SUR LKS M VTRICES ET LES SYSTÈMES LINÉAIRES

Généralités.

18i. ]>(' Tableau y. = (a,/, ) ( t = i, ...,/»; /i = i n) des éléments xa

appartenant à un champ quelconque (:24) on l'indice / indique la ligne et l'indice /i la colonne se nomme une /nafrice de type (m, n). Si m ^ «, la matrice est dite rectangulaire. Si m = /*, elle est dite carrée d'ordre //, ou simplement matrice d'ordre n, et, lorsque aucune confusion n'est à craindre, on dit souvent déterminant pour matrice^ le déterminant des a,/, se désigne alors par | a | ou |a,7,. |. Deux matrices {oc,-/,}, C^u,) de même type sont dites égales si a,/, = jj//,..

Soient a une matrice de type {m,/i) (m<Cn), ^ une matrice de type n — m, n ), y 'a matrice d'ordre n obtenue en écrivant ^ au-dessous de a. Dans le développement de | y | suivant les déterminants d'ordre m de a, le coefficient de chacun de ces déterminants sera un déterminant d'ordre n — m de ^ (l'ordre des colonnes dans ce dernier déterminant dépendant de l'ordre des colonnes dans le premier) : ces deux déterminants seront dits correspondants.

Une matrice dont tous les éléments sont nuls est dite nulle et se représente par o. On dit qu'une matrice a = (a/^) est diagonale ou a la forme diagonale si les a,/, où i^ A- sont nuls (les a,, sont dits éléments diagonaux) ei l'on écrit a = (a,) = (oti, «9, • • •) i'f-i = 'J-a); si, en outre, les a// sont tous égaux à i et si a est carrée, a est la matrice unité d'ordre n : je la désignerai par s„ = (z,/,) = (£,; = £.

Une matrice [jl formée des éléments communs à certaines lignes et à certaines colonnes d'une matrice quelconque y. est dite une sous-matrice (ou un sous-déterminant, si elle est carrée) de a, el a une surmatrice (ou

l6o NOTE II.

un surcléteriniiiant si elle e?t carrée) de [jl. Si les déterminants d'oidre r d'une n)atrire ne sont pas tous nuls, ceux d'ordre /• -l- i l'étant tous, /• est le rang de la matrice (ou de son déterminant, si elle est carrée).

18o. a = (a//) et ^ = ( ^//J étant de'j\ iiialrices de types ( m, /t), ( in\ m ) respectivement, la matrice "^=ic^ii^.) de type y m.' . n ) où '[i/,- ^= Zj^ijocj/,- (j := i, . . ., m) est dite produit de a /;«/• [i et se désigne par a^ (l'ordre des facteurs n'étant pas indiiïérent; si m = //i' = n et si a^ = ^a, a et ^ sont dites permutables ou échangeables) et l'on vérifie directement que la multiplication des matrices est associative ( ' ). Si, par exemple, pétant un entier inférieur au plus petit des trois nombre-^ /«, /?, /?;', a,/ = o pour i ou A" > p sauf que a,/ = i ( i > p) et si p//, = o pour i ou /fi p sauf que p,-,- = 1 (il p), on aura y/a = a,/, pour i et kS. p, y,/,. = [3,/,. pour i ef k > p, les autres YzA- étant nuls. Si alors a et p sont carrées, y = a^ = ^a est dite décomposable et composée de a'= ((x.,/c)(i. k S. p) etde P'= ( ^ja ) (i'- ^ > ?)• Je dirai abrévialivemeril que y est le produit des deux matrices composantes a', p' (dans cet ordre), et l'on voit de suite ce qu'il faut entendre par matrice composée de plusieurs autres et par produit de plusieurs matrices composantes (prises dans un ordre donné).

