III. — Les groupes d'ordre p^, /?*, p
151. Dans tout ce paragraphe le module p sera sous-entendu; §■ sera une racine primitive de p, N un non-reste arbitraire, e un entier égal à o pour p > 2, égal à i pour p = 1, e' un entier égal à o pour p = à ou /> > 3, égal à I pour p = ô.
loâ. Les gp3. En laissant de côté les groupes abéliens il ne reste (97) que la ligure (l) (i i) qui donne ( 143) deux types. Ce sont : pour p > 2,
(ij ai^ ^= bi' = c'' = i, b-^ ab — c-^ac — a, c~^bc = ba;
(•2) aP=h!'=\, cl' = a, b-^ ab — c-^ac ^ a, c-^bc = ba;
pour p = 2, un quelconque des types (i) et (2) qui coïncident, et le groupe des quaternions,
(3) a2 = i, b'i — c^ — a, b-^ ab — c-^ ac — a, c-^ bc — ba, qui pour /? > 2 se confondait avec (2).
(') Comparer Hôlder, M. A., t. XLIII, 189); Bagnera, A. D. M., 3» série, t. I (i89«) et t. II (1899).
GROUPES d'ordre p"K l33
La forme générale
(4) «/' = !, hi' — a^, ci'=a'X^ b '^ ab = c~'^ ac = a, c-^ bc = ba
de ces équations (d"où il est facile d'ailleurs de les déduire directement) donne les relations
'iy + yz+y
{c^by)" = c"-b"yà ' , ( c^ by a-^ )'• = a
( c- by' )-i c~ by c- by' = c^byay^'--y',
qui tournissenl imniéiliatement les propriétés suivantes :
(i) ne contient que des e^p^ : il contient donc p- — i e,, donnant lieu à p^-^ p -\- i §/, qui, en laissant de côté ] a\, se partagent en p -h \ systèmes conjugués de p chacun. Tout gp^ de ( i) contient | a [ (60, 7S) et sera de la forme |a, cr^-^'j. Comme, pour jk ^ o, cy b-^ =^ {cb^'-y )y niod)a|, (i) n'a que les /? -t- I g,,^ \a, b\, ) a, cb-^\ {x = o, . . . , p — i).
(2) contient p- — ( ep de la forme 6> a-^ donnant lieu à /» -H i gp : l'un d'eux est )a[ et les /? autres sont conjugués. Les e,j3 sont de la forme c^bya-^ (s ^ o) au nombre de p'^ {p — i) donnant lieu aux p §p2 cycliques \cb^[ {X = o, ...,p — I), \a,b\ est le seul gp-- principal; il est donc caractéristique ( bien que le diviseur complémentaire de \a\ n'ait aucun diviseur caractéristique).
Pour que le changement de générateurs qui consiste à remplacer a, b, c par a' ^ a^, b' — c^bya-^'. c' =: c^ by a-^' soit un automorphisme, il faut et suffit que \ et yz' — zy' soient ^ o et que a', b', c' vérifient (4)-
Il y aura donc pour (i), si /) >-,i, autant d'automorphismes (117) distincts que de systèmes (y, z, y\ z' , x, x\ ;) vérifiant j's' — zy' :=^ ^o, c'est-à-dire p'^ fois autant que de systèmes {y^ z, y\ z' ) donnant yz' — zy ^ o, donc, puisqu'il y a /)3 4 ^2 — p (jg (.gg derniers systèmes qui annulent yz' — zy' mod /> (44), p-(p'-—\) ( p- — p). Aucun g;,^ n'est caractéristique. Si p =^ ■> il faut en outre yz^=y'z'^o : il n'y a que deux systèmes yz' — zy' atlmissibles et le nombre des automorphismes est 8.
Il y a pour (-i), si /? > -2, autant d'automorphismes distincts que de systèmes (j^, 2,^', «', ^. .r', ^ ) vérifiant 2 ^ o, ^'^|^o, jk = ', c'est-à-dire p^ip — I). ] a, b [ est le seul g^,» caractéristique. Si /> =: 2, on a vu que (2) coïncide avec (1).
Il y a pour (3) autant d'automorphismes distincts que de systèmes (j, ^jy'i 2', ^, x', ^) vérifiant
yz' — zy' ^^ ; ^ i? yz +.7+ -2 ^ y' z' -\- y' -\- 5'== i.
Ces deux dernières équations étant toujours vérifiées dès que l'on n'a pas ^^^^o, ^'^z'^o, il y a (comme pour (i ) et />> 2)/5^(/)2 — ^){p'' — P) = ^4 automorphismes.
1.H3. Les g p.. Les seules figures possibles étant (94,97, 143), si on laisse
l3î CUAl'lTRE IV.
de côté les groupes abéliens, (■?) ( 1 1), ( 1 1 ) (n), (i )(i) Ci i), tous les types possibles sont contenus flans ceux qui ont été déterminés aux n"' 14.3, li8, 150.
154. Les g,,.. Les seules figures possibles sont (94, UT, 143), en laissant de côté les groupes abéliens, (r)(nti), (3)(u), (•.4i)(ii), ('2)(i)(ii), (m) (il), (ii)(i)(ii), (i i)(iii), (i)(ii)(ii), (i)(i)(i)([i). Les 4 premières sont des cas particuliers de celles étudiées aux n"' 143, 148, 150.
155. Figure (iii)(ii). Quels que si>i(>nt a, â, y, >v, {■>■, v, les équations aP = bi> z= c/'=\, di> — a'^lA^ cY, ei'= a'- bVc'', e-' de = da,
jointes à celles exprimant que )rt,6, cj est le central, définissent un g/^^G' de cette figure (19), et l'on a
(erd'^)"- = e'^y d^^'^a^ '- , ( er' (/^')-' erd^ey' d^' = ey d^ a^f -r^' .
