IV. — Corps de Galois dénombrables

24. Considérons un corps abélien C>i = C d'ordre N jouissant des propriétés suivantes : \° relativement à un premier mode décomposition que j'appellerai «r/r/fY/o/i et pour lequel j'emploierai la notation additive, C est un groupe additif K^^ K; 2" relativement à un second mode de composition que j'appellerai multiplication et pour lequel j'emploierai la notation multiplicative, C — o est un groupe tnultip/icatif M.ff=M., et l'on a, x, y étant quelconques dans C, o:p = a:o^o, d'où il résulte que, si xy'-=:-o., X ou j/- = o ; 3" la multiplication est distributive par rapport à l'addition.

Un tel corps est souvent appelé un champ. Les postulats qui le caractérisent sont évidemment indépendants. L'exemple des nombres rationnels montre qu'ils ne sont pas contradictoires ('). Proposons-nous de généraliser le champ des nombres rationnels en cherchant tous les champs d'ordre N^Cî. On se gardera dans ce qui suit de confondre les unités o et i de A et de M avec les nombres o et i qui figurent dans les exposants et les coefficients.

( ' ) Cf. Dickson, Transact. of tlie Am. Math. Soc. t. IV, p. ij-21 ; Huntington, ibid., p. 3i ( 1900 ).

28 cnM'iTRi-: 1.

25. Supposons (Vahord C;^ fini ('). L'ordre /) de x y^ o dans A. est le plus petit coefficient tel que px =^ o ou (à cause de la troisième propriété) /? I . ^ =; G ou (à cause de la seconde propriété) p 1 ■=^ o. rDonc tout élément de A. a l'ordre /? de i . p est premier, car si/? ^ qr [q ^ p)^ on aurait ^ (r i ) = o et /■ i serait d'ordre q. Ainsi A est abélien principal d'ordre N =;/?", p étant premier (14). Tout élément de A avant l'ordre yo, on pourra, en appliquant les règles du calcul ordinaire, prendre tous les coefficients mod p (-).

(') Cf. MooRE, A clouhly infinité systeni of simple groups (Congrès de Chicago, 1898); Dickson, Linear groups ( igm ).

(') Pour exprimer que l'on prend un nombre a à un multiple près d'un autre nombre /?, on dit qu'on le prend selon le module n. On écrit a mod n, et l'on omet souvent de mentionner le module <|uand il est suffisamment entendu. La notation /(^, y, ...) mod n signifie que /( j:, j^, ...) est un polynôme dont les coefficients sont des entiers mod n. Si a — 0 est multiple de n, on dit que a est congru à b selon le module n, et l'on écrit a^^b mod n. Avec les notations du texte, si a = 6 mod p, on a ai = 61 ; aussi pourra-t-on écrire = au lieu de s. La somme et le produit mod n de a et de b sont respectivement a -r- b tX. ab mod n. Résoudre "La^x-^:^ b mod n revieni à résoudi'e en nombres entiers Sa,\r,+ «y = 6, problème déjà rencontré (10).

Si l'on réunit tous les nombres a -h kn ( A= o, rh i, + 2, . . . ) en une classe que l'on peut appeler la classe a mod /j, il y a évidemment n classes distinctes. On peut représenter chaque classe par un quelconque de ses nombres : un système de représentants des n classes s'appelle un s)stènie de restes ou de nombres mod n.

£n composant les n classes par addition on a un g„ abélien -l.„. En composant par multiplication les ts(/ï) classes de nombres premiers à n on a un ^^^„\ abélien t)lL,j. L'ordre de la classe a dans ^lc„ s'appelle Vexposant auquel appartient a mod /?, ou simplement Vexposant de a mod n, ou même l'ordre de a mod n quand aucune confusion n'est à craindre. Si i^lc,, est cyclique, tout générateur de Olc^ est dit racine primitive de n. Cherchons dans quel cas -Oli.,, est cyclique en admettant, ce qui sera démontré tout à l'heure, que 0\L^ a .s (« — 1) racines primitives si n est premier. Observons pour cela que, si g"i = 1 -h hpi (/> premier, /i premier à/?, p=i), ou aura par récurrence ^ï'/'' = 1 -h p"'^''^'' {h x -\- kp) {x premier àp; -i] = o sauf si l'on a à la fois p = 2, p = 1. s ^ i auquel cas rj est l'exposant de la plus haute puissance de 2 divisant /i + i). En supposant que g est racine primitive de />"• et appartient à l'exposant y mod y?, cette formule montre que y = y^ — 1 et que par suite g est racine primitive de p. En supposant §• racine primitive de/» et y = /> — i, elle montre que g n'est pas racine primitive de />* si p > i ; que, pour 0 = 1 [si x;''"' = 1 mod /??, on a