Désignons encore dune manière générale par ô'*P''^' ce que <levient une matrice o — ( 0,7, ) quand on y échange les lignes de rang p, a |)ar o^>y'^p> ce que devient 0 quand on y multiplie la p'"'"'" ligne par /;, par rj''-a,n,h) ce que devient 0 quand on y remplace Op/, (A- = i. 2, . . . ) par o^/, -^ // o^;/, : on dit abréviativement dans ce dernier cas qu'on a ajouté à la p"'""' ligne la a"'"'' multipliée par /t, ou, sans préciser, qu'on a opéré une addition de lignes. Soient ô'''p.'^', 0'''"^'?', ô^'P»'^''''' les résultats obtenus en opérant de même sur les colonnes. On aura ae^,'/''"' = a/'p.<î', efjP''^' a = a'*P'<J', as^^j^P' = a/'.'<P',

186. Soit a = ( a/A ) une matrice d'ordre n. Si l'on pose a/,,- = x,/,, («/a) = a est dite transposée de a. Si a = a, a est symétrique. Si :/a,- = — a,A, a est alternée. Si y = a^, p étant une matrice d'ordre n, '(a- = ^j P/.y^y/ = ^j'^'j ^J/^-

ou (aj3) = 8a. Si | a î jz^ o, la mati-ice ( a^/ ) oii a^A- = 1"" ' "^A' étant le

coefficient de aA, dans | a |, est dite Vinverse de a et se désigne par a^i (a sera dite alors invertible); a^'a = a-' a = t. La matrice a~'= a-i est Y adjointe de a et (ap)^' = a~'[a^'.

a, p, Y étant trois matrices d'ordre n, et p, y invertibles, pay est dite équivalente à % par p, y; P^P est dite congrue à a />«/■ p, et p-'a^ trans-

(') Si /^, c* désignent les matrices de types (i, «), (//;, i) formées par la jième ligne et la Ar'*""" colonne de a respectivement, on peut écrire y ^ = /f c*.

Lorsque l'on n'a pas en vue la théorie des substitutions on définit souvent le produit ap =(y;^) des deux matrices a de type (m, n) et p de type ( «, n') par l'équation T.i = -;«,; Pjn-

SlU LES MATRICES ET LES SYSTÈMES LINÉAIRES. iBl

j'orinéc de a itar ^ et aussi semblable à a. a~' est congrue à a par a-'. On remarquera que Tadjoinle [i"' x-' p ' de ^a^ est congrue à l'adjointe a ' de a par l'adjointe de ^.

187. a = ( a:/^- ), ^ = ( j3,7,. ), y = ( Yi/.- ) étant trois matrices de type ( m, n), on écrit y = oi -\- '^ = '^ + x si y/a- = 3t,7,-H ^^a- et y = .v x si Y/7> = •«^t,/,. On a évidemment, quelle que soit o de type {m', in), (a -t- P) o = ao -i- po, et (|uelle que soit o' de type («, /i'), o'(a+ |3) = 8a + o^. Une matrice carrée y produit de deux matrices composantes a', p' est égale à la somme des deux matrices obtenues, l'une a en remplaçant dans y les éléments de [3' par des zéros, l'autre {3 en remplaçant dans y les éléments de a' par des zéros. Je dirai abréviativement que y est /« somme des deux matrices composantes a' e< [3' et l'on voit de suite ce qu'il faut entendre par somme de plusieurs matrices composantes.

188. La matrice a = (a/i) définissant la forme bilinéaire Z,/, «//, a"/j^^ et réciproquement, on pourra remplacer le mot tnatrice par celui Afferme bilinéaire. Supposons « d'ordre n. La matrice p«a, a= (a/;;) etp = (p,7,) étant deux matrices invertibles d'ordre n, définit la forme

c'esl-à-dire la forme obtenue en remplaçant Xj par I.,.'Xi,,x,. et y^- par ^.-- i^'i.^J'i'- •^' "'/. = — '''/.M 's forme «est dite alternée. Si a,/. = «/,, la forme a est dite symétrique: alors a définit aussi la forme quadratique ^n^an^XiXi; ( t , /: = I , . . . , /t ) et réciproquement (en exceptant le cas où les a,/, sont dans 02"') et l'on pourra remplacer le mot matrice symétrique par celui de forme quadratique ; on remarquera que aaa représente la forme obtenue en remplaçant dans a xt par "S^j^olu^x/^.

