PREMIÈRES DÉFINITIONS. CONSÉQUENCES

dra A et sera d'ordre g/-, a-'-ÔJ (a; = i, . . . , (7; 7 = i, . . . , r ) fournissant chaque élément une fois. Prenons ce nouveau groupe pour A, adjoignons le générateur c et les équations c*' = albV-, c^ac = a, c~^bc = a'f-b . La condition d'automorphisme exige que, dans A, {a'*-b)''= «P, donc que v.r soit multiple de q. La condition de fermeture est que, dans A, a^^b = b (de c~^ bc — a^-ù on déduit par récurrence c-^ bc« = a'^^ b), donc que -/.5 soit multiple de q. La condition de permutabilité exige que, dans A, al {a''- b)V- =■ aXbV-, donc que ai- soit multiple de q. Supposons ces conditions vérifiées ; le groupe obtenu contiendra A et sera d'ordre qrs. Prenons-le à son tour pour A et adjoignons le générateur d avec les équations

d'—a'^t'^ d-^ad—a, d-'^bd— a^b, d~'^ cd = ca? b'^ .

La condition d'automorphisme exige que, dans A, (ca?b'^)^= cV'(a'^b)Vou {cb'^f = a^+'^V'-Ç^bV-, ou «^ff^J^i^-i' b^'^— a'^V--?^ {c-^by'c- = «A*~ 6->' donne par récurrence (cô-^)" = c"«^'î''"'«-i' ô""^), donc que 5cr soit multiple

de r et os — x\x -f- \^y.s{s — i)H p de q ; elle exige aussi que(«i^6 )'' = aP.

donc que tr soit multiple de q. La condition de lermeture donne, ba^^ — b et d-'cdt se calculant par récurrence, b-"^ a-^ caS' b'' — ca^ç-^\<sT:tU-ï) bat q^ atç+\axt{:-v+v.\i l,rjt — ,, Elle exige donc que it soit multiple de ^, a< de ;•

et t Ç) ^ liit(t — \) -\ p -H xv de q. La condition de permutabilité est

que a^in^by = a^b"^, donc que vt soit multiple de q. Si toutes les conditions sont remplies et seulement alors on a un groupe d'ordre qrst. Si q = r' = s=^t=p premier, ces conditions se réduisent, pour/» impair, à ce que -/.[ji, tv, u'^ — t|jl, cr^ h- /.v soient multiples de p, pour/» = 2, à ce

que x[j., -zv, a-(P -h x) -+- zix, a(p -f t) -h xv soient pairs.

22. Considérons maintenant un système S d'équations entre des générateurs «,, a-y., . ■ . indépendants ou non, définissant un semigroupe G. Soient ^,, èo, ... ceux des a dont l'inverse n'estpas dans G, c,, Co, ... les autres. On peut supposer que S se compose d'équations F^^ i ne contenant pas de b et d'équations A/= B/où l'un des deux membres en contient. Adjoignons à S un système S' d'équations définissant, au moyen de nouveaux générateurs Xi, les inverses des bi, par exemple les équations C/X/=:i, les C étant des produits de b tels que chaque b figure dans un G et dans un seul, avec toutes les équations obtenues en permutant circulairement Xi et les b qui figurent dans CiXi (13), et d'autres équations quelconques F^= i entre les a et les x. Soit ^ un système d'équations .Ji= I équivalent à S H- S'. ^ définit un groupe {j engendré parles a et les x; mais {j ne contiendra G que si les conséquences

■2[ CIlU'irUK I.

de -S entre les a coïneideiil avec celles de S. La forme générale des conséquences de S est C ^ D, C et 13 pouvant contenir des /> : on les obtient parmi les II V^'j"-' V = i sous dillcrentes formes, par exemple sous la forme CD~' = i où C est un produit de bi et de C7' , D"' un produit de bj' et de cj\