Pour que a! — a^b^c^^ b' = a< b'f\' c-^ , c' = aV br\" c-^\ d! = ey d-^ a'' b^^ c' , e' ^^ ey' d^' a''^' b'^' c'' engendrent G et vérifient les mêmes équations que a, ^, c, f/, e où x, ^, Yi a, [jl, v sont remplacées par a', p', y', '^ ■, [>^ , ''' ^ '' faut et il suffit (en employant d'abord e'-irf'e'= d'à') que l'on ait
T; = Ç = o, xy—yx'= ^ o, A =^ ^(■'i'Ç"— s'-^i") N -o (i) aa^-t-X^+eaT/^a'^H- [S'^'h-Y'^", aa^'-t-XjK'-t-îir'j''^ A'^-t- [Jt'^'-l-v'^",
( Y 3^ + vjK = ?' C + y' C. y ^' -^ ''r' = 1-^' ^' -- ''' V'
On voit que °', y', (J^'j '•'' sont tous ^ o toujours et seulement si ^, y, jjt, v sont tous ^s o. De plus (-j.) donne ^v — y[^ = (P'''' — y' i-"-' ) •^^^■- Donc 6v — Yt^ C"^ P '' — yV s'annulent ensemble modp.
Si j3v — YI-*^ f^ o, on peut prendre dP, eP pour 6, c, d'où le type
dP=b, eP=c, p^i-
Soit pv — 'iix ^^ o sans que p, y, [■'•> ^' soient tous ^s o. On peut faire |j.' = v'=oen prenant a;', ^' non tous deux == o, tels que ^x' -\- [xy' ^ o, puis a:, jK tels que xy' — yx'^o. Soient donc \x. v, |jl', v' nuls. (2) donne a?'^ o et permet de faire ^' = r, y' = o, puis (1) de faire a'= o. Soit donc encore a, y, '^' , '[' nuls, ^ = [i' = 1 . (i) montre alors que X' s'annule avec X modp et que, si X ^ o, on peut faire X' = i. D'où les deux types
dP = b, eP — «>•, X = o, I , p^i-
Soit p ^ Y =^ M- ^ '' ^ o, donc S'ss y'^ H-'^ '^'^ *'• Si p y- 'i, a' et X sont ^ o toujours et seulement si a ^ X ^ o et si a et X ne sont pas tous
GROUPES d'ordre /?'". l35
deux ^ o, on peut faire x' = i, X' =: o. D'où les doux types
di' = rt^, e/J = I , a = o, I , /> > -i.
Si p = 2, l'hypothèse a = X = i entraine a' = X' = i et, si a ou X est ^«>, on peut faire a'^ X'^ o. D'où les deux types
d- = e- ^= a^ di' = e/' = i .
lo(!. Figure (ii)(iit). Soit G un groupe de cette figure, ]a,b[ son central. G\]a\ étant, ou abélien, ou métabélien de figure (ii)(ii) ou (2) (11) (94, 97, 143), G aura des équations de la forme
a/' = 6/' = 1 , cl' = b¥aY, di> = è^a^^ gp — bla^^
rf-i cd = caP, e "' ce = ca'?. e "• de = db^a^-,
è-' ab = c~' «c == d^^ad = e ' ae = a, c ' bc = «?-* Z*f/ = g-' ie = 6.
)a,b,c,d\ est un g^^ (21) et les conditions imposées par l'adjonction de e pour que G soit un ^p^ sont vérifiées. Les conditions pour que e^ dy c^ soit normal étant tu c ^ wy se o, y^z s= p j-, j y ^ — ça-, il faut, pour que G ait la figure voulue, que co soit ^ o et p, cp non tous deux ^ o. En prenant donc au besoin b^ a^ pour b, e-p<5?9 pour c?, e^ dy pour e avec la condition ?y + œs = I, on peut faire to^cp=i,^ = p^o.
Ainsi G est défini par
al' = bi>= \, ci'=bl^aY, di'—b^'cfi^ ei'—b^'-a-',
d^^cd^=c, e^^ce=^ca, e-^de = db^
6-' ab = c-^ac = f/-' at/= e-* «e = a, c-' 6c = d~^bd = e-' be^= b (•),
et l'on a
{e~dyc^)'^= e"^dMyc<'^'^b -a 2 ^
( e=' t/r' c-^' )-' e- c?r c^' e-' <ir' c-^' = e~ rf.>' c^' by-'-^y' a^'^'-^^' .
Pour que a?èO= a', a< b'f\ =■ b\ e^ dy c-^b'^ a'^ = c' , e^ df c-^ b'^' a'^' — d\ e^' dy° c'^" b'^" a'^" ^^ e engendrent G et vérifient les mêmes équations que a, 6, c, c?, e où [JL, Y, ^>i ^> ^s C sont remplacés par jjl', y', v', 0', X', !^', il faut
C) {a, b, c, rf| est le seul g 4 abélien de G. En effet, tout g 4 abélien A contient ja, 6}=C, sans quoi G = AC serait abélien. Or soient /= Ce"rf*cJ', /' = Ce"' rf^'c-)" deux éléments indépendants de A|C : uz' — ziC ^ uy' —yu' , zy' — yz' ne seront pas tous nuls. D'ailleurs la condition ^' =/'/ exige que uz' — zu! et uy' — yu! soient = o. Donc m = m'= 0 et A est Ja, 6, c, d j. G a donc un groupe caractéristique > { a, 6 }.
i36 CHAPiriiE IV.