( g -+- ^/^ )'' '' = I -^ hp'^ — A /)g~' mod p- ;

en faisant parcourir à )> o, i, . . ., y;'-'-^' — i sauf les />"•'- de ces nombres qui sont congrus mod p à o si 0 = i, à gh si p > 1, on voit qu'il y a entre o et p"-, pour chacune des<f{p — i) racines primitives de p comprises entre 0 et p, 9(^0""')

PREMIKKES DÉFINITIONS. CONSÉQUENCES. 29

C/," conlicudi-ii loujoiirs le groupe cyclique additif s =^ Hxi , .r paicouianl un .sjslèiiie de noiulji-es mod p. xi elyi étant deux élénieuls de .V, on aura (d'après la Iroisièine propriété) xi yi = j^n . Donc !<■> ('■h'ineuls de ,v — o forment un groupe inulti|)li('alif. Gela revient à dire (pie les coefficients r ^ o forment un groupe lorsqu'on les compose j)ar la multiplication mod p. Vinsi il y a un C^ et un seul (al)strait) que tout C^« doit contenir.

26. X étant quel<-onque dans Mp, xy parcourt Mp avec y. Donc Uxy = Uy; or Ury = xP~^ Uy; donc xP~* =z i , ou, si x est un nond)re mod/?, xP ^ x mod p. Ce tliéorème de Fermât suffit, on va le voir, pour assurer l'existence d'un C/v connue une conséquence logique du calcul des polynômes y (j:, y, . . .) mod p où il introduit la siiu|)lification fondamentale

f{x,y., ...)i>=f{xi',yf, ...) mod/? (cela résulte du développement de la puissance />"■""' d'une somme

racines primilives g de p pour lesquelles p — i, en tout ?( 'f (/>*))!, ^ est racine primitive do yt?*- quand /> > 2 ou /?"• = 4 ; enfin que si />"''= •j''> 4i i' "'y a pas déracines primitives. Revenons donc à la formule initiale en supposant/?* = 2" > 4 et Y = I : l'exposant e uu(|uel appartient g est 2''-^i"î si a — Tj — p=i et 2 si a — r, — p ^ I. Le maximum de e est 2*-- pour t, = p = i ou pour p = 2, t, = o (si a = 3, ce maximum 2 est l'unique valeur de e). Donc r)|L.^a n'est jamais cyclique si a ^3, mais admet une base de deux éléments : l'un o'^, d'ordre 2*"'- aura, si a > 3, la forme 8rt±3, l'autre ^(d'ordre 2 la forme rt i -)- a"-^' /, / étant entier et a^ 3 (on doit avoir pour g^, ou bien t, ^a — 2, p = i , ou bien, 0 =: a — i) 0 = o); de plus gi doit être ^ §"u*~^ c'est-à-dire i,'', ^ g^^s\ a. = 3 et, si a > 3, ^, ^ i -j-a^-'A' {k impair), donc g^^^ — 1 -h -'/■'■~' / ( / entier). On peut prendre par exemple (a = 3)g-„= 3, gi — —i, ou g^---^ 5, 5-, = — I.

Soit alors n = il\P^' les /?, étant premiers distincts et /?, = 2 (a, ^o). Si a; est premier à n, on aura x ^^ g .' mod />*' (7-2), x = g^^" g'^'- mod 2«i, or. étant racine primitive de/?"/ (y - > ) et o-^, g^ une base de .')|'l„«|. A chaque x répond un seul point (j;,,, ..., x.^) et réciproquement, car les congruences précédentes n'ont évidemment ciu'une solution et, si l'on pose g'ji^^j {j ^'2), ^ô''»"î'= ?n 17^.:= /t/?7"', TTj- = ir~ mod/?"', le nombre s'j tt.tTj ?; les vérifie. Donc g^^, — , g^ si aj> o, ou g-„, . . ., o-^ si a, = o est une base de Ole,,. L'ordre e àe x dans OlL,, étant le p. p. c. m. de ses ordres dans les Oit ". divise le p. p. c. m. des 'f (/?"').