Supposons, par exemple, que G soit ahélien et que les A/= B, se réduisent à aibk= b^ai (i,k = i , 2, . . .) les F/^ i se composant d'équations CiC^cJ^ c^.' = 1 (f, /,• = 1 , 2, . . . ) et d'autres équations <!>/= I. Formons S' des éqiuitions ^/x/ = a7,6i = i . On pourra alors écrire ^7' pour Xi et |)rendre pour ^i^= i les équations <!>/= 1 , c/c'>tc7'c^.' = I , Uib/fO'^' b^.' =11, bi bj^ =bj^ bi^^ i. Je dis que {{ contient G. En efi'et, si C = D résultait de S et non de S, C et D pouvant contenir des b, mais ne contenant aucun 6~', on en déduirait, G étant abélien, une relation \ = B équivalente en vertu de S, donc résultant de -S et non de S, où B ne contient que des b dont aucun ne figure dans \, Cette relation se présenterait comme conséquence de -S sous la forme AB"' == 1. Soit P le produit des <ï> qui figurent dans la forme typique de AB ' = i . P contient les mêmes c^, cj^ que A et l'on |)Ourra former un produit B' de b tel que, en vertu de S, PB' soit égal à A. Donc B'B^' = i résulterait de ^ sans que B' = B résulte de S. ^lais cela est impossible, car, dans toute conséquence de .S sous forme typique, bi figure autant de fois que bj* . Ainsi [j contient ici G. Le groupe G', engendré par les b et les b~* seuls, est évidemment contenu dans (j.

Si l'on adjoint aux «, b~' un générateur 8 et les équations

ea,.=. rt/O = 6, 02=6,

on a un corps S qui coulient^', car toute conséquence du nouveau système qui ne résulte pas de S contenant évidemment G dans les deux membres, on ne pourra, de ce nouveau système, déduire l'identité de deux éléments distincts dans y; on remarqueraque j)^, :; étant dans 3, yz=^H exige que y ou z contienne H et par suite soit égal à 6.

Soit par exemple c-^^ i, C( étant iunique c^i, et prenons pour bi les entiers positifs ^ 1, pour composition la multiplication ordinaire (on pourrait aussi bien prendre pour bi les seuls nombres premiers 7^1; assimilons 0 à o, puis, quel que soit x dans y, convenons d'écrire CtX = — x en assimilant — x aux entiers néga-

PUKMlihUCS DKKIMTIONS. CONSÉQUENCES. 25

tifs déjà définis quand r est un cnlici- [yosilif : S sera alors le corps R des nombres ralioiiiicb, ceux de G' étant positd's ou > o, les autres négatifs ou < o. a, />, c, d étant des (;ntiers positifs, on dit que rtft-' est > ou <c<r/"~' et — ab-^ < ou >— c<i^' respectivement selon que ad est > ou < bc\ il en résulte que si, dans R, :r est >> jK et y > c on a x > z.

Pétant l'ensemble des points (\r,, x.^ à coordonnées entières, on a R^PetR>Q, P=:0; donc R = Ci.

Vaddition des éléments de R se définit par

ab-^-hcd~^={ad-^ bc)b-Ul-\

a, b, c, d étant des entiers réels : il en résulte que R forme un <;rotipe quand on compose les éléments par l'addition, et que la tnultiplication j est disti-ibuthe par rapport à l'addition, c'està-dire que X, y, z étant quelconques dans R, .r ( y H- c ) = jt/ 4- ■2'-3.

A. chaque division en deux parties A, B de l'ensemble R' = A + B des nombres rationnels >• o telle que chaque élément de V soit inférieur à chaque élément de B (une telle division est dite coupure) faisons correspondre un éléments {défini par la coupure) qui sera l'élément maximum de A si \ en a un, l'élément minimum de B si B en a un, sinon un symbole nouveau dit nombre irrationnel. L'ensemble G' de ces éléments x est l'ensemble des nombres réels positifs. Écrivons ^ = (A., B) et soit ^, = (:\,, B,) un autre nombre irrationnel. ^est>^, ou <^i selon que A contient ou non A,. Soient A2, Bo, As, B3, les ensembles des nombres distincts de \ 4- A,, B -H B,, AA.,, BB,, respectivement : on aura par définition x + ^i = (A2, Bo), j?^, :=(A:,, B3). Ai, B, désignant les ensembles des inverses des éléments de A, B respectivement, on définit x~^ par x~^ = (A-,, B-,).