et il suffit qu'on ail
I '^x -^vy -\-\z -\-^yz = y'r, -i- [x'r/, -[X ^Zy -\-X.z -^ zxz =y'^^!^T>
I |i..r' -f- vj' -+- Xs' -4- ej'^' ^ 8'tj -t- v't)', y-'^' + o 7'-H ^2' -H s.r'5' ^ o'ç -i-v'^',
(j.a""-f- "^y" -\- \z" -\- zy" z ^= X^r\ +X't/, y.r" -h 8/"-I- ^
(3) yz' — sj^'eeso, .t5' — s.r'^o,
j jrc" — 3j" = T), .r^" — sa-" = i,
D'après (3), A^3"(ay^' — yx' ) et, A étant ^ o, (3) donne s^z'^o. (1) donne alors, d'après (4), en posant G = yv — ou, G' = y'v' — ô';j.',
puis par résolution
vA =— ^' (y'tj + jji'r/) -f- ^ (o'-iQ -H v'r' ), vA= r/(Y'^ ^\^X) — ^,(S'^ -f-v'^').
d'oîi, en posant y + v = B, y'-<- '>' = B ,
et, en posant encore D = B"^ — 4G, D'= B'2 — 4 G', D=D's"2.
Soit p"^-!, et d'abord ( — j = i. On pourra toujours faire [jl' = S' = o. En efTel, en faisant ^"=i. (r) donne, d'après (4), {z^z'^=o)
(y — ^(' )x -^-oy^o, ( Y — v' j .-r' 4- 3jk' ^ o, [Ji.r -f- ( V — y' )„K ^^ o, \xx' -(- ( V — v' )j'' ^ o,
et, si l'on prend pour y', v' les deux racines (ici réelles et distinctes) de
( 5 ) .92 — s ( Y -H V ) -f- Yv — S[i. = o,
on pourra prendre: si S ^ o, .r ;=.r' ^s S, j^ es y' — ■^(■,y''=^' — Y' ^' (^M^, a?^Y' — "^5 -^'^ ^'— Vj .X^T'^^ K'' ^' ô^[i,^o, 37, jK, .T, j>'' quelconques rendant seulement a^^' — y^'^o- Supposons donc |ji, 0, [jl', S' nuls.
SiCt^o, on peut, dans (2), déterminer .r°.jK" de manière que Ç' = X' = o,
GROii'Es d'okdue p'" . I Sy
puis, en prenant .r = j'' == o, s" = y, faire v'= i. Soient donc !^, X, !^', X' nuls, v = v'=i. On aura ^(X^^fxz", yx'^x'z", y ^ -(' y z'\ y' ^ y' z" , d'où, par élimination de 2", ■^^ xy' ^ ^(' xy' , •^^^' yx' == yx' et, puisque xy' et yx' ne
sont pas tous deux ^ o, les types
S( C s= o (donc B ^o), (5) a une racine nulle et la première (ï) permet de faire V = o. Soit donc y = y' = X = X' ^ o; v ^ B est ^ o. (i) permet de faire v' — i . Soit donc v = v' =: i . (2 ) donne ^z"^ t,'^ : donc Ç et ^' s'annulent ensemble modp et, si Ç ^ o, on peut faire C' = 1 . D'où les deux types
c/'=i, di>=b, ei'=à'^, "C^ — o, i.
Soit ( — I = — i. Ici G est toujours ^ o, et (2; permet de faire !^' = X' = o.
Soit tlonc L = r = X =: X' = o. De plus oix est ^ o, sans quoi D =: (y — v 'f serait carré. On peut donc prendre a? := i, jk = o, ar' — y, j^' = [ji, j" = i . x" =^ y" z= o et faire y' = o, ;x' = i . Soit donc y ^= y' = 0, jx = [ji' = i . Comme B = v, G = — S, on aura v ^ v' z'\ S ^ 8' z"^.
Sf V ^ o, on pourra faire v = i en prenant .r =: o, ,r' = 0, j^=:j''=v, a'" = j»''' = o, z" = V. Soit donc v = v'=: i. (i) donne 8y ^ x' z" ^ 8y' , donc ^^j', c'est-à-dire z"^ I. Donc G= — ô= — 0'. D'où, 4 S -t- i = D étant
• I P — I non carre, les types
ci'=b, di>=baP, e/'=i, 8 ^\{ g-'--in+\ — ij^ /» = o, ■ . ., ^ •
5f V ^ o, donc v'^ o, S = I D sera non carré, et l'on pourra faire 8' = N en prenant z"2 = 6 ; N, 37 = ^", jk' = i, 3?'= j = o. D'où le type
cP= 6, di>= a^, eP=\.
Soit i — j — o. Alors G = ( — | est carré. Si [jl ^ o, on peut faire [/ = o
( donc y = V = - 1 en prenant « = 0' — i et, si 8 ^ o, .r = S, j^ = ,
a^' = o, jk' = 1, si 8 ^ o (donc y ;= v puisque D = o), x = y' = o, y — [)., x' = ^ . Soit donc [J. = [J-' = o, donc y ^ v, y'^ v'.
Si G ^ o, donc - = y ^ o, (2) permet de faire ^' = X' = o. Soient donc
s, C', X, X' nuls. En prenant j' s; j-'^s o, .r = i, j^'^y, ^"=y, 8' = 8, on peut encore faire y' = I. Soit donc y = y' = I. Alors z"=i, Sjk=s8'jk^o, 8^'^ S'a?. Donc S et 8' s'annulent ensemble mod/> et, si 0^0, on peut
i38 ciiAi'iTiu; IV.
faire o^=i. D'où les deux types
ci'^=a, di'=^ba^, e/'=i, 0 = 0, i.
Si G^os=B, donc y ^^ '■' ^ Y ^^ '''=^ °' *^" •* ^^ ^ ^'y ^ ^> ô^'^ô'^. Donc ô et ô' s'annulent ensemble modp. Si 8 ^ o, j- est ^^ o, donc xy' ^ o, et l'on peut faire ô' = i ; (2) permet de faire Ç'=o et donne X5"= X'v)' qui permet encore de faire X'=i, si X ^ o, et exige X'^o, si X ;s O. D'où les deux types
ci>= \, di' = a, eP = b"^, X = o, i .