Pour que e = »(«)= n» ( /?"'^>, if faut que les '■?(/?"') soient premiers entre eux, donc que v ^i 2 et c|ue si v = 2, a, soit î^i. Si d'ailleurs n^2p'^^, g^ d'ordre » (/?"2) =:; es ( « ) est racine primitive. Il y a donc des racines primitive-) de n toujours et seulement si n = 2, 4» /?', 2/j* {p premier impair).

et de ce que tout cocffîcienl a de /"vérifie aP ^ a mod/j), cette congruence devenant d'ailleurs une égalité si les coefficients de f sont, non des nombres mod/?, mais des éléments de C^,.

Puisque nous connaissons un C^^ contenu dans tout C^», admettons l'existence d'un C,x('^^/'^)2 contenu dans lout C,j", et cherchons à construire un Gtï».

Je dirai qu'un polynôme f{x,y, ... ), à coefficients dans G, est un polynôme de ©, ou contenu dans S, ou appartenant à G et l'on aura toujours

J^ étant un élément du Cti", les éléments l^''' (i'r= o, i , . . . , /i — i), et de même les polynômes '-p(^, . • •- J', "Q^') {'•^(^i y, . . ., w) étant un polynôme de G ) seront dits conjugués dans le C,t" relativement à B. Deux polynômes identiques dans G sont par définition deux polynômes ayant les mêmes coefficients correspondants. En vertu des propriétés de G on pourra appliquer aux polynômes les règles du calcul ordinaire, et notamment la théorie de la divisibilité. Ainsi, un polynôme y"(.r,j^, ...)de G sera dit irréductible dans G s'il n'est pas le produit de polynômes de degré moindre, et un polynôme quelconque de C n'est décomposable que d'une manière en un produit de polynômes irréductibles. J'écrirai pr.ti ou pr pour polynôme de G à une variable, irréductible, de degré r.

La dérivée f'{x) =/^^' (x) d'un polynôme /{x) = l'^UiiX^ de G se définit comme le coefficient de li dans le développement de f[x-\-h), suivant les puissances de h; /' (x) = ^'" ia(X'~^ . La dérivée /'P^(^) de /<P"~'^(:t) est la o'"'""' dérivée de /(x). Un voit

que "^ j — ^ = Fp a toujours un sens pour p^o(Fo=,/) et que

f[x -\- A)= Sly'APFp. Si les exposants de x dans/" sont ^ o mod/?, f est identiquement nulle. Soit alors /?^:= ti et Jix) = !SyC/ic'/'; f{x) = C^l'^c] x^)P. On peut donc, dans la recherche des facteurs multiples de /, se borner au cas où /' n'est pas identiquement nulle.

Siy est irréductible, / est évidemment premier à f, qui est de degré moindre.

Soity"= g^h, g ei h étant deux polynômes de G premiers entre eux et g irréductible ; f'^ ^t. g^~ * g' h + g^- h' . Le p. g. c. d. de

PREMIÈRES DÉFINITIONS. CONSÉQUENCES. 3l

/■=! Do et (le /' (supposée non identiquemenl nulle) est «!^~' ou ^i^, selon que ij. esL ^ o ou ^ o modp. So'il J = n„ ^j?/, ^S, étant le produit des facteurs irréductibles entrant dans /" à une puissance d'exposant ^i modp; 1*/ le produit des facteurs simples de ^i\-; D, le p. g. c. d. de D/,, D^ , , le coefficient de la plus liaule puissance de x dans les D, les ^J^ et les P étant réduits à i. On aura D,, D7' = H^Py; d'où les P, et ^i'o par des divisions, et l'on a vu la manière de traiter ^X\.

En remplaçant/? paru" dans la démonstration du théorème de Fermai, on voit que ioul élément du C^" annule x'^"' — x qui n'a aucun fadeur multiple à coefficients dans Q (la dérivée est — i).

27. Soient /(j^) = ^0 ^''■*'' iiii/»/-,7iel i nn élément assujetti aux règles ordinaires du calcul et à la condition y (^) = o. Le système des éléments distincts jk(ç) = Sg"' a/ i'", a,- variant dans G forme un C^r. Car l'addition et la multiplication y sont associatives et commutatives. De plus a et b étant deux éléments du système, a -^- y = b a toujours une solution (donc une seule (8)) dans le système, et de même ay^b si ab y^ o, puisqu'on sait trouver deux polynômes en ç de 3, A de degré ■</' et B tels que AaH-By"=i, d'où j^ = A 6. Enfin, par hypothèse, la multiplication est dislributive par rapport à Taddition. Je dirai que le 0,^' e^(i) = 3''(i) ainsi formé est défini relativement à B par ^ (ou par f[x) on par f{x) = o) et c/ae r est le degré de ce C-^,'- [ou de i) } elatlvement à Q.

