PREMIÈRES DÉFINITIONS. CONSÉQUENCES. I

on aura sans répétition cV éléments G = A' S [3c ^ 2 [3u A' (c/.6.i, 66).

19. Pour que S n'éfahJisse pas entre les a d'aulres relations que Srt, deux conditions sont évidemment nécessaires.

i" Soient Sp-v/p, S^s ce que devient S„ quand on y remplace chaque «/par |ii~'a/^ ou par Af(a) respectivement. En transformant S par [j on a Sp-i^p ou S^p. Donc S^p doit résulter de S^. S^^-p devant aussi résulter de S,/, on Aoit, en translormant par |i, ([ue S« doit résulter de S^^p. Donc S„ et S^p doivent être équivalents. Il faut et suffit pour cela que S^^f' soit équivalent à S^ (pour chaque ^^'). Car en remplaçant chaque «/ par Af"", par exemple^ dans les systèmes équivalents S^, S^^a, on obtient encore deux systèmes équivalents qui sont S;^//„, et S^^i^,,,; donc S^6a(!>« équivaut

à Srt. Ainsi les ai et les S.'i^ (bj/ restant fixe) sont deux systèmes de générateurs liés par les systèmes respectifs d'équations Sa, Sa'^*'. J'appellerai aM^owo/'/?/iw/?2e cette transformation d'un groupe en lui-même et condition ou conditions d' automorphisnie l'ensemble des conditions cjue l'automorphisme considéré ici impose à S. On observera en particulier celle-ci :

qui donne l'expression des ai par les A/. Si, par exemple, S a la forme «"'«, = «, «y' := i , ^^ = i , Z>~V/, ^j = a',, S^^^, a la forme a~' a''= a'-a~''= i et n'équivaut à S» que si A = i (').

2" 11 faut que, dans A, A^"^' aiA'j"* = A^f; si G est fini, l'équation répondant aux signes inférieurs résulte de l'autre comme on le voit en répétant la transformation ])ar \' . Cette condition sera dite de fermeture.

Si les A se réduisent à i (ce qui a lieu en particulier si Bestcyclique et infini, lesBy=: A' se réduisant alors aux deux équations b~* bi = i , 6,6~' = i),ces deux conditions suffisent pour que toute conséquence de S entre les a résulte du système S' des seules équations Ai= i,

(') A est ici cyclique et infini, et de même A'. Mais, bien que A' soit isomorphe à A (64), la transformation par i, ne fournit pas un aulomorphisme de A si A est > 1.

CHAIMTUE 1.

b-\,/b,= Af^ Eu effet, S' donnr />,.' A'; ' bh(iib~' a; bk= A;'I'Va. Donc ici, en vertu de S'. bj.'\ijb/, cl de même tout fi "' By[5i = iil, est permutable à «/, donc à tout produit de<r//. Or dans une conséquence $ = nVr* F^' Vp= 1 de S (F parcourant les premiers membres des équations de S ramenées à la forme tjpique)\ 7'F— ' \ ,. se ramène en ver lu de S' à la forme a~' A/(A^^)-' a si F = A,, et à la forme a~' |3"' B^' [ia si F = B/. En faisant passer à gauche tous les [i~'By'p, on voit que <I> = i prend [e/« vertu de S' la forme tj?<ï)'rr= I, 'J.', $' étant les premiers membres de deux conséquences de S^^,, S' respectivement. Or y;-, si l'on j intercale des i3~' [i à des places convenables, présente tous les 6 de $ dans l'ordre où ils s'y rencontrent. Ils se détruisent identiquement si <ï> ^ i ne lie que les a, et alors $ = i équivalant en vertu de S' à une conséquence <!>'= 1 de S' résulte de S'.