Si8^0y donc ô'^o, (2) montre que X'^C^o toujours et seulement si X ^ Ç ^o et que, si l'on n'a pas X ^ ^^o, on pourra faire ^' = i , X' = o. D'où les deux types
cP = I , (//' = I , ei' = a^, X. — o, I .
Soit yo = 2 (donc z"= i) et d'abord G =s o.
5i B ^ I , on peut faire jj.' = 0' = o, comme dans le cas p > 2, / — j = 1 ,
en résolvant (5) qui a alors les racines o, 1. Ainsi on peut faire y'^o, v'= I. Soient donc yj ô, [i, y', S', jjl' nuls et v ^ v'= r. (2) permet de faire Ç'= o et donne X = X'. D'où les deux types
Si B ^ o, (5) a la racine double o, et, en prenant y'= o, donc v'= o, on
pourra, comme dans le cas /? >> 2, ( — ) — "^ o" 'on remplace par o
(ici Y ^ '^ quel que soit ô), faire ix' = o. Le déterminant de (2) étant ici B H- G -+- 1 ^ o on pourra choisir x", y" tels que ^' = X' = o. En supposant donc nuls jjl, y, v, ^, X, [i.', y', "^'î ^', ^'^ i>n aura 0 = 0', d'où les deux types
6'oiV G ;^ I. Si B ^ \, B -i- G -1- i est ^ o et ( 2; permet de faire ^' et X' nuls. Déplus p.S^i, sans quoi G^i entraînerait y ^= v et B es o. Donc [jl'8':= I. Si Y ^ • I '^'^ peut faire y'^^ *' *^" |>renant a" = j^' = 1, j' = .r' = o. D'où le type
c^ = 6, c/2 = ba, e- = i.
Si B^o, (5) a la racine double 1, et, en prenant [y' = 1 , on peut faire jx' = o. Soit donc [i. = jjl' = o, donc y = v = 1 , y' = v' = i . ( 1 ) donne 8y ^ 8'y ^= o, oy' ^^ 8' x, d'où 0 ^s 0'.
Si S ^ 1, donc j)^ 5^ o, ( 2 j donne X ES X' et permet de faire Ç'=o. D'où les deux types
c- = a, c?2 = èa, e-= èX^ ^ f,, 1.
(iKOM'KS 1) OHDItE [)'" . 130
Si 8^0, (2) montre que "Ç et À' s'amuilent avec X^ et, X cl permet, si "Q et X ne sont pas tous flciix ^= o. Ac l'aiie ^' ^ i, X'=s o. D'où les deux types
c'^ 7= a, d- = ^. e- = aï, î^ = o, i .
157. Figure (iij(i)(ii). Un groupe G de cette lïguie a pour- équation, (1 après les types de figure (i)(ii),
«/' =6/^=1, d' = bV- a'{, di' — e^^ t' a^, ei' = c^ b'^ «ï, b Wib = C-' ac = o?-' ad = tr^' ae = a, c-^ bc = d ^ bd = c^ be = b, d^^ cd =^ c h'^ a? , e-^ ce == c b'\'a^, e-^ de = dcb'^^ d^; 6 = 0, i.
En prenant cb'->a^- pour- c et bV-af pour a, si b\>-aXy^ 1, on peut supposer /^ = u = [JL = o, Y = o ou I. Il est facile de voir que ]a, 6, c, d[ est un g,jt. Pour que G soit un g^^s, les conditions résultant de l'adjonction de e donnent
Y H- sp ^s £a =^ Y -+- ^P -f- î"^ s; fi(T -H £t]^ ^EE Ow ^; f)ii/ ^ O.
Les conditions pour que e^dy b-^' soit normal étant o-a^sspirssw^^d/iP^o, G aura la figure voulue, si a, p, m, J> ne sont pas tous nuls : cela exige 6 = o.
Soit d'abord p > 2. Alors y — " o. En posant b'^aP= «i, b'^ a^ — «2, G est défini par les équations
al' = bi> = cl' = i , dv = b'^a^, d' = /A aC,
d ^cd=cai, e~'ce = ca2, e-^de = dc;
b- ^ab = c^^ac = d^^ ad = e ' ae= a, c-' bc =^ d ^ bd = e ^ be =^ b.
On a par récurrence (en regardant Sf, < comme nulle pour < < o j d'oîi
(e^dyc-^)l> = ^v.) +A:-£'('7.r"-=-'l;j3-^|(^Ôj+i:;-£'(pr--3-(D.y:-^) ( 1 j^
Cj Ces équations montrent que le p. p. c. m. des éléments hors de { a, 6 } est un g s ou un g 4 selon que a^ et a^ sont indépendants ou non, c'est-à-dire selon que p<if — aw est ^ o ou = o. Si p ;> i, le nombre des e 2 varie aussi évidemment selon que X8 — Çv est ^ o ou es o et, dans la seconde hypothèse, selon que X, 6. v, Ç sont tous E= o ou non tous ^ o. Ces résultats vont d'ailleurs être retrouvés autrement.
