H'IH' — 1) ,U

= 6" rf- (■->+-"-«= è " 2 2 a^,

\ := X u' — UX' ■

pu- hpa ■ ^ p{yz —zy ) (').

Pour que a^ = a' , b^a^' = b\ cOè^' a^" = c', e"^ d- cy b^ a^ = d' , e"' d^' cy' è*' a* = e' engendrent G et vérifient les nnèmes équations que a, 6, c, d, e où 0, ^, p sont remplacés par o', Ç', p', il faut et il suffit que l'on ait, en observant de suite que rf'-' b' d' = b' donne ii ^ o,

6^Tj ^ o, zu'^0, E'r,=E'0, £':; = £';, o;; — £'^ = o'0 — e'6',

(i) os'-t- ^a'-^ £.'(— ■=' — pa'-:'2 ) ^ 6^',

, , u'{u'—i) zu := r^ -^ /p, yu-^z ^^ ç > * — e / s= U .

i.'ot/ d'abord p >> >, donc % ^ z u''^, o ^ o'a'^, p s e= p' u'-. Si p ^ o, on pourra toujours faire p' = i . Soit donc p ^ p' = o ou i .

Soit 0 ^ ti et 0 = ^ï*, o'= ^•', u' = ^^. (i) permet de faire T = o et l'on a D — D' ^ 3 U niodp — i. Si donc p ^ i modS, on peut faire D' = o, et l'on a les deux types.

c/'=i, dP—a, gP^i, d~^cd=^caP^ p=o, i, p^îmodi.

Si p ^ i modS, il faut D'ss D mod3, et l'on a les six types

6/'=i, dP^^a^, eP=^i, d~^cd^caP, o—i,g,ff-, p = o, f, />^imod3.

Soit 0^0, donc o'^ o. Pour p = i, on a !I ^ u'^V- Si donc Ç ^ o, on a le type

cP= dP= eP— i, d-^cd = ca.

Si ^ = ^^, ^' = ^''^ , donc Z — Z'^^X] mod p — i, on aura : pour

( ' ) Si G contient un g 4 abélien A, A coniieiil [a, b. c ', (133). Mais, e"d* n'étant permutable à c que pour u = o, px = o, A n'existe que pour p = o, et alors A = ; a, b, c, d J est Tunique g « de G.

GROUPES n'ORDRE p'«. «49

p — I ^=? -^ ino(l4, 'L' ^"L moil'2, d'où les (leii\ types

cP=\, d!'=\, ei>=a^, d-^cd=ca, !l = i,,^, /)=imodi el > 3 ;

pour p — I ^ o iiiod4, Z'^ Z inod 4. d'où les quatre types

cP=^i, dP=\, ei'=a^, d-^cd — ca^ ^ = i , ^'■, ^2, o-3, /> = (mod4.

Pour 0 = 0, ^' s'annule avec "C^moAp et. si ^ ^ o, on peut faire C = i) d'où les deux types

ci'—di>=\, ei>=a->, d-'^cd = c, ^ = 0, r, /> > 3. •SoiV maintenant p = 3. On auia

r, =f), z = \, H — zu', \ = bu\ pz = p',

(2) oz^=y — H'-\-o'zu',

(3) o^'-l-ÎIa' — z' — pu' z'-s=; ^' zu' ,

y\{u — I) -+- l' w'-i- p'*i-3'i= 6', yu'^ z( u — 1) = ^'.

L'élimination de ^' entre les deux dernières donne

y — 6'ss3(i — u') — pa'zz\

en sorte que (2) peut être remplacée par

(4) pz'^rj — I — m'(o— I).

Comme dans le cas général, on peut supposer p = p' = o ou i.

Soit p = p'^ 1, donc ^ = i. L'élimination de z' entre (3) et (4 ) donne

et, lorsque cette condition est vérifiée, (3) donne pour z des valeurs réelles. De plus, u' s'éliminant avec z' , on pourra prendre u' ^ o. Si (0 — j)2-i- ^ ^ o, on pourra faire 0' = i, Ç' = o, d'où le type

d^^=h-^a, ^3=1, d-^cd=^ca.

Si(o — 1)2-:-^^ I, on pourra faire o'=o, ^'=:o, d'où le type

d^=^b-'^, e^=i, d-^cd:=^ca.

Si (0 — i)2-f- ^ ss 1, on pourra faire 0=0, ^' = i, d'où le type

d^ = h-^, e-'' = a, t/-' cd = ca.

i5o votf; I.