189. La relation (j-i(ot — se)a = (T-'a(T — s s, a et a étant deux matrices d'ordre /t et ] a | jzf o, montre que | a — se | = \a(s) coïncide avec A^-i^d. A(x est le déterminant caractéristique ou la fonction caractéristique de a ou du système des a-' au; Aqj = o est Véquation caractéristique et ses racines les multiplicateurs de a ou du système de (t~ ' aT. 11 est clair que A(^= Aa.

On vérifie immédiatement que le coefficient de ( — a)" dans Aa(5) est i et celui de ( — s )"^P la somme des mineurs principaux d'ordre p de Aa(o). On peut toujours former une matrice a = (a,^ ) ayant une équation caractéristique donnée ( — i)""^' S({ a/.s«-^ = o ( a^ = — i) : il suffit de prendre, par exemple, a,/, = a/,, ay^ = o si k y^ j — i (y = >, . . ., a), i-jj-\ = i. S. II

Dii'iseu rs élcnien ta ires.

190. Soil a = (ai/,) une matrice entière, c'est-à-dire où les a,/, soient entiers, de type ( m. n ) et de rane; /• ( i ) et c?p le p. g. c. d. pris positivement des déterminants d'ordre o tie a; dr sera dit le tlivisear de a qui sera première si f/,. = i. Posons <?, = ^/j, gp — rfp : (^/p i |)our i < p ^ r; ^^ = o pour 7 "^ r, a pouvant croître au delà de m et de /i et d,, étant alors regardé comme nul. e, est le i'*""^ dii'iseur élémentaire composé ou simplement le /'""'■ diviseur élémentaire de a. Si e^ = W p^o (plr), p parcourant les facteurs premiers (positifs) distincts de d,. et f)p pouvant être nul, /j^o est le p''""' diviseur élémentaire simple de a relativement à la base p : le k'ènif diviseur élémentaire simple sera nul pour k > r. Une sous-matrice de a est dite régulière d'espèce i (=/') si le p. g. c. d. (pris positivement) de ses déterminants d'ordre / est c//. De même un système de déterminants d'ordre i (en nombre -i) est dit régulier si leur p. g. c. d. positif est di. Il y a en particulier évidemment toujours des déterminants réguliers d'ordre il /• relativement à la base p.

Deux matrices ayant les mêmes diviseurs élémentaires simples ont évidemment les mêmes diviseurs élémentaires composés. Il est clair aussi que les diviseurs élémentaires dune matrice entière ne changent pas lorsqu'on lui adjoint des lignes identiipies à des lignes figurant déjà ou des lignes de zéros, et de même pour les cfdonnes. Considérons, par exemple, une matrice diagonale entière (a,) de rang /• et soient Ti ^ to^. . .£t,. le> puissances auxquelles la base/? entre dans les ai^o. On voit de proche en proche que le k'<""e diviseur élémentaire simple relativement à p est p'^'-. Ainsi le premier diviseur élémentaire composé est le p. g. c. d. des a/ 7^ o et le /•''""■ est leur p. p. c. m.

191. u, a =(ai/,), V élanl trois matrices enfièresde types («,«'), (m, «), {m', m) respeciivement, a' — uav de type (m', /i')est dite un multiple de a et a un diviseur de a' . D'après des théorèmes connus sur les déterminants, si dr, d'n sont les p. g. c. d. positifs des déterminants d'ordre p dans a et a' respectivement, d' est multiple de dr, et le rang /•' de a' est | /•. Si a est au?si multiple de a', a est dite équivalente à a' (dans un sens

C) On peut supposer que les a,; sont des fractions, eu convenant qu'un nombre rationnel a est divisible par un autre 6 si a : b est entier et que le p. g. c. d. de plusieurs fractions irréductibles est le quotient du p. g. c. d. de leurs numérateurs par le p. p. c. ni. de leurs dénominateurs.

Cf. pour la suite de cette .Note, Smith, Phil. Trans., t. 151, i8(Ji, p. 3i4; Œuvres, t. I, p. 389-'|io; Kronecrkh, Cr., t. 107, p. i35; Henski., Cr., t. 114, 1895» p. 25, 109; t. 126, 1903, p. lôb; Frobexius, 5. A. B., iSg'^, p. 3i ; Cr., t. 86, 1879» p. 146; t. 88, 1880, p. 96; Stieltjes, a. T., t. IV, 1890; Muth, Elemeniartheiler , p. j-i', (1899).