On remarquei'a aussi qu'un g « abélien A. de G, devant contenir \a, 6, c\ { 133 ), existera toujours et seulement, si l'on peut trouver y' , z' non tous deux ^ o tels <[ue C c/J" soit permutable à c, c'est-à-dire tels que py'-h(^z' et <3y'-\-'^z' soient = o. Il faut et suffit pour cela que pij/ — aw soit ^^ o, et, si A existe, il est unique dans G.
l4o CHAPITRE IV.
et
(e='rfrc^')-ie=</rc^e3' dy' c-^' = e~ dyc^+y-'-^y'a\'-a^>,
U 1 =: xy — yx -+- z • z - — -^ '^ yv ( -s — •« ))
Uo = xz' — zx' -i- Y ' ^^ y'
Pourqueles élémenls a^ù'i] = a' , a^'b''i' = b\ c^^' b^ a'^ = c' , e~dy c^b'\>a^^=.d\ 6" dy c^' by a"-' =^ e engendrent G et vérifient les mêmes équations que a, 6, c, c?, e, où V, 8, X, . . . , o) sont remplacées par v', . . . , a»', il faut et suffit que l'on ait, p', ct', ^\ m' n'étant pas nuis à la fois mocl p,
^r/ — Tj^' ^ o, yz' — zy' ^ o, tv ^ o,
vy-^lz —z'yz ( ct }• — <]jz) ;^ S' y, -t- v' tj', vr' -+-\z' — z' y z' {iy' — <h z' ) ^^ "C' 'fi -^ X'r/,
S}- -^^z — z.' yz ( py — (0 3) = 6'; -(- v' t'. 8y' -+- i;z' — s' y z' ( py' — M z' ) ~ ^'^'+ X'ç',
w{py -{- w^) = p'^ H- a';', «^(pj-'-t- ws') ;= co'ç + ^^'''^
IV {(j y -^- <li z ) ^E^ p' r, -h t'v/, (.«'((TjK'-f- 4'-^' ) ^ ^'^''^i ~*~ '!''''■/)
/3' — sj''^ w, pU] -f- w Uo ;^ M, <tUi -f- <]; Ua ^ t'.
En écrivant S -H X = B, 8'+X'=B', Xo — (^v = C, X'o' — ^'v' = C, p^i; — (TO) = 0, p'i];' — a'io';=0', on voit que 0 w^ ^ 0'(^7)' — '/;^'), en sorte que 0' s'annule mocl p toujours et seulement avec 0. En outre, si/; > 3,
Civ^C'i^-fl'-r^ç') [donc (—] = (^)l et B = <vB'.
Soif 0 ^ o. En prenant ç = -r]'=: w6. r^ = ^' ^z o, y = 'ifi, z = — a, y' = — w, z' =: p, on fera cr' := w' =: o, p' = i];' := i . Soit donc <t == a' = w =: w' = o, p = p'=: d* = J/'= I ; par suite ^ ^ w^, ^'^ w^JK', '1 ^ ^'^■s, iq'^ '"^-s'.
Soitp> 3 et posons D = B^— 4C, D'= B'^— {C', d'où D = D'w.
Soit d'abord ( — ) =1. On pourra comme dans la fiçrure (r i) (i 1 i )( dont
les lettres y, 8, [ji, v sont ici remplacées par S, Ç, v, X respectivement), en prenant w = i, faire v' = t,' = o (y et z n'étant déterminés qu'à un facteur près, on pourra toujours avoir j^z' — zy' ^i). Supposons donc v, Ç, v', T nuls. Soit G ^ o. On peut toujours faire X'= i en prenant^ = X, y' = z' = o, z' = i, w = X. Soit donc X = X'= I . On aura comme dans la figure (i g (1 1 1)
les types
/ ,„ /' — I di' = as^ . ei' = i, /n = i, . . .y j p ^ 6.
OROL'PES D ORDRK />>'". l4l
Soit G ^ o. Gomme dans la (igure (ii)(iii). on peut faire ô = o' =: o, X ^ X'= 1, d'où l'unique type
df =1, ei> = b, /> > 3.
Soit / — j= — I, donc G ^ o. On peut toujours faire ô' = o, v'= i. En effet, en prenant o' = o, v'= i , deux des équations (i ) sont
XôjK ^ w(X y — Iz'). koz ^ w(8z' — V /'),
les deux autres se réduisent à G^G'w-, et la condition yz' — zy' ^=: w devient vj^'"--!- (X — 8)y'z — ?^'-:=Xô que l'on peut toujours vérifier (4ij. Soit donc S = ô' = o, v = v' = i .
5j X ^ o, on peut faire X'= i, car ce choix conduit à la condition toujours réalisable j)'^ | Xj)/z — T^z'^^w-. Soit donc X = X'=i. On aura,
comme dans la figure (i i) (i 1 1 ), les — types
di> = b, eP = ba^, ^ = i(^-'""^' — i), m = o, . . . , ^ ~ , yo > 3.
Si X ^ o, donc X'^s o, ^ = { D est non carré et l'on pourra faire Ç'= N, car ce choix conduit à la condition toujours réalisable N w^s'^ — y"'-^ Ntv^. D'oîi le type
dP = b, ei> — a^, /> > 3.
Soit ( — 1 = 0. Alors G = / — 1 est carré. Si v ^ o, on peut faire v'^ o
(donco = A =—1 enprenantiv = iet, si^^o,^ =^,j/ = i,^ = ^^ ,
j''= o, z' = 1 , si ^ ^ o ( donc X sïe ô puisque D ^ o), Ç'= — v, j/ = z' = o,
z = — i, y' = I. Soit donc v = v' = o, donc X ^ o, X'^ o'. p Si G ^ o, donc — es o ^ o, on peut encore faire o' = i en prenant (v = o,
r = C, z = y = o, y = 1 , z' =^ ô. Soit donc ô = ô' = i. On aura les trois types
d/' = rt, eP — ba^, Ç = o, i, N, /> > 3.
5i G ^ o ^ B, donc X ^ S ^ X'^ ô'^ o, on a les trois types dP — i, cP = a^, !: = o, i,N, /> > 3.
Soit p = 3. Si ô ^ o, on peut toujours faire 8' = o en prenant y =. o, z = y — i, ^5' = X, si Ç ^ o, et ^ = 6, /'= o, 5 = .s'= 1, si Ç = o.