Soit p = p'= o. Alors, d'après (4), o' — i s'annule mmlp avec o — i. Si 0^1, on pourra faire o'= Ç' = o, d'où le type

'S'i 0 ^ I, on a o'ss I et ^ s= zt\ d'où les deux type?

d^—b'^a, e^=a''^, d~^cd = c, Ç = o, i.

NOTE I

Sur les groupes de mouvements ( ' )•

160. Soit [i. une transformation des points de l'espace remplaçant chaque figure par une figure égale, ou chaque figure par une figure symétrique ; [X sera dit, dans le premier cas, mouvement propre ou àe première espèce, ou déplacement, et, dans le second cas, mouvement impropre ou de seconde espèce (2).

Un mouvement impropre est un déplacement suivi d'une réflexion sur un point ou sur un plan, en appelant ainsi la transformation qui remplace chaque point par son symétrique relativement au point ou au plan (la réflexion sur une droite serait une rotation).

Ces mouvements, lorsqu'on les compose en les opérant successivement, forment évidemment un groupe où les déplacements forment aussi un gfoupe. Un produit de mouvements esl propre ou impropre suivant que, parmi ces mouvements, figure un nombre pair (^o) ou impair de mouvements impropres. Un groupe de mouvements sera dit impropre ou propre selon qu'il contient ou ne contient pas de mouvement impropre. Les mouvements propres d'un groupe impropre G' y forment un groupe propre (groupe propre de G), et, si .s- esl un mouvement impropre de G', on a G'=G + G5, 5 1G5 = G (50, .^)7).

(■) Cf. Jordan, A. D. M., série II, t. II, p. 167; 1869.

(^) L'expression analytique de [Ji esl une subsiilution linéaire qui, en néj;ligeanl les termes constants, esl orthogonale cl de délerininanl égal à 1 si ijl esl propre, à — 1 si [1 esl impropre.

SI u i.i;s citoi i>i:s dk mouvkments. [5r

161. Si un mou veinent, [jl transforme une fii;uic /'(M1 cl It;- même, on dit que [j. appartient à f et qiu' [Jt. est. un mou\'emt;iit. nu une symétrie de /' (fn (■hirgissant, nii peu le sens du mol symétrie). Les symétries de / forment évidemmenl un -imipe (/ { s^roupe total de f) dont le «groupe pro|)ie G(^(j') >iera dit i^roiipe pi oprc </c /'un simplement ,,L;roi(/>e de J .

Inversement toi// t^roupc \{ de inoiiveiaents est le iiroiipe total (Tune Jigure (\n\ f-t dite appartenir à [{. \iu ell'et, l'eiisemhk' /" des transformées m = ce|, •^,,., cûy, ... d'une lij;ur{! quelcoruiue cp par les opérations i, .r, y, . ■ ■ fie ()' est (■vidrniniiut transformé en lui-même par ()', et tout mouvement (|ui transforme o^- en 'j, , étant complètement déterminé, coïncide avec l'élément .7- ' »■ île (|'.

1():2. w étant une lélli'xion sur un point U, r, nue réllexioii sur un plan II passant |»ar (), p une rotation d'auiile -autour d'un axe normal à H en O, on a 10 = -/jp =r OT). Considérons le produit r/r/ de deux rcllexions r,, r/ sur deux plans H, H' : si H et H' se coupent, rj^' est uni- rotation dont l'axe est sitiK' -iir leur intersection D et dont l'antile cs| le donhic d'un (pielcon(|ue des ani;les dont il l'aiil l'aire tourner II autour de I) pour l'appliquer sur H'; si H et II sont |)a]alléles et distants de d^ r, r/ est uiKMranslation éi^ale à id, noiinale a II et dirigée de H vers H'. Le produit woj' de deux réflexions oj, oj' sur deux points O, O' distants de d tts,l une translation égale à xd. dirigée de O vers 0'.

Deux translations .-ont évidemment toujours permutal)les. / étant une translati(ni, je désignerai par | ^ i sa grandeur absolue, par t'\ A étant réel, une translation [jarallélt* à / et de même sens, de grandeur k\ t .

p étant une rotation, je di'signerai par o son axe AB dirigé dans un sens

arbitraire, soit de A vers B: par p l'angle de la rotation pris avec son signe, le sens |>ositif ( pour un observateur ayant les pieds en A et la tête en B) étant arbitrairement choisi (je prendrai celui des aiguilles d'une

montre), par o''\ />■ étant réel, une lotation d'axe p et d'angle ko. Une rotation d'ordre a, li, . . ., n est dite binaire, ternaire. . . ., n-aire.