Lorsque l'on compose les éléments x de G par la multiplication ordinaire on a un groupe.

Adjoignons un générateur a et les équations «-=1, rt^a~' jc~' =: I ; on a encore un groupe.

Adjoignons encore un générateur h et les équations

6rt = rtfJ = :re = 6:f = fi^^ 6; on aura un corps. En identifiant H à o, en écrivant ax = — d? et en

26 CHAPITUE I.

identifianl — x aux nombres négatifs déjà définis puur.i? rationnel, on a le corps C des nombres réels où ceux de C sont posilils ou >> o, les autres négatifs ou -< o, où, x^ y, z étant des éléments quelconques, — x est <!— y si x';>y, où x est <C z si x <^ y et y <:iz et où ,27 ( jy H- 2) = xy -+- xz, ce qui définit l'addition des nombres irrationnels négatifs. C est évidemment un groupe relativement à Vaddition. On y adjoint ordinairement l'élément 00 avec les rèeles de calcul

ce liz 00, 00 o et 000 restant indéterminés.

23. Pai'mi les nombres transfinis le plus important après Q est celui Y des nombres réels ^ o et >< 1 .

Y est >> ù. Il suffit pour le voir de vérifier que Y a des éléments hors d'une quelconque D = S<'/(<'' = i , 2, . . . ) de ses parties dénombrables transfinies. Or soit e^^^ le plus petit des nombres e,, e>^ l'autre étant e^^^ et formons e^^^^ . . . , e^^ , ... en prenant pour e^^ le premier des et qui soit compris entre e^^^ et e^^^\ ^a„„+i croît et e. décroît avec /^. Si e^ — <?a reste fini, Y a des éléments hors de D. Dans le cas contraire Se„= 0. Soit A l'ensemble des nombres rationnels inférieurs à l'un au moins des ea ^ , B celui des nombres rationnels supérieurs à l'un au moins des e^^^ . La division ainsi opérée est une coupure définissant un nombre x de Y. On ne peut avoir x ^ ^v? car, pour a,^ > v, e^,, ne serait pas le premier e, compris entre e^^^ et e^^^- Donc x est hors de D.

Si l'on ôte de Y les nombres rationnels en nombres Q, Y ne change pas (7). Or un quelconque des nombres irrationnels ^o et >■ I s'écrit d'une seule manière (certains nombres rationnels s'écriraient de deux manières : ainsi dans le système décimal 0,2 = 0,1999...) d^i^^ 1^ système de base arbitraire h sous la forme o,a,3Y . . ., a, [3, y, ... désignant des chiffres; dans ce système, il y a ^''^écritures o,ajSy .... Donc Y =^ 6^, Y- = 6-^ = 6^ = Y, Y« = Y {n fini) ; Y^- = b^-'' = b^- = Y, Y^^" = Y {n fini). Il y a autant de nombres réels ^ /i et << /« -j- i qu'il y en a ^o et ■< 1 ; donc le nombre des nombres réels est QY = Y. Le nombre des points à /i coordonnées (nlù) est Y" = Y. L'ensemble de ces points est l'espace à n dimensions E«. Le nombre des points à coordonnées

PREMIERES DEFINrnOXS. CONSEQI EXCES. 27

rationnelles de E„ est il", c'est-à-dire U si // est Uni, T si n = Q. En supposant défini Tordre de grandeur des nombres réels et en considérant un nondjre plus petit qu'un autre comme antérieur à cet autre, on voit que E,, est n fois ordonné (2).

r est la puissance du continu et un groupe d'ordre V est dil continu. On représente souvent chaque élément d'un groupe par un point d'un espace E„. Certaines qualifications tombent alors sur la représentation, non sur le groupe abstrait. C'est ainsi que l'on a appelé continus certains groupes dénombrables parce que des points représentatifs d'éléments avaient des coordonnées difl'érant infiniment peu, eX finis certains groupes continus parce que la représentation se faisait dans un espace à un nombre fini de dimensions (pour préciser, si ce nombre est /?, le groupe est à n dimensions ou à /i paramètres).