1^1 CHAI'ITRK IV.
Soit donc 0 =^ 8' =^ o. Les équations (i ) donnent (w^ ^= i) :
— '' yy' — 5> zy' -^Izz'— yy z'- - y'- zz'^o. '^y^ + >^y- — ^ 22 —y2z-^ = v', — ^ y ' — ^^J''-2'-4- Zz'- -+- y'-z'- ;s r,
V j'r'-f- Xj^s' — w5^'-4- yy' z'^-h y'-zz' ^= V .
La première ajoutée à la rlernière donne
À'ss À w ■+- yy' ( z'- — z^ } -^- zz' ( y'- — ■ y-).
Soit À ^ o. Pour qu'on puisse faire X' = o. il faut, si z'^^z'^, donc zz'^o. que \i\'?^±yy' soit ^ o, donc que v ^ o, et. si z'-^z^, que ^^'2 soit ^ y- d'où !l^i. Ainsi on peut faire X' = o. toujours et seulement si Xv(^ — i)^o. Donc X'v'(^' — i) s'annule toujours et seulement avec Xv(^-i).
Soit Xv(Ç — \) ^ o. Si !^ ^s — I, on peut toujours faire ^'^ o en prenant j^ = G, y' z' ^^^ — X, si v=i, et y' z' =^''k, yz ^ o, si v= — i. Soit donc !^ = Ç' = o. On peut encore faire X' = i en prenant j/' = ^ := o, "kyz' ^= i.|
Soit donc X = X'= i. Si v hs — i on ne peut faire v'= i, ce qui exigerait y ^ o el /^yz — z- ^ — 1, relation impossible. D'où /es deux types
dà=h^\ e^ = b.
Soit X V ( !^ — I ) E= o. On vient de voir qu'on peut alors supposer X = X' ;= o. Soit V ^ o. Pour qu'on puisse faire v'=:o, il faut, si ^ ^ o, que y al z soient ^ o et v — ^ — i ^ o, et cela suffît. Ainsi on a des types distincts suivant que vÇ(v — Ç ^ i) est ^ o ou ^ o.
Soit v^(v — t — i)^o. Si v^ — I, on peut faire v'= i en prenant y = z' = 0, zy' ^ o.
Soit donc v = v' = i. Si Ç ss — i, la condition ^' = i conduit à l'impossibilité — y''^ — z'^ -{- y'-z'-^ \. D'où les deux types
Soit v!^(v — t — i; ss o. On vient de voir qu'on peut supposer v =: v' = o. Si Ç^ o, la condition Ç' = o conduit à ^' ^ o, Ç s; — y'^, ce qui exige Ç =: — I, et cela suffit. D'où les deux types
d^ ^^ \ , gs = <7^, ^ = o, 1 .
Soit fc) ^ o. On peut toujours faire p', j', <\i' nuls, lo' == i, en prenant j', z, non tous deux ^ o, tels que py -+- (x> z ^^ (7 y -^ <\iz ^^ n, puis j^', z' tels que w ^ o, puis ^ ^ py'-\-i>iz', r, ^ 'yy' -+- 4'^', puis ^', r/ tels que çtq' — ■';|'^ i (5 et ■/) ne sont pas tous deux ^ o, car on aurait p^a^tp^w^o). Soient donc p, a, i\i, p', a', tj;' nuls, io = o)'=i. On aura, d'après (2), z ^y ^ o donc yz'^r,' ^ o, ^ ss yz'^, v y ^ v'r/.
GROUPES d'oHDHK /»'". l4^
Soit V ^ <). On i)eiit toujours faire v' == i en prenant // = vj^. Soit donc V = v' = I. On peut toujours faire X' = o' = o. Soit donc X ^ X'^ S ^ S'^o. Si ^ ^ o, on a Ç' = o et si Ç ^ o, on peut faire Ç' ;= i. D'où les deux types
(ip = A, ei> ^=. a^, ^ = 0,1, /? ^ 3.
Soit V ES o, donc v' se o. Gomme X^'ss À'r/. À s'annule mod p avec X', et, si X ^ o, on peut faire X' = i. Soit d'abord X = X' = i. Gomme 3 ^ S'^'- et qu'on peut faire t' ^ o, on a les trois types
(II'— a^, ei' = h, 0 = o, I, N, /> | 3. Soit X =: X' ^ o. Si S ^ o, on obtient les deux types
Si ô ^ o, donc ô' ^ o, on a ^ -h ^' y' z' ;= C jz' et les types û?/' = I , ei' =■ a'--, Ç = o. I, yy > 3 ;
Soil maintenant p = 1. Alors y + P ^ ^ ^^ Y -I- ^i^ ^ 't^ ^ o ; comme p et w ne sont pas tous deux ^ o. on a to ^ p se y ^ i et G est défini par
a2 =62 = 1, c^ = rt , d-^ = b'' a^, gs = h'»- aï,
d"^ cd ^= e ^ ce= ca, e ^de=^dc,
b-^ ab = c-i ac = d ^ ad = e-' a e ^ a. c ' bc =^ d-^ bd = e ' 6e = 6.
(e^rf.> C'^)" et(e-'rf^'c^' )-' e^dyc-^'e^'dy'c^ s'obtiennent en faisant «1 = «2 = « dans les expressions trouvées pour/? > 2 ( '). En particulier
Pour que a^ bn = a' , a< bi\ — b\ c'^b^a^ = c'^ e^ dv c=^ b^ a'^ — d' , e^' c?:»'c^' 6?' a""' = e' engendrent G et vérifient les mêmes équations que
a. b, c, d, e où v, o, X, "C. sont remplacés par v', 3'. X', ^', il faut et suflît qu'on ait
^^'— ifl^'^o, yz' — zy' ^o, w ^ o,
w^z,, Ti ^^ yz SB y' z' ^ o.