Tout déplacement est le produit /p d'une translation / et dune rotation p dont l'axe passe |)ar un point arbitraire, ce point déterminant complètement t et p.

163. Soient 7-, ^ deux rotations d'axes concourants en O : a3= y est une rotation dont l'axe est pris dans un ^ens arbitraire suivant l'intersection

des deux plans obtenus en faisant tourner le plan (a, ^) de — .' c. autour

de a et de i [i autour de !i, et «bmt l'angle est le double de l'un quelconque des deux aiigbîs don! il faut faire tourner a autour de y pour

l'amener dans le plan ( !i, -[). .^i () est à rinfini et si a -^ [î est un multiple de •>.-, Y est à l'inlini. Soit A' le transformé par |i d'un |)oint A de a : y est

une translation <le grandeur AA' = if/ sin i a ( <^/ étant la dislance de a, !ii dirigée de A vers A'.

i52 >()Tp: I.

16-4. Si donc / et /'sont deux l lanslalions, p et p' deux rotations, et si Iz =/'p', . /\ /\

p et p' sont parallèles; en les prenant de même sens, o ^^ ^\ et les projections de t et de /' sur p sont égales el de même sens, p' a une position unique pour laquelle t' lui est parallèle, el alors t' p' = o' t' . Ainsi. tp = t' p' = <ï(p', f' ) = (( est un déplacement hélicoïdal : p' et /' sont ses éléments, et p' = a (que je prrndiai de n\ème sens que /') son are hélicoïdal

16o. Soient «(p, /) un dèplacemeni ludicoïdal cl r, une réflexion sur un plan H. T, /p = ;j. est le mouvement impropre le plus général.

Supposons que H coupe a en O. Soit O z la normale à H en O et Oy une droite normale à O^ et à a. Il y a sur Oy un point unique O' lel que ^p = t' p\ t' étant une translation normale à H et p' une rotation d'axe parallèle à p. Or T,/' = r/est une réilexion sur un plan H' |)aiallèle à H. Donc ;j. = ■'■/p'= top", (O étant une réflexion sur rinlerscctiou ()" de H' et de p', et p" une rotation fixant O". Donc ;jl est le produit d'une réflexion t,i sur un plan et d'une rotation pi d'axe normal à ce plan. \x = [jl( pi, ■r\\) sera alors «lit rotation impropre d'éléments pi, Tji et d'axe \l =: pi. On peut évidemment considérer une l'éflcxion sur un plan comme une rotation impropre d'anf,rle multiple de tï.

Supposons H parallèle à a. On aura p = /'p', t' étant une translation

parallèle à H et p' une rotation .d'axe situé dans H; donc [x ^ tt' r^p' . Or

r^p' est une réilexion sur le ti'ansfoimé H' de H |)ar p'^ el, tt' pouvant se

décomposer en une translation parallèle à H' el une translation normale à H', \x est le produit d'une réjlexion r^i sur un plan et d'une translation tj parallèle à ce plan, [jl = [j.( ti, r^i ) sera alors dit translation impropre d'éléments ^i, /, |.

Ainsi tout mouvement a vi\n: forme réduite qui est, soil un diq^lacement hélicoïdal, soil une rotation im|)ropre, soit une translation impropre.

166. Soient rt/(p/, //)un iléplaccment hélicoïdal:/; nu point quelconque : p,son transformé par a,; /;,/,, an, les transformées de /j,, «/ par a^. \\ est clair que a\} aiai;=. ai transforme p^ el a,/, en pn^ et an,. Gomme la position relative de pi;, pn^ a,/, est celle de /;, pi. a;^ an,- coïncide avec a/ et

p/=p/, I // I = I /, . Si donc un miMivement impi-0|)re quelconque r^,a^:,

r^i étant une réilexion sur un plan uniinal à «/, transforme a/ en a/, on a /\ /\