SUR LES MATRICES ET LES SYSTÈMES LIN'ÉAIRKS. \6'i

/louieau un peu restreint ) : on a alors /•' := /•, di = drj, el le <"""' diviseur élémentaire e'i de a esl égal à celui e, de a (' ).

19i. Soit [}. la valeur absolue iiiiiiiuia d'un a/i,-^ o el a^r; = [i.. Si Ur^ry ne di\ise pas tous les éléiiienls de sa ligue el de sa colonne, on peut, par des additions de lignes el de colonnes, diminuer a. En i-t'pétanl, au besoin, celte opération, on peut donc l'aire tpi'un élt;nienl ^ o, inininiuin en valeur absolue, tel que «p(jdivise tous les éléments de sa ligne el de sa colonne, et alors, par des additions de lignes el de colonnes, on réduira à o les ap/, et les a/ç^ autres que ap,j. Si a^ry ne divise pas tous les a,/;, on pourra, par des additions de lignes el de colonnes, diminuer ijl. En répétant, au besoin, celte opération, et en faisant, linalemenl, un échange de lignes el de colonnes et, au besoin, une multiplication de ligne ou de colonne par — i, on peut faiie que «n soit .^o el divise tous les an,, el que aii=^ an = o pour t >> i. En traitant de même la matrice des a//, où i et k sont > i, puis celle des aa où i el k sont > "2, ... on réduit a à une matrice diagonale e = (a/) de même type ( /;t, n), où a, est précisément e/. Donc e, -i divise ei pour iS.r. .le dirai que e esl lu forme normale de a. Les opérations précédentes reviennent à former deux matrices entières ce et y d'ordres respectifs n el ni déterminant ± i telles que xay =^- e.

193. Si m 1 n et si, par des échanges préalables de lignes, on a fait en sorte que la matrice formée des /"premières lignes soit de rang /•, on obtient, en n'employant que des add. lions, échanges el multiplications de colonnes, une forme réduite a = (a,/, ) où «//, = o pour k > i et > r, a/,/, étant >> o el 0:ia//i< a^yi- pour k < i et < /•. Cela revient, en négligeant les échanges préalables de lignes, à déterminer une matrice x d'ordre n el de délerminanL zh i telle que xa = a. La forme a est unique, c'esl-*à-dire que si jj'a = a', a' jouissant des mêmes propriétés que a et .r' étant d'ordre n et de délerniinant ±[, a' coïncide avec a. On aura, en effet, en posant :r'j?-i = ç. ^a = a' : on tire de là que ^,7, = o pour /,• >> i (donc ll','ç/,= ± 1) el que a/,ç/,= a^-,, d'où ^,/= 1, puis, a//, el a^y;. étant < a/, et -io, que ;/a= o pour i ^ k.

Si in-.n el si- l'on suppose de rang r la matrice des /• premières colonnes, on construit de même, par addition, échanges el multiplications des lignes de a. une matrice x d'ordre m et de déterminant zb 1 telle que ax = a, a//, étant nul pour i >> k et >• /•, a,/ étant > o et o olh<C. a,,- pour i <C k el ^ r. Cette forme a est évidemment encore unique.

194. Si a est la somme des deux matrices composantes ^, 6' el si l'on réduit séparément b el b' a la forme normale par des additions et des échanges

( ' ) En conservant au mot équivalent son ancien sens, on a cette réciproque que a équivaut à a' si r = /•'. En ellel, on va voir que a équivaut à (e,) et a' à (e;.); or (e,) = (<• r'(e;. ) («.)•

l64 NOTE II.

de lignes et île coluniies, chacune de ces opérations élanl une niiération de même nature faite sur <7, a sera équivalente à la soninie des matrices diagonales composantes obtenues. Donc /p, t'r, étant les p. g. c. d. des déterminants d'ordre o dans 6, b' respectivement, rfp est le p. g. c. d. de Zp, ^p— 1^1) fp—^tii •■'■, ^p-