(3) vj' -I- X^ SE o'r, -f- v'r/, vjk'-I- Xz'^ u'-r] -(- X't)',
l 8jK -1- !^3 -+- a^d H- K -1- 5 ) ES 0'^ -f- v';'.
«'(.r -+-::} = w(y'-hz')= '\, yz'—zy'= w -h kp. V = 0, H = Ui -4- U-2-1- A-,
(') Pour /) = 2 G contient toujours le g^* abélien { a, b, c, de \»
l44 niAPITRK IV.
Ui et Uo avant le nicnii- sens que pour /? > 2 et / étaiil un entier. On voit. que JK -f- -S ^y -^ z' ^ I et que, \)»y suite, (4 ) se réduit à (1) (oia s' = o), d'où encore D ^ D', D et D' ayant le même sens que pour p > 2.
Si j' E= 5' ^ o, (3 ) donne X ^ v', v ^ A', et (4 ) ^ := o'-i- v'f', 0 es Ç'-i- X'^'. Si z =y= o, (3) donne X = X', v = v', et ( 4 ) 3 = ô'-t- v'^', l, = i:j -^ \' \' . Donc Xv ^ X'v', X-Hv^X'-i-v' et, si Xv es o, on peut supposer X^o.
Si X ^ V ^ I , donc X'^ v'^ I, on peut faire ^'5^ o et supposer Ç ^ C^ O- Alors D ^ 8 et l'on a les deux types
</2=6aô, e2:
Si Xv ^ o, on peut supposer X ^ X'= o. Si X -t- v ^ o, v ^ i et l'on peut supposer 8 ^ 8'^ o. Gomme D s; ^, on a les deux types
5t X -4- V = o, V ^ o =s v'. Alors ol ^= 0'^', 0 + ^ = 6' -»- !^' et, si oZ ^ o, on peut faire Ç ^ o. D'où les trois types
158. Fiffure (i) (il) {il). Un groupe G de cette (igure aura pour équations, d'après les types trouvés (148) pour la figure (11) (11),
a/' = 1, bi' = aP, C — «Y, dJ' = c^a^, ei' = c^b^d^,
c-^bc = ba'-., d-^bd—bci^^ d-^cd = caP, e-^be=ba9,
e^^ce^ca'\', e-Ule = dca^, b~^ ab = c~^ ac =^ d-^ad^^ e-^ae = a,
V, 6, X prenant les systèmes de valeurs suivants que je numérote comme les types correspondants du n" 118:
Pour que ] a, b, c, d\ soit d'ordre /?^, il faut et il suffit que xv ^ pv ss o (/)^2). En adjoignant e, les conditions pour que G soit d'ordre p^ sont
Pour que l'invariance de e'^d^c^by entraîne la nullité mod/> de a, s, r, y, il faut et il suffit encore que pœ — vl^ 9^ o.
Les conditions |obtenues sont contradictoires dans les cas (5') pour p = 1, (6') pour/>> 2, (7'!) et (7"). 11 est clair d'ailleurs qu'on peut toujours supposer y(^ = o en prenant ca^ pour c.
GROUPES d'ordre p"^. \\S
On a ( S„ = o pour < < o)
( e" d- cy b*- y
— gt'u flvz c''y -h u:}::l tjyvx
( Ç/M- + '^HV+7= hpr;-(-T.T-; ) 2.,, l-\r'bn°zl.K — o'+p"i'^(i (i/H-p«2jo
( e" d^ cï 6'' )P = c9"+~'~-*-î" '■ //'•" a^"-^Sj+Yj-t-^.r
, , , / , , /l [Il — l) ziz — 1)\
t't'lin'z- — pu:.-) -h î ( ^ii.y-h'liiiY + 'li:- h pys -t- T.i-: + pu )
X rt ' ■ ■ ■ •- 2 ^
(e"' d=' cy' b^ ) -1 e" d^ cy b-' e"-' d- cy' b^' = e"- d- c/-^~« -»;' b^ a^^
U = ç{yz' — zy')^i(xz' — zx')-\-o{xu' — ux')-^']^(yu' — uy') ■+- pzz' (u' — u)
, u{u' — I) , ,u{u—i) ,ziz — \) z'{z' — i) -1- iiz — 'iiz -i- p u ou .
Pour que a^ =^ a ^ c'^i b^^ a'^ — h' , en b'^ a''^ ^ c' , e"^ d^ by c^ a'' ^:^ d' , e"-' d" cy' b-'' a'' ^=^ e' engendrent G et vérifient les mêmes équations que a, b, c, d, e où p, . . . , 'h sont remplacés par fi', . . ., 'V i a priori v' = v, 0' = 6, V -^^ X). il faut et suffit qu'on ait
a ^ o, çt/ — Tj ^ ^ o, uz' — z II! ^ o. (i) ^^ + Yri=a6', [i^'-H Y'fi'=5'-T'>
\ Ou-^'jz-hsuz ='rq'-i-jp., X « = v^'-f- /yo,
I 0 ?/+ v-3'-l- £«'^' = 6r/-4- Xtj -^ /'/>, X«' = 0^'+ X ^ -I- /'/?,
/ Y -1- / ^3 -f- Ç f< -I- ô^ + Yy + ,B^
-h ô cp « j" -H 7 uy -h 'h z ■ hpyz-hzxz^pu ■ —
y'Y-^ l'p^lu'-^oz'-h'(y'-^ ^.r'
, , , , , u'(u' — [) , , , , , z'(z'~i) ^ux ^r-'luy -h'iz '<~ ?y -^ -+- Tx z -h p u
-1- i('lu'- z' — p u' z'- ) = h'd -h hl -h oi^' j
\ r,(pz ^'}^u)-^^{zz -^'fu)^7.z', r/(s:; -h-Lm )-h^'(t^ -i-cpa)= ap', / r^ip z' -h U'h) -^ ç(- z' -^ (f u' ) = 7.^' , -q'ipz' -^'\>u')-i-^'(iz' ^(fu') = 'X<\i', (5) zu' — uz' = r^' -h rp. ^—r'p^ /"Y -^ '"' ^ + U = A" H- /?'.