Si a/ est remplacé par un mouvement impro|)re quelconque jjl = r^ix', r, étant une réflexion sur un plan H et jj.' une rotation d'axe normal à H ou une translation parallèle à H, on obtient immédiatement des propositions analogues en observant que aj^ \x a/,= aj^ r^a/,. a'J.^ix'a/c et que le transformé de (j. par -qa/, (ria/, représente un mouvement impropre quelconque) est «7-' ^W^^i^v. = '^X' l^(^A-

SUK LKS OROrPRS DE MOUVEMENTS. l53

167. Sile produit afj de deii.r rotations a, ^ est une rotation, leurs axes 0\, 015 sont dans un même plan (je sii|)|)oseiai que 00' est la normale commune à OA, O'B), sans quoi, si ^ = ^V, ^' étant une rotation fl'axe OB' parallèle à O'B et t une translation normale à OB', l'axe de afi' ne serait pas normal à / île plan ohlenii en Caisanl louiner le plan (a^') de j^ autour de ^' est paialleie à / i. Doue, dans un L^roupe de rotations p, cj, . .., toutes les rotations concourent en un même point O à distance Jinie, sans quoi le commiil aleur a^' pa.p ~^ sérail une Iran-lalion.

168. Le eommutant /'p/.p-' d'une fotiilioii p et d'une lianslation f est,

d'après ce qui précède, une translali et de même celui d'une réflexion et

d'une translation.

169. Soieiil alors (|' un groupe de inouvenienis : <], /•>, ... les translations figurant dans les formes réduites de ces mouvements (ti est nulle si la forme réduite est une rotation impropre): /'i, /••>, ... les autres éléments de ces formes réduites; 0,, f),, ... des translations qui transforment chaque /•,• en un mouvemenl analogue r] laissant li\e un point O arbitrairement choisi. Les r) forment un i^roupe V de rotations propres ou impropres, et V est homomorphe à ()'. Le diviseur Bu répondant dans Cj à /'unité de V est donc nécessairement un groupe de translations.

Soit {-) le p. p. c. m. des ')„ des // et de leurs transformées par Çj' ou, ce qui revient au même, par Y. On a évidemment Ç)'0 = l'0, 0 étant normal dans TÔ et premier à V. Donc tout groupe de mouvements \î divise un groupe de la forme FW, Y étant un groupe de rotations propres ou impropres permutables au grou|)e de translations 0 et mériédriquement homomorphe à Ç. Un groupe de la forme YQ sera dit groupe de Bravais.

170. Si C] contient un mouvement hélicoïdal a{p, t) où p est incommensurable avec T.Tz et un mouvement [x autre qu'une rotation d'angle tc et d'axe normal à a, ij contient un mouvement arbitrairement petit.

En ellet, on peut trouvei- deux entiers m. n tels que np = ■imT.A ('),

(■) Considérons plus f^éuéralemenl les /■ fonctions linéaires ^, = S" a,j^j -t- 6, (i = 1^ ...,/•;/•</<) et les N" cléterrninalions du système (37,, . . ., a;,, ) ohtenues en faisant parcourir à chaque x^ les nomhres o, i, . . ., N — i. Pour chacun d'eux, chaque 1'^, | est < ANw, A désignant le plus grand des \a^f^\^ |6,I. Partageons

o \N n rintervalle (— AN«, -+- AN/*) en v parties éuales à — Il v a v distrihutions

possibles des ?, dans ces V intervalles. Si donc on prend v''<N", il faudra qu'à deux au moins des N" déterminations du système {x^. ■ . .. x,,) telles que ( x\, . . ., x,i ), (a;,, ...,x„) réponde une même distrihution Hes \-. Alors, jiour Xf.= x). — x\;

11, I sera < — En prenant pour v le |)lus grand entier < N'". \\-\ sera < ^ ,

N'- — 1 chaque \x^\ étant < N.

l54 NOTE 1.

f désignant, ici et dans ce qui suit, une quantité ( non partout la même) ne croissant pas infiniment avec n. Les axes de [Jt.-' a" jjl =.7? et de a-'^xa"^= y

sont distants de fn cl t'ont nn aii;,'ic — • (Jeux de y et de x^^yx = z sont

distants de /'/i et font nn an^lc -^ • Alors, à une tianslal ion de grandeur

/l'absolue — i)iès, ;; (''quivaut à un mouvement liélicoïdal ^' dont l'axe coupe y n ' "

et y~^ z' est arhiliaiiemciit |)ctit.