Si B est cyclique et fini, les By= Ay se réduisent à une équation de la forme b\ = A', et S donne fty' A', b^ = A', ; donc A', {.k^') = A', doit résulter de S„. J'appellerai cette nouvelle condition condition de per mutabilité. Si elle est vérifiée, ainsi que les deux autres, toute conséquence $ = i (sous forme typique) de S entre les a résulte encore de S'. En effet, d'après les hypothèses, B, A'~' ^ F, sera, en vertu de S', permutable aux rt et à 6). On pourra donc, dans <I>, faire passer, à gauche, d'abord tous les F, qui y formeront un produit F'', puis, A', étant permutable à 6(, tous lesB, qui y formeront un produit b'" . Comme plus haut, on devra avoir A" ^o. Donc F, disparaît en vertu de S' et <I> = i résulte de S'. Or toutes les fois (pie S n'établit pas entre les a d'autres conséquences que S', les conditions d'automorphisme et de fermeture suffisent pour que G contienne A. En effet, on verra plus tard qu'il existe efîectivement un groupe contenant A et vérifiant S' ('). Donc S' n'identifie aucun élément de A avec un autre.

(') Voici la (lérnoiistration qui sera développée dans les Compléments. Soit G =S,r. Kn appelant b]; la substitution («,, A''*) desa;, a/, la substitution {x,xa,^), le groupe engendré par les a' , b' ( les b' ne sont pas nécessairement tous distincts) vérifie S' et contient le groupe A' isomorphe à A engendré par les a)^. Quand les A'- se réduisent à i, la condition de fermeture exprime évidemment que les automorphismes (o,, A''^) engendrent un groupe homomorphe à B (Gi).

La nécessité des conditions d'automorphisme, de fermeture et de perinutabilité a été reconnue d'abord par M. Holder {M. A., t. \L1I1, p. 3j-: ; iSyo).

PREMIÈRES DÉFINITIONS. CONSÉQUENCES. il

Si !lia(|iic B/ se réduit à Itj (alors B r= i et si G contient V,

on a G=:ïVi3,j= V)etciiaque Vj'"' à \:f-^ai^i;\ les conditions de fermeture etd'automorphisme sont des identités, car S^jf équivaut à V/.+ ' A.^- V/.^' = I donc à V,-= i. Adjoignons hj seul à A : les conditions de perinutabilité étant des identités, le groupe obtenu coïiuide avec A, et l'on peut laisser de côté bj et les équations où il entre. En adjoignant successivement les ^y on aura donc G = A. En omettant les équations 6^^ «/^J' = A'^J' Oi-^,^^ qui résultent des autres, on voit qu'w/i groupe G défini par A/= i, 6/=: k'j coïncide CH-ec le groupe \ défini par les A/ = i (ce qui était, du reste, évident, les relations bj=\'j revenant à nommer autrement les k'j ). Supposons, dans ce système S, les équations bj= Ay résoluldes par rapport aux «, c'est-à-dire équivalentes à un système ai=: v^'^'i{b) (les b forment donc un système de générateurs de G) et soit \/(iil)f) = ii!i/(^). Le système S' formé des iil>/= i, «/= ^''i^équivaut à S, et en partant de S' on voit comme tout à l'heure (pie G coïncide avec le groupe défini par >ii),=: '• Mais G' contenant G })uisque 6y = A'-, on aG' = G. Ainsi le système des \\\u=^ i équivaut à celui des A,= i moyennant bj = A'^- ou a/^i)lî^ (cette dernière restriction sera souvent sous-entendue). Remplacer les \i=z I par les iil>/= i revient à faire un changement de générateurs.

20. Prenons, par exemple, pour A le groupe cyclique S„ défini par a" = 1. Pour former un ga/; G en lui adjoignant un e2 b avec les équations 62=1, bab = a-, on devra avoir, d'après la condition de fermeture, £=±i(en négligeant les multiples de n). Si £ = i, G est un g-in abélien a\a,i (pour n impair, n\.,,i = )ab[ est cyclique). Si s= — i, G est un oinO^it tlit diédral formé des éléments a^, ba^ , les 6a*' étant d'ordre x\ on remarquera que, si ii est impair, les transformés a-^-' ba'^ = 6a- ^ de b fournissent tous les e-j de tÔ„ ; si n — ^.v, il faut, pour avoir tous les e2, prendre encore les a--^baa^ eta^. (0-2 est évidemment le groupe carré Q. Si n = 27 et si b vérifie 6- = a^, b^^ab^ a-', on obtient un g.2„ A„ que je nommerai dicycliqiie ; A„ est distinct de ;0„, car il contient les e^ ba-^. A; est le groupe H des quaternions.