Puisque /(H) = o, on a, ([uel que soit 5, o := /'(i)^' =y'(^'^') et ;, q'^, ..., q'^'" sont distincts, car de ç^^ = ^'^'(p < cr < /•) on âédmty{l)^^ = y{^'^^) = y{^-^'') =y(i)'^'et j?^^ — ^^' aurait les tï'' racinesy (i), tandis qu'un polynôme de 3''(i) ne peut avoir dans G'"(^) un nombre de racines supérieures à son degré. Ainsi, f{x) a, dans S'"(i), les /■ racines i, ^^, ..., ç'^'"' et l'on voit que, si l'^' = ^, il faut 5^/-. D'ailleurs, ç étant dans ©''(ç), on a i^'' = ^. Donc ç| et de même i^' annule tous les x'^' — ^ où 5 ^ o modr et ceux-là seulement. Doncy'(x) divise ceux-là et ceux-là seulement. Donc x"^" — x est le produit de tous les pr^n oii r divise /i, pris chacun une seule fois.

En désignant par &it(<:/) le nombre des p,/,Tî, on aura, d'après ce

31 CHAl'ITUK I.

théorème, rJ' = S;;V/9„(^/\ d'où (\[)nH^Jn) = S;;' b^-'U/ZcI' = n). Ce nombre, de la forjne t." -\- A {k ^ o modîû"), ne pouvant èlre nul, 0„(«) est >-o( ' ). Il y a donc des polynômes irréductibles dans £, de tous les dcL^rés.

Les t:" éléments d'un C^;" annulant j?'^" — .r. ce C,;" aura, en particulier, un élément \ annulant un p^^^c et coïncidera avec le Ct;, £'^(^), défini par \. 11 n'y a donc qu'un C7-" (abstrait). Ct^" se nomme corps de Galois ou corps galoisien, ou corps normal fini, et ses éléments les imaginaires de Galois.

i28. G,t" n'a qu'un Ct^, car si ; définit 0^" relativement à © et si 7, = S'y ' a/q' est dans un C^, les a, étant dans 8, l'équation Sy~ ' a.ix'- = Yj aura, puisque r,'^ = /; , les n racines q'^' (s = o, ...,/? — 1 ) et se réduit à une identité. Si C,^" contient un Ct^'-, C7;' contenant © a un élément ; racine d'un p/,,:, g{x); g{oc) devant divisera?"" — x^ r divise n\ inversement, si /• divise /?, toute racine d'un p,-^^ définit un 0,^' de Ctj».

Ctî" ne contient cju'un d^^r. Car soient ç, r,, ^ des éléments de Cti" annulant respectivement les polynômes irréductibles dans C^ f{x) de degré /i, g{x) et ki^x) de degré /•. r, et ^ auront les formes S„~' a/;', S'^p' ^iV-, les a/, jîi/ étant dans C„, et en éliminant ^, ..., i"~' entre les expressions de 'C^, y^, y,-, ... r/'"', on aura ^ = S'y"' y//,', les y/ étant dans Ctj, y/', .... y," se réduisant à leurs restes par g{'f[). Donc, jj./ parcourant C„, les éléments S^"' [a,-^' coïncident avec les !S[~' 'j./r,( -). Je dirai que C^' est un diviseur de Cti". Il est clair que tout diviseur de C7,:" divise tous les diviseurs de C,^" dont l'ordre est au moins égal au sien.

29. On voit que les coefficients d'un polynôme y'(j7, jk, •••, -•) de Cc7(^ = 7i") sont exprimables en polynômes de degré // — i en ^, 0 étant un élément définissant C^ relativement à C^^ (même s'ils sont tous contenus dans un diviseur de C^ d'ordre ■<^TiT);yest

(') Kn développanl cliaque puissance de x suivant les puissances de logi:, on

trouve que /i6{/t) est compris entre i:" — tï et -^ (~" — ").