171. Soit r un i;roupe de rotations presque linies dont les axes concourent en un point O à distance Unie.

Si ces rotations ont toutes le même axe, elles sont toutes des puissances de la plus petite a, et T est cyclique ( ' ). Si F est d'ordre n, V = (l,, est le gi'oupe d'une pyiamide légulière P„ à n faces, d'axe a. C'est une représentation du g„ cyclique.

172. Si r n'est pas cyclique, soit y. = x„, ^ — p^, deux rotations de Y d'angles

'.i TC "i 71 I • 1 I 1 > 1 ■ ; 1 ■ -1

— , — et de pieds A, n (eu appelant pied d une rotation le point ou son n p

axe, dirigt' de O vei's ce point, perce la sjjhère S décentre Oel de l'ayon i).

Sup|)Osons l'ai'C AB = tp uiiniinum. Soient C le |»ied de a^i = y = Y^

d'angle — i D le point où l'arc AC coupe le cercle ^U de centre A et de

'7 rayon sphérique cp, iM le milieu de l'arc du grand cercle BD. Le triangle

rectangle ABM donne cos AB\1 = cos cp sin BAM et, puisque l'on a

ABM<ABC =-, BAM = —, o<9 <-,cos- <sin — don --h - >-• p i n ' •>. p 1 II p 2 n -2

Four n^ 3, cela exige /> = 2 ( n, p et // sont ^2); poiii- n = 1, cela exige p = ■>. ou 3. Ainsi un pied à distance inininia d'un pied d'ordre 2^ 3 est un pied binaire et un pied à distance niininia d'un pied binaire est d'ordre %'i. Si donc /ti^o, ou si V n'a que des c..y, ABC, rectangle en B,

donne ( ACB = - ) cos - = cos ci sin - » d'où, comme tout à l'heure, \ 7/ q ' n

i >■ - • Cela existe que le plus petit des deux nombres n, q soit 1 3

et que, s'il est é,i;al à 3, l'autre soit ^ ).

Tout d'abord aucune rotation ji' autre que a, [i, y n'a son pied B'

dans ABC {en comprenant dans \BC ses côtés et ses so/n/nets ). En ellel,

supposons n maximum dans T. ABC sera rectangle en B, et, B' lu' pouvant

(') Sir a des rotations inliriiinent petilcs, il peut présenter une iiiliriilé de types distincts (tous abélieiis évideinnicnt). Par exemple, V peut ((iiileiur loiiles les relations possibles; ou bimi il peut dériver d'un nombre quelconque de roLations p,, ..., p„ abs.duuienl indépendaiilcs (1">) (ce i|ui revient à dire qu'on ne peul trouver d'enùei-s /», tels (pic il"///, p, soil niulliple de ■>■::).

SIR I.KS GROUPES DE MOUVEMENTS. l55

être dans A", il suffit di- inontrei- i|iic la distance minima d'un pied à G est ^ BG. Si ^ = •'., 1>', |>oiii' <'lr(' dans VBG, doit se trouver sur A., et, si 'i' est ternaire, 3^'-' aurait son pied dans -À». Si ^' est binaire, ou si g > -a, faisons jou(M" à G, B' le rôle que jouaient tout à l'heure A, B, et soient cp', g'

les rMiantitt's analoirues à 'i, </ . ()n aura cos —; =c<)su'sin— • D'ailleurs

\]]Cj donne eos — 3= co'^ BC sin et 1/' est - /i. Donc (njs 'j est S eos BC et Il q

cp'^BG.

Désiii^nons maintenant par B| le pied de a-' y"', symétrique de B par

rapport à \(]. Dans c liacune des ipialre liy|jotIièses cf ^= 1 (d'où co — — j ;

c/ = rt = 3 I d'où Ci = BG et eos cp = — — | ; 7 = 3, « = i ( d'où o = - ; 7 =: 3,

d'où (OS cp = ^ r |, on vérifie flireeteinenl que les trans-

V/io — 9V5/

formés de ABGBj par J a, p ( couvrent toute la sphère S, en sorte tpje les sommets de e s quadrilatères (G (Uant eon^^idéré comme sommet si (y = o ) f<uirnis-ient tous les pieds de V et que f^ )z, [B|. P est le groupi' de la figure formée par cette division de S en quadrilatères. (G„ est ('videmment le itroupe d'une division de S en fuseaux.)