Considérons d'abord le cas {S') pour p "^ ?.. (G ne contient alors aucun Cp'.) En prenant u = p, ^— — '\iw, w' = — -u, 5'=cpw, on peut faire p' = cp' == u, t' = '^ = i et jî' = i si ^ ^ o ; ^' est jes o avec p. vSt ji ^ o, (3) permet de faire o' = ç' = o, doù le type
bP — a, c/' = di' = e/' = I ,
/> < 2 d~^bd:=ba, d'^cd=^c^ e-' èe = 6, e-^'ce = ca.
1^6 CHAIMTKK IV.
Si [i =^ o on a ossu'-o', cl ii laiil ciiMiilc disliiii^inM- (y../, /. /' ^oiit ici ^ <) ). /'o «/■/>>• 3 on a g' ss T^ o loujdui s (;t sculcniriit ?-i o=^^-(); si 6^0, on |)cul faire w' = o cl, si 0 = 0, on penl faire ^' — 1 , il'où les quatre types
6/'=c/'=i. <y/' = a5, ei'= a"",
(0 — I , N avec ^ = o; 0—0 avec ^ = o, 1 .)
Pour p =; 3, c'est 0 -t- i et ô'-hi qui jouent le rôle de 0, 0' et Ton a les quatre t\ pes
/>•* = c^ = 1, <:/3 = a""', g' == aï,
d^bd=^ba, d ^ cd ^ c, e^^be^^^b, e-^ce=^ca.
(0 = 0, I avec Ç = o; 5 = '2 avec ^ = o, i.i
Dans le cas (<S' ) jiour y; = '2. on a p ^ J; ^y ^ i, o ^ t. En écliaiigeant au besoin r/ et e, on peut faire 1 ;s o, :p ?s 1 . En faisant 7' = Y- p' = p- '^' = '^j cp'=cp, 'V =: J;, on peut faire encoie |i'=^'=o, el Ion a o'^so. D'où les deux types
d-^ bd = />, rf ' cf/ = crt, f^e = ^«. ete = ca, 0 = o, i ( ' )•
Dans le cas ( 5' ) pour p ^ 1, on a pï^(p?so. y^';^^ — t^si. Faisons p'^ <p'^ o, y' = il;' = — t' = ( . On |)ourra faire ^1'= 6' == w' = o, d'où le type
bi'=^\, ci> ~ a. di'=^c, ei'—b, d~^bd=^ba^, d^cd=c, e-^be = b, e ^ce = ca, /> > -i.
Dans le cas (iV ) pour p =^ .i, on a y^p^^^^o, z^<ii^i. Faisons Y'^p'=cp'^o, t'sei|('ï^i. (^n auia !i' s= ^, u ^ o. En prenant l =^ x on pourra faire S' = T = o. D'où les deu\ types
dbd =^ ba, dcd = c, e-^be=b, e-^ce = ca. (î = o, 1.
Pour P = I , G a exactement 4 S» cycliques, ■ e J et ) ec J formant un système conjugué, I eo? ( et ) edc \ formant un second système conjugué.
139. Figure (i) (i)(i) (i i). Un groupe G de cette figure sera défini,
(') Pour 0 =: o on a (erf)"= i, b'^edb = (erf)^ d ^ edd = {ed)~\ Od rclrouvera ce groupe dans les compléments sous le nom d'holomorplie de \ed\.
GKOUPES D OKDRK p'" . l 47
d'après les types trouvés (1.10) pour la figure (i)(i)(ii), par
«/'=!, fjr'=a'^, ci'=/r-al, di>=c-lr'a/\ ei' — b' a^,
b 1 ab ^ c ^ ac ^= d ' ad = e^^ ae = a,
c ' 6c = ba*-, d ' Ar/ = ba'^. p ' Ae = Aa?,
of-i cf/ = caP, e-' ce — cba''\ e-' c/e = dcaf-,
V et X prenant les systèm(;s di- valeurs suivants
= 0, X = i. />>3 et/> =
Pour/» = 2, G a un Cig ( 141 ) et rentre dans un cas traité. Soit donc p > i. En prenant ba'^ pour 6, ca-^ pour c, on peut faire lu = -/ = o. Pour que G soit d'ordre /)■% il faut et suffit (19) que
Pour que le central de G se réduise à ) a j, ce qui assure à G la figure voulue, il faut et suffit que cp soit ^ o, et, en prenant a? pour a, on peut supposer 9 = 1. Les conditions qu'on vient d'obtenir réduisent les équations de G à la forme
ai>—bP=\, cP=a-^\ di'=b-^'a^, eP = a^,
A-i ab = C-' ac = c/-' ad = g-' «(^ = a,
d~^bd—c^bc = b, e-^be — ba,
d-^cd =^ ca?, e-^ce=cb, e -^de = de.
On a par récurrence (en faisant I.'^ t = o pour <?<()) ie"' d' c.y b'^ )*'
e''«rf''-c"J' + "=-o '^
I uj+Y — \-Ciyz-t-: I ^
-|1„ ,+^„'-Y+2uz —^j^o "ilol+puz^^^o Su
(e«fl?-Cr6-r)/'= 6-'<"'--''«^=-*--'"-^ï't''->-> -'-P"='), y;, ;> -2,
l48 CHAPITRE IV.
et
( e"' (/-' cX' b^' )-' e" d' cyb-' e"' d- cO' è-^'