Prenons pour A le groupe lO^ et cheichons à former un gi,j en lui adjoignant un Co c. On aura c-= i, cac=^a^, cbc=^ ba'- (si /i= 2, c est nécessairement permutable à un des trois e-^ de (Qo que l'on peut toujours api^eler a). Les conditions de fermeture exigent que £ = ±1 et que X( 1 ^ £) = o ( en négligeant les multiples de /i ).

Soit £ = I. Si /i est impair, X = o et G est le produit direct (J^'n de (£)„ par ; c ; ; iS)'„ coïncide alors avec IÔ2«, car a' = ca est d'ordre -i/t, et

11 rHAPlTHK I.

ha' b = a'-'. Si n = 2v, X = o on v : on vi'rilu' (lirectemcnt ( tout élément de G étant de la forme a^. ba^\ ca^ ou cba^ ) que tout élément de G est permutable à a^ et à c dans le premier cas, à a^ seulement dans le second; donc pour X = v on a un g4«(î)n distinct de (D,',. Si n > 2, (0,', et(D"j n'ayant aucun e2/j sont distincts de (Da^. Si n = 2, cb == a' est d'ordre 4 dans (©2, et CD'2, toujours distinct de CCj, coïncide avec (©4.

Soit î = — I. Je supposerai n > 2, sans quoi ce cas se confond avec le précédent. La condition de fermeture disparaît. Si n est impair, ou si n et X sont pairs, en prenant cba^ = c' pour générateur au lieu de c, avec la condition que icr soit de la forme X -h Icn, on voit que G est le produit direct de (Ô,, par ]c\ et l'on retrouve Ck)^',. Si n est pair et X impair, cba-^ = a' est d'ordre m pour 23" = X-i- i, et comme ba' b — «'-', G coïncide avec Œ)-2if

Prenons pour A le groupe Q et cherchons, en lui adjoignant un 63 c, à former un gi2 qui ne soit pas produit direct de Q par \c[. La condition d'automorphisme exige évidemment que c transforme les uns dans les autres les trois e^ de Q, et l'on aura c^ = \, c-^ac = b, c-^bc= ab. Le gi2 S ainsi défini est dit tétraédral. Il contient, outre l'unité, les trois 62 de Q et les quatre g;, \ ucu\., u parcourant Q.

Prenons pour A le groupe 5 et cherchons à former un g.24 en lui adjoignant un 62 cl. La condition d'automorphisme exige que cl transforme c en un 63 de G tel que uc^ u, u étant dans Q. d, devant transformer les uns dans les autres les e2 de Q, sera permutable à l'un d'eux qu'on peut prendre pour «. On aura donc, Si\ec d^ = 1, dad ^ a, dcd= uc^u, ou bien dbd = b, ou bien dbd = ab. Dans le premier cas, la condition d'automorphisme donne X = \ et, en prenant du pour d, on a un gij t' produit direct de (B par ] c \. Dans le second cas, la condition d'automorphisme exige x = 1 et celle de fermeture m = a ou i ; en prenant au besoin da pour d, on peut supposer « = i : le g24 C^ ainsi défini est dit octaédral ou hexaédral. On vérifie directement qu'aucun élément de Ô n'est permutable à chacun des générateurs a, 6, c, d\ donc O est distinct de (?'.

En prenant pour A l'un des groupes cî?:i, O et en cherchant à former respectivement un gis'UDj ou un gig t^' pa'" l'adjonction d'un e^ ^, le lecteur pourra vérifier que CÔ'j est nécessairement le produit direct de CD3 par ! ^ { et O' celui de Ô par j ^ j ( 1 ).

21. Prenons encore pour A le groupe défini par a'/ = i . Adjoignons le générateur b et les équations 6''= «P, b-^ ab = a\ le groupe obtenu contien-

(■) Cela résulte d'un théorème général qui sera établi dans les compléments et dont voici l'applicalion au cas actuel : (S^^ et O sont respectivement isomorphes aux symétriques de degrés 3 et 4, et le symétrique de de£;ré n est complet pour n 7!^ 6. Or un groupe complet se sépare de tout groupe qui le contient normalement.

On trouvera, dans la Note I, les représentations géométriques des groupes (Jt)„ (D,t, ©, S', O, 0' qui expliquent les noms donnés à (0„, S, C").