\l'i\. Si (jf = ■>, V = ; X/,, [3 ', = D„ est encore le groupe du polyèdre foi-mé de deux pyramides régulières à >.ii faces, symétriques l'une de l'autre par rapport au plan H nornal à OA en O, cl dont l'une a son sommet en A, sa base en H et AB pour arête. D,., est une représentation du go,, cO = \a,b\ défini ( 20 ) par a" = 6- = i , bab = a -'. a étant représenté par a et b par p. On remarquera que le« n éléments 3 a'' sont des rotations binaires ayant pour axes n normales à OA se déduisant de l'une d'elles par îles rotations

dangles et fournissant ainsi yn demi-droites normales à OA en O.

174. Si q =z II ^ ^^ r = |a, ^1 := T est encore le grou|je du li'traèdre ri'giilier z ayant O pour centre et A |)Our sommet. OB et OG étant normales respectivement à une arête aboutissant en A et à une face terminée par cette arête; il est aussi le grou|)e du léiraèdre -u' dont les sommets sont diamétralement o|)posés à ceux de ~. T est une représentation du g^o îs — \a, b, c[ défini (20) par a- = b- = c'* = i , ab = ba, c^ ac = 6, c-^ bc = ab, a, p, y représentant respectivement c, b, cb.

Si ^ ^ 3, /i = 4» 1^ = ! ^5 P 1 = O est encore le groupe de l'octaèdre régulier 0 ayant *) pour centre et A pour sommet, OB et OG étant normales respectivement à une arête aboutissant en A et à une face terminée par cette arête; il est aussi le groupe du cube x avant son centre eu O, un sommet en G et une face normale à OA (donc une arête normale à OB). O est une représentation du g.,.. O = JE, «?; défini (20) par les équations deÇ(son« la forme donnée tout à l'Iieure) jointes à d- = i, dad— a, dbd — ab ,

\ 56 NOTE I

dcd =^ c-, a, b, c, c? étant représentés respectivement par a-. y^'^'Y- Y' Y~' Sy. Soit T(: le tétraèdre ayant pour sommets C et les trois sommets opposés à G dans les faces de x aboutissant en G; Xf; le tétraèdre dont les sommets sont diamétralement opposés à ceux de tc. Le groupe de Zf est j a-, Y I = To ; celui de t^ est ] ofi, a-iya | = T'f ; fj permute -zc et t',-.

175. Si ^ = 3, « = 5, r = , a, ^ J= f est encore le groupe (d'onlre 6o) de l'icosaèdre régulier -. ayant O pour centre et A pour sommet, OB et OG étant normales respectivement à une arête aboutissant en A et à une face terminée par cette arête; il est aussi le groupe du dodécaèdre régulier de centre; () dont un sommet est en G et dont une face est normale à OA. a et [i vérilieul a^^ = ^^^ ^= {a.'^)^ ^ i. Soit I' le groupe défini par ces équations. Tout élément de I' est de la forme \i = a' j [Jot'i 3 . . . . Or (a3j^=: i donne a^a = '^y.'*'^ dont le carré donne

( I ) ai a2 fia = ^ -a» fi ou a^ '^ x2 3^ = y."- 3 a» ^

et le cube

a,3'a2 3a2[ix = 3a-2{3

ou, en prenant les inverses,

aV3a-^3a-i[ia*= fia-* fi.

Donc on peut réduire le nombre des !i de \x si un des x, (où i^\) est is±i modf) ou si deux a", consécutifs (oij «il) sont es n= 2 (mod5). De plus, si ,r,, .7/^i, ... sont respectivement égaux à 3, 2, 3, 2, ... (ou à 2, 3, 2 3, ...), on peut, daprés (ij, sans augmenter le nombre des fi, les ramener à 2, 3, 2, ', ... (ou à 3, 2, 3, 3, . . .) puis diminuer leur nombre. Donc, en réduisant au minimum le nombre des [i, on n'a, pour les éléments de r, que les 60 formes possibles a^', a^^a-V, a-^ [3a'^ j3a>', a^j^a^^a^^ (on vérifie directement que chacune des 25 formes a-^ [3 a"^ jJa^ ^aJ coïncide avec a^-"-' pa- j3a3 ^la.i-^^' et que par suite les 25 formes se réduisent aux 5 oii ^ = o). Gomme 1' est ^1 (66) on voit que 1'= I, et les 60 formes obtenues sont distinctes.