19o. Si a est une matrice alternée, on peut, |)ar des additions ou échanges de lignes et de colonnes semblables à ceux qui conduisent à la forme diagonale, mais en ayant soin de faire suivre chaque addition ou échange de lignes de l'opération symétrique exécutée sur les colonnes ( la matrice étant alternée, on peut toujours opérer d'abord sur les lignes), réduire a à une

/ o ^ia\

somme de matrices composantes de la forme ( " ), e^cj divisant

625+2- On a évidemment d^r^^ nÇe|/, d^rj^^ e-ir; d>r;-\, f/o-r i = e-,,j d^rs-^'^ ^2(7^2(7-2= dirj^i, d'où ^90= ^2a-i- ^^ rang' d'une matrice alternée est donc pair.

196. Une autre légère modification de l'algorithme précédent conduit à ce théorème que les déterminants d'ordre h{'^r) qui se déduisent d^ an déterminant régulier D d^ordre p{-r) de a. par suppression de lignes et de colonnes si li <C p, par adjonction de lignes et de colonnes si h'^p, forment un système régulier (ces déterminants seront dits dérivés de D).

En d'autres termes : tout déterminant régulier d'ordre h <C r a un sous-déterminant régulier d'ordre h — \ et un surdéterminant régulier d'ordre /t -t- i . En permutant au besoin des lignes et-des colonnes de a, on peut supposer D formé des p premières lignes et des p premières colonnes de a. Soit «'= («//,) la matrice déduite de a par des échanges ou additions de lignes ou de colonnes de rang 1 p (ces opérations conservent les déterminants dérivés de D à l'ordre ou au signe près) qui ramènent D à la forme normale e'= (ey). Alors tout a'j^. où l'un des indi(;es a une valeury Ip est multiple de e'j, car le déterminant d'ordre p obtenu en remplaçant dans D la ligne ou la colonne de e'j par la ligne ou la colonne de Va'ji^ considéré (réduite à ses p premiers éléments) doit être divisible par D. On pourra donc, par des additions de lignes et de colonnes, réduire à o tous ces a^/., puis, par des échanges ou additions des lignes ou colonnes de rang > p, ramener la matrice des a',/^ où i et k sont > p à la forme normale : ces deux séries d'opérations conservent encore les déterminants dérivés de D à l'ordre ou au signe près. Soit e"=(ei)la matrice ainsi déduite de a. ep= Cp doit diviser ep+i, sans quoi D ne diviserait pas le déterminant e[ . . . ep-iCp-i-i d'ordre p. Donc e" est la forme normale e de a sur laquelle le théorème est évident.

197. Revenons à a' = uav et soit xay = e = (e,-), ce' a' y' = e' = (e< ), x^ y, .r' , y' étant des matrices entières de déterminant ±i et d'ordres respectifs n, m, n\ m'.

SIR LES MATRICES ET LES SYSTÈMES LINÉAIRES. l6>

En |)Osant :c' a.r-i = ^ = ( ç,/. ), y '^ ^y' = f\ = i'^a), on aura 6^'=^é;r,. Considérons ^(? = (e,ç//,). A chaque déterminant Ap d'o*-dre p de ^e (p étant au plus égal au rang de ;e, lequel est % r) répond un déterminant Ap obtenu en divisant la première ligne de Ap parei, la seconde |)ar go, •••, la p"""* par gp («j 1 divise ^, pour f ;^p). Soit Op le p. g. c. d. des Ap, Op celui des An : il est clair que o, = ^i ... <3pOp. Or, en développant A^ suivant les éléments de sa dernière ligne, on voit qu'il est une somme de termes dont chacun contient en facteur un Ap i. Donc, tous les Ap sont divisibles par Op^i, et, par suite, Op est divisible par Op i. Donc, Op : Op i = «pOp : Op i est multiple de tr,. Donc, le i'*'""' diviseur élémentaire de ^e (et, de même, le i"'"" diviseur élémentaire de eir) ) est multiple de e,. Supposons un instant v = s,/,. Alors I 7) I = zb i et ;e = e'r/ ', équivalente à e\ a les mêmes diviseurs élémentaires, c'est-à-dire que e, divise le {'"'"*■ diviseur élémentaire e'j de rt'= ua. lîn faisant ii = e^, on voit que e, divise de même le t"""^ diviseur élémentaire de av. A fortiori, ei divise le i'é'ne diviseur élémentaire de uav (pour i 1 r).