(-) On va voir d'ailleurs que M." est cyclique, et un groupe cyclique d'ordre N ne contient qu'un groupe de chacun des ordres divisant N (51).

l'ItKMIliUES DÉ l' INITIONS. CONSKQUKNCES. 33

doue II 11 |)()l\ uoiiie -^(x, ;)', ..., ;, 0) tie C^ e t y"^' = ;p (x'^' , ..., C^', O'^'). Supposons <pie /^y'( a?) = cp(x, 0) ne reiilcriiif (pi'iine variable et ail les racines ;, ;^, . . ., i^'^"', sou conjugué 'i(j^-, 6"^') dans 0^, rclaliveinent à C„, aura les racines ;^', ^'^'^, ..., i"^'^'"', car cs(q'^', 0'^') = 'f (;, 0')^'. Soienl 'C, s^, . . ., "C'^""' des éléments de 0,^" conjugués n'lali\eiiieiil à C,^. 'J'oute fonction sjiuélri(pie des ^^' à coefficients dans Cti, vériliant .r^ = .x-, est dans Ct^ et les ^'^' sont les racines d'un polynôme /'(^) de 0,^. Mais si u définit le C^'- de Cr,"{fi = />■/■)? ./ï-^) est évidemment de la forme 's{x-y, 'f (•^O étant un p,,TT. io, ç,, ..., q,i-\ étant dans Cti", le déterminant A des qj^ (/, y = o, ...,/*! — i) s'annule avec S^J"' «/ç, cjuels que soient les c// (non tous nuls; le premier «/^ o sera supposé égal à i) dans C^;. A est donc diNisible par chacune des IS'^'u' formes de cette sorte, et, par suite, égal à leur produit. C'est une généralisation du théorème de Fermât ( ' ).

30. Soit ; un élément de 0,^" annulant le p,-^i-/(x), e l'ordre de i, et, par suite, de ç"^' dans M,». On dit que ç et de même J\x) ou f{x) = o apparfiennent à l'exposant e, que e est l'exposant (ou, lorsque aucune confusion n'est à craindre, Vordre) de ç, de f{x) ou de f{x) = o dans C,;", et j'écrirai p^^,; ou p^, ou p^, pour P/-.TI d'exposant e. e est le plus petit nombre tel que x^ — i soit divisible par J\x). Si -^ ^ i mode, q vérifie x'^'^x; donc .S' ^ o mod /', et /• est le plus petit nombre, tel que tt'" ^ i mode, car si ttP^i mode et p = a", ç annule x"^' — x. On dit que e est diviseur propre de rS — i. Soit '^{d) le nombre des éléments de C,j" ap|)arlenant au diviseur d de tz" — i. Tous ceux appartenant aux diviseurs d d'un diviseur e de tt" — i vérifient x*^ — i , et le nombre des racines de x^ — i, qui sont toutes dans C,t" est 5]^J'|(r/) = e, d parcourant les diviseurs de e, y compris i et e. Donc <|^(e) ^Ii'^ e(/'d[dd' = e) = o(e). Il y a donc, dans Cn", ^(e) éléments d'exposant e qui sont les racines primitives de x*:= i

(') Cf. iMoOKE, 5. j\i. A/n., l. II, p. 189(1891). On trouve dii-ecteiiieiiL, pour le développement de A, S'j' ( — i )"('-') A^'l^'"', A,, étant le coefficient de ?o"~'- Une décomposition analogue indiquée par Mathieu {J. M., p. 275; 1S61) est celle qu'on obtient en remplaçant dans l'identité x'^- ^ x = XI- { x — \) , \ parcourant C^, x par — o~' (C-r;"', ~ étant dans C'i : le premier membre se réduit à {^xY'" — ^x. S. 3

(ou de x" — 1 ) el ^—^ \fr,r.- Le* racines j)riniilives de j:'^"^' = i sont

dites racines primitives ou éléments primitifs <:/<^ C^" ou de M^' el les pî^'^' sont dils primitifs. M^" est donc cyclique et engendré

par un quelconque «' des éléments primitifs; if '' parcourt les e racines de x^ — i si A parcourt i, . . ., e, et les »(e) racines primitives si A' parcourt les o(e) nombres premiers à e et << e.

31. X étant quelconque dans Mtj", le nombre i mod tJ' — i défini par ^'^ =: ^ se nomme V indice de x dans Cti" et se désigne par ind^. Il est clair que indxy ^ 'n\Ax -h indjK mod-n" — i . Soit y.V le produit des facteurs irréductibles de x*^ — i , e divisant tc" — i , qui appartiennent au diviseur c^ de e ; on aura, en désignant par n',! un produit où x parcourt tous les diviseurs de y, y compris I et j', x^ — I := 11^*^9?,/, d'où, en assujettissant x à rester dans G,!" et en prenant d'abord les indices des deux membres, ind^e = -^^£./ind(^'''— i)(^^'=e)ou a'^= D^ (^r*^'— i)=.^ et l'égalité ayant lieu quel que soit x dans Ctj" est identique, y.^^ est de degré «(e). Si donc