Il est aisé de voir sur la ligure de l'icosaèdre ou du dodécaèdre que I a 6 gs, lu g3, i5 g2 (les élément fournis par ces groupes étant au nombre de 60, I n'en a pas d'autres) et que les gs sont tous conjugués ainsi que les g3 et les g, (82).

176. Gonnaissant tous les groupes de rotations, on connaît par là même tous les tj'pes de diviseurs de chacun d'eux. En particulier tout diviseur d'un groupe diédral est cyclique ou diédral (SI) et, aucun diviseur de 1 ne pouvant contenir tous les conjugués d'un de ses éléments, I est simple.

SUR KKS CROliPRS nE MOIVEMENTS. lHj

177. Tout fii(iu|n' irn|)i'i>|ir(' liiil (■ dniii le f;r(iuj)c [iiupre V est un groii|je de rolalioiis s'oblientlra eu pioiiunt pour T un des j^roupes obtenus et en lui adjoignant un mouvenient impropre s qui lui soil |)erniulable. Or soit 5 := ^10, o) étant une réflexion sur O et ^ = ^(p, /) nn déplacement hélicoïdal, r, d'après les formes trouvées, est toujours permutable à w. Donc il l'est à ;. Si r n'est pas cyclique, ^ fixe O et est une rotation. Si F est cvclique = jaj, on peut seulement conclure que p est sur OA. Mais con)me tit} est une réflexion sur un point O' de OA, on peut encore, en remplaçant O par 0', supposer que ç est une rotation. Ainsi G divise [ F', w |, F' = } F, ^ j étant un des groupes trouvés, et, en partant des group(;s )F',ioj, on aura tous les groupes G = ) F, s • en prenant pour F un diviseur normal (oO) de F' et jjour s = ^w un élément de F'w. On peut (vidcniniciit, <latis ce qui précède, remplacer w par une réflexion r, sur un plan 11 normal en 0 à OA si F est cyclique, diédral ou octaédral, à OB si F = T ou si F = I.

178. Si F' = C,, = ) a„ ;, G = ; a/,', r^ y.f^ \. Pour a = o, j^ = i el « pair = av, G est un gov cyclique G,;,v^ engendré par la rotation impropre r,a2v F'our x=^ i, y = o, G = ; a„, T, ; — C^'i est une représentation di- d,,, = \a, h \ défini ( 2()j par a" ^ h- =^ i , ah = ba, a étant représenté par a„ et h par r,. Soit hx -\- ky = d, cl étant le p. g. c. d. de x = /</, y — nul ( 10 ). G contient ri'''J.'n. Si k est jjair, G conlient a',' donc r, aj; "'"' = r^ et renire dans le type C^. Si k est impair, G =; ; z(,'', r^-x'j, \. Si / ou n est impair, G contient encore i\ et renire dans le type C^[. Si / el n sont pairs, G = I rja',( \ rentre dans le type C„^r\'

179. Si F' = D„ = ; a„, ^ j, G a, en négligeant les types déjà obtenus, l'une des formes ) ccf,, pa),', Tjaf, |, J a/,', fjocf,, 'fj^x;, |, ) af,', Tj^af, j. La seconde rentre dans la première (rijiajj pa^J, est de la l'orme v]a;, ) où l'on peut supposer j^ == o, en prenant au besoin ^a^, [)Our générateur au lieu de p. Si dans celte première forme on l'ail j:' = o. ^ = i. et si l'on sup|)ose n pair ^ av, on a le type j ■ir)a2v, ^ ! ^ 1 C.2v,r;i w [ = Djv,?] qui est une représentation de CÔ-av ; si l'on fait a; = i, ^ = o, G = ) D„. tj J ^ Dfj est une représentation de (J5J, = ) a, è, c j défini (20) par a" = b- =^ c'^ = \ , bab ^ a~K cac ^ a, chc = 6, a étant représenté par a,j, b pai' p, c par /]. On voit, comme dans le cas de F' cyclique, que la première forme de G ne contient pas d'autres types. La troisième forme, où 7)[5 = o est une réflexion sur AOB et oaf, une

réflexion sur le plan obtenu en faisant tourner AOB de--» rentre, en pre-

nant Saf^ pour générateur au lieu de o, dans le type ) a„, o ; — G,',, nouvelle représentation du groupe diédral ( o- = i , ôa„o = a:»').

Considérons la réflexion w = r,a^^ sur O et la réflexion 6 = r, J3a2,( = ojpa^^sur le plan obtenu en faisant tourner AOB de — > et posons la,,, col = G|f ,

}D„, cdJ = D^", )D„, 6j = D„. C^ représente cl)„, comme C^îj, et coïncide

l5S \OTK I. — SIR I.IvS GROl l>F,S 1)K MOI VKMKNTS.

avec Cf; toujours et seuleruent si C^; rontienl w, c'est-à-dire si n est pair. Si n est impair, G^ = Cj-m^-f.^ («'^^z, ' = '<'i''-'-in >■ l^îf représente (0^, coinine D'^' et coïncide de même avec U,*; toujours et seulement si a est |)air. Si n est impair. D'"/ = ^in.r^- ^li représente CO =]a,ô,c\ défini (20) par «" = 6^= c-= I, bab = «-', cac = «"', e/;c = 6a, « étant représenté para„.6par ^, c par 6. Si n est pair (alors tÔ = cD.2« pour ny-i etCO = Cit)", pour n = 1 (20)), D?, = D.,„,.^^. Si n est impair, (alors tO = CD;,), D^, = hf,

180. Soit r' = T et s = \m. \in prenant pour V le g., de T (c'est le seul diviseur normal ( 50) > i et <T ) et pour f un e- ( si ; était d'ordre 3. G contiendrait ;r, s'^|=:T) on retombe sur des types précédents. On a donc le seul type nouveau ', T, co \ = T" = \ T, Tj J =^ Tl (ici t] = î^w), représentation du groupe f (20) produit direct de (r (représenté par T comme précédemment) et d'un e-i représenté par r,.

181. Soit r'= o. En prenant encore s sous la forme ^w, on retombe sur des types précédents, si F < Te ( Te = ) a^, y { ; je poserai a^^^,,, y~'3c-y = 3o en sorte que Te représente C, «u, 3y, y représentant respectivement a, 6, c, ou si ^=1. Si r = T(;, on peut prendre pour ç un élément quelconque de O hors de T(;. et tous fourniront le même type, G contenant F^w; en choisissant donc pour s la r('-IIe\ion 0 = r, jyO( (ici r^ = toa^) sur le plan AOC, on aura G = ; Te, 0 | = T'J ; c'est le groupe total du tétraèdre dont T est le groupe propre. Or, d'après le cas précédent, r^ est permutable à tout élément de Te, et la ligure montre que 3oa^o=a''. Donc f)a,|0 = a:,j, 6 Po6 =^ ''to ^0 et T^ est une représentation de O, a^. ^,). y, H leprésentant respectivement a, b, c, (r/(20).

182. Soit F' = 1.1 ('tant simple, on n'a (|u'un type iiou\eau ; 1. w J = ) I, r^ (.

183. Soit t) un gi'oupe de translations ym/es. Les translations de 0 parallèles à une direction Ox formant évidemment un groupe 0.^- formé des puissances de la plus petite d'entre elles a ( ' ). Si 0 contient un groupe 0y = j 6 { de translations parallèles à une autre direction Oy^ choisissons Oa- tel que I a I soit minirna dans le groupe 0,xy des translations de 0 parallèles à xOy et Oy tel que la projection de b sur une perpendiculaire à 0.r dans xOj- soit minima en valeur absolue dans Q^cy Alors toute translation de &xyest dans \a,b\ soit u dans 0^.^. hors de ] a^b [. Divisons xOr an parallélogrammes de côtés parallèles à «, è et égaux à |a|, |è|, O étant un des sommets, u amenant O en un point qui n'est pas un sommet de paral-

( ' ) Si (-), coiilieiit des traiishilions iniinirneiU petites, B^ pourrait avoir une infinité de types distincts (171).

NOTR II. — SUK M'.S MATHICKS KT l,ES SVSTICMKS LINKAIRF.S. i HJ

ljéloi;iaiiiiiiL', on |)oiii'r;i liuiiver des entiers À el [Jl tels que ua' bV- ;iiiu''iie O en nn point |)lus voisin de O.r que b ou en un |)oiiit plus voisin de O que (7, ce qui contredit l'iiypothèse. Si 0 contient un groupe \c\ de translations parallèles à une troisième direction O c, choisissons ().7- tel (pie|a[ soit niininia dans 0, Oy dans a-()y comme précédemmenl. O^ tel que la projection d(; c sur une per[)endicnlaire à xOy soil mininia en valeui" absolue. On voit alors de même que 0 = , «, b, c [.

NOTE II