198. Soit 6/ = [JL/g;, d'où d'i = ;jLi . . . ;jl, c//. Si ofp = <ip jz^ o, [Xj, . . . , [ip sont égaux à I et d\ = di pour f^p. Si dr,j^\'^ <^p+i, c'est que \i-o-^\ est > i et d\ sera > di pour i > p. Si, par exemple, m et v sont des matrices diagonales dont les éléments sont o ou i, a! pourra être une quelconque des sous-matrices de a et l'on a cette généralisation d'une proposition déjà rencontrée (196) qu'«/ie sous-matrice régulière d'espèce p appartient aussi à toute espèce < p.

199. En convenant qu'un entier ^ est multiple d'un autre r^ relativement à /> si yj entre dans ; à une puissance au moins aussi haute que dans -i] (deux entiers premiers k p sont donc multiples l'un de l'autre et égaux à i relativement ap), ce qui revient à réduire chaque nombre ^ o à la plus haute puissance île /> qu'il contient, on peut répéter tout ce qui précède en entendant par multiplication et division la multi|)lication et la division relativement à p.

^00. Si le iièine diviseur élémentaire et d'une matrice a divise le lieme diviseur élémentaire e/ = X/e, d'une matrice a\ a divise a. Car a' équivaut à (e'j) qui est un multiple de la matrice {et) équivalente à a.

L'hypothèse équivaut à celle-ci que chaque f'"'"" diviseur élémentaire simple de a divise un i"""^ diviseur élémentaire simple de a', c'est-à-dire que Ci divise e'i relativement à chacun des p. Si Ci ne divise e'^ que relativement îi p, on peut seulement affirmer que a divise a' relativement kp.

201. Les raisonnements précédents subsistent, à des changetnents de langage près, si l'on considère, au lieu d'entiers, des fonctions entières d'une

'66 NOTE U

variable dont les coefficients appartiennent au corps C résultant de l'adjonction des éléments des matrices consiilérées au corps des nombres rationnels ou à un corps j^aloisien d'ordre premier, p étant une fonction irréductible dans C de premier coefficient i ( '). Si les a,/, sont des fonctions de plusieurs variables, la ii'duction à la forme diagonale ne |)ent plus s'effectuer que rel.atwein.eiit à p. Mais il est clair que les propDsitinns obtenues aux n°' 197-198 subsistent absolument lors(|u'ellcs ont lieu relativement à chacun des p.

20:2. Supposons, par exemple, que G soit un corps galoisien. Gbaqtie élément ^ G de G divisant tous les autres, on peut, par des additions et échanges de lignes et de colonnes, réduire une matrice a de déterminant jz^ G à une matrice diagonale e = {e,) dont tous les éléments sont arbitraires (jzio), sauf l'un d'entre eux, puisque II e, = | a |. On peut supposer que les e,- sont tous égaux à i, sauf le dernier qui sera | a |.

203. Gonsidérons encore une matrice a dont les éléments sont fonctions d'une variable s. a sera de la forme S'yOc/.?', les a, étant des matrices indépendantes de 5, et si «vi^ o, a sera de degré v en s.

Soit a = (a/A) une matrice d'ordre n, de degré i eji s. On peut la réduite à ta forme normale par échanges et additions de lignes et de colonnes tels que les multiplicateurs qui figurent dans les additions soient des constantes. La proposition étant évidente pour n= i, admettonsla pour les valeurs de // inférieures à celle considérée. Par des échanges de lignes et de colonnes, on peut d'abord faire que x„„ soit de degré maximum ( i(;i = I), puis, par des additions à multiplicateurs constants, rendre constants les a^,, et les a,„ autres que a„„. Opérant de même sur la matrice formée des n — i premières lignes et des n — i premières C(donnes, et ainsi de suite, on rendra constants tous les éléments non diagonaux, le degré des a,/ ne décroissant pas avec /. Si ot], est constant, on réduit à o, par des additions à multiplicateurs constants, les aj,- et les a,i autres que Xii, et r(m est ramené à démontrei' le théorème pour la matrice formée des /i — I dernières lignes et des n — i dernièies colonnes. Si a,, est de degré i, on le lamènc au degré o en ajoutant la seconde colonne à la première, puis la seconde ligne à la première, puis la première colonne à la seconde (les multiplicateurs de ces additions étant tous constants).

