dit

CHAI'ITHE I.

produil direct de A par B {cf. o3)]. En posant .\/''( Af-") = A^* et généralement A? **'( Aj"'") = Af '"^''", (roîi

on aura ^{b)-^ ai[i{b) = Af''\ |3(è)-> a(«j .3(6) z= a(Af '*'). On pourra donc faire passer les b à droite ou à gauche et ramener tout élément de G à la forme a(a)P(b) ou '^{b)'y.[a). Soit alors -j = I une conséquence des By := i , et considérons les opérations (multiplications et substitutions) par lesquelles on la déduit des By^i. Faisons, en partant des By = Ay, des multiplications et substitutions identiques, sauf naturellement que les substitutions introduiront des a (sans changer d'ailleurs la place relative des b). On obtiendra une relation 'f':^ i (q"i se réduit à cp = i quand on remplace les a par i). Faisons-y passer tous les b à gauche puis tous les a dans le second membre : on aura une équation de la forme cp = a. Ainsi à toute relation cp = i entre les b de ^ répond entre les b c^e G [si G ne contient pas B, les è de G ne sont pas les mêmes que ceux de B puisque leurs relations mutuelles sont différentes (8)] une relation de la forme cp = a {cf. 66).

Si donc ^ = [5' dans B, c'est-à-dire en vertu de S^— i , on aura dans G, c'est-à-dire en vertu de S, ^ i= ajB' (ou [^ = ,3'a'(a)) et A. 3 aura les mêmes éléments distincts que A[j'. Si [3 ^ ^' dans B, on n'aura dans G aucune relation [ii ^ a^', car on en déduirait, en faisant les a égaux à i , que j3 == jii' résulte de S^—, ; alors AjS et Aji n'auront aucun élément commun. Donc si ^i^ parcourt dans B un système d'éléments distincts (en sorte que, dans B, tout ^ est égal à un ^^ et à un seul), tout élément de G sera dans un A^^ (ou ^rA) et dans un seul.

Dans SAj^,j qui contient tous les éléments de G un élément a^^ ne poun^a être répété qvie dans Aj^g sous la forme a'j^B, a et a! étant distincts dans A, c'est-à-dire en vertu de S^, mais égaux dans G, c'est-à-dire en vertu de S (donc aussi en vertu de Sé,). Cela n'aura lieu que si S établit entre les a d'autres conséquences que Sa, c'est-à-dire si G ne contient pas A. En adjoignant à Sa toutes les conséquences que S établit entre les a, G ne change pas; mais S^ sera remplacé par un système S^^ définissant un groupe A' contenu dans G (A' n'est contenu dans A que si S^^ équivaut à S^ d'où A'^A. Alors, a parcourant A',