Si donc a = a„-t-aiA- et P = Po-i-pii" sont deux matrices équivalentes d'ordre /(. ou peut trou\cr deux matrices d'ordre /i, ; et r,, iormées d'éléments de G, de déterminant zh i, telles que ça/; = p. et, coniine ç et r, sont inilépendanls de s, on a séparément ^aoTj = [iy, fai-r) = ^i. Si donc ^1 = 1^1 = £, on a r, = ^ -1.

(') Par des comiilénienls de définitions en luul semblables à ceux faits précédcniiiienl. «m pourra, ici encore, introduire des fonctions rationnelles.

?UR LES MATRICES ET LES SYSTÈMES LliNÉAIRES. 1G7

20i. Pro|)OS(jns-nous de former une matrice d'ordre cl. raii^ n, de degré i en .v, a^anl [jour diviseurs élémentaires simples autre- ([ue 1 les pol\nomes, distincts ou \ii>u, f/{s )''i (/ = i, u, ...),//(s), de deyré v/, étant irréductible dans (] et Xv/X/ égal /i. Formons d'abord, comme il a été dit ( 18!)j, une malrici; oc' ayant pour l'onction caractéristique //{s), ■x' — sz aura évidemment |)our unique diviseur élémentaire (^\)fi{s). Considérons alors une matrice oi" ( = ol) /^. ) somme de 0/ matrices composantes identiques à a' — ,s£, puis remplaçons Kss a','/,, où /,==«— i = mv/, /n — \ , ...,-/ — 1 ( fpii sont tous nuls) l'cspectivement par des éléments a/,ft^ o arbitraires, et soit v./ la matrice ainsi obtenue, d'ordre v/T/. |a/| est égal à /"/(s)fi et, dans a/, le déterminant obtenu en supprimant la première ligne et la dernière colonne est indépendant de 5 et ^ o. Donc y./ a pour unique diviseur élémentaire ( ^ 1 )//( ■v)'^', et la somme a = a^ — si (les matrices c(jmposantes a/ a les diviseurs élémentaires simples donnés.

Si donc une matrice ^ = j^o-î- ^i*, d'ordre n, a pour diviseurs élémentaires simples (^ i) les f/(syi, et si j ^ | est ^ o, en sorte que i;v/-/= n, on pdurra trou\er deux matrices ;, r, d'ordre n, à éléments dans C et de dt'ierminant ± 1 telles (|ue ;fir, = a. C'est ce ([ue l'on appelle réduire (i à la fur Die a.

Prenons maintenant pour C un nouveau corps oix fi soit réductible. On pourra, en multipliant a/ à gauclie et à droite par des matrices ^/,r|/ à éléments dans C (cela revient à multiplier a à gauche et à droite par des matrices composées de ;/, r,/ respectivement et de matrices unités) réduire de même a/ à une somme de matrices composantes et ainsi de suite jusqu'à ce que les diviseurs élémentaires soient linéaires en 5. En introduisant successivement dans C les racines des/'/ et en faisant [îi = — £, on obtient une forme réduite importante sur laquelle nous reviendrons dans les compléments.

Equations linéaires.

'ÎOrj. Soit à résoudie en nombres entiers le système S d'équations linéaires yi=: I,'lai/^x/^-:= a, {i = i, ..., /n). les a,, a,/,- étant des entiers donnés. S étant déterminé [)ar la matrice a = (a//,) de rang /• et la matrice A déduite de a par l'adjonction d une n -i- i'""" c<il(jnne formée des a,-, on peut représentei' S |)ar le symbole (a, A): on dit (jue A est la matrice a complétée par la colonne des a/.

En remplaçant y,- par y) = 'Z'I'-rjuyi et en posant 3^7, = S'/ ç/,/a^'y, a'i-^'Z'l'r^i/a/, ; = (ça/) et r^ = l'');/) étant deux matrices entières de déterminant ±1, d'ordres respectifs /> et /n, on obtient le système (S') y'i^^'^iuj'r^iiaik\i;jx'j=- a'i ('/ = !, ..., ni\ k., j^=\, ..., /i), c'est-à-dire (^ar^, A'), A' l'taiit la matrice ;«r, eom|)létée |)ar la enionne des a'i {^' étant la matrice d'ordre /t -i- 1 produit des matrices composantes ^, ii, on a A'= S'Ar,).

Sufiposons ; et r, telles (|ue ^ar^ ait la forme normale e = (ei). Pour la

l6H NOTE II.

coiii|i;ilil)ilit('', il l;iiit l'I Miftil ('videinment que !(>> a) oii / > /• soient nuls, aulicnicnt dit el sous une forme indépendante de ^, r,, que le rang de A soit r. Four que les solutions .r^ de S' soient entières (et par suite aussi les a-/,, I ^ I étant égal à ±i;, il faut et suffit que ehaque e,- où /l /' divise a',, autrement dit et sons une forme ind('pendante de ^, r,, que le diviseur d de a soif celui de A (tout déterminant d'ordre /• de A' s'obtient en remplaçant une colonne de e par (i\, ..., (■/,'.)•

^()(). S reste évidemment r(''soluhle en nombres entiers si l'on ajniile aux <7,des multiples de d. Le iiuinbre N des systèmes de nombres ai mot] d pour lesquels S est rés(>luble en nombres entiers est d'' i. En effet, par un changement de variables, on peut amener S à une forme on «,/, soit nul pour k > i. Alors d = H', «// et l'on voit que la première équation est résoluble en nombres entiers pour valeurs de «i puis la seconde pour

— valeurs de a-,, ..., d'où N =n[ — = d'-^.

207. Su|)posons les «/ nuls. Si /■ = «, les Tj sont tous nids. Soit /■ < n. Le» équations se réduisent à /-d'entre elles. x\, . . ., x',. sont nuls; a;,'.^.,, .... .r,', sont indéterminés. Cette solution générale s'écrit, en revenant aux x, 37/, = i^"-Hi^/,7^y ('^^ ^'j pa'courant tous les entiers): on voit qu'elle s'exprime linéairement par les n — /• solutions particulières (^ly, .... ^«y) = çy (y = /--l-i, . . . , n) dont la matrice, de type (n, n — /), est première ( puisque |^| = dz i).

On voit que les solutions (xi, ...,.r„) sont les éléments d'un groupe abélien X f le produit des deux éléments (ui. ...,«„), (i'i, ...,i'„) étant ( «1 -+- l'i, ..., u„-h t>„ )). Pour que p éléments x,=^(xii. ..., x,„) (i = i, ..., p) de X soient indépendants, c'est-à-dire pour qu'une relation de la forme nPipf' entraîne la nullité des a,, il faut évidemment et il suffit que la matrice (ar,^) soit de rang p. Les ^j, qui sont indépendants et forment un système de générateurs de X, en forment par suite aussi une base. Donc le rang v de X est n — /• (113). On dit que les éléments d'une base forment un système de solutions fondamentales.

Soit ,i?] , . . . , ,^% une base et //, = n\ gf''- ( /> = i , . . . , v ) un système quelconque de V solutions. Si g/,=(gi/,,. .^g^/,), // = (/i/o • • • > /v/, ) ^^ g = (gil), / = {fi//)< °'- = (^//. )' "" aura /'= ag. Si donc les fi^ sont indépendants, les déterminants d'ordre v = « — /■ de f sont proportionnels à ceux de ^, le facteur de proportionnalité étant | x|. Si /'i, . . ., /"v esl une base, |a| = =bi (113) et, en prenant gu^= ^/-t-/., on voit c^vm f est première. Inversement, si f est première, son diviseur ±|a| = i tl f\, ••■,f\ est une base.

208. Soient, en changeant un peu la notation, (^yi, .... bj,i)ij = !,...,« — /•) n — /• solutions indépendantes de S {«1 = 0) que nous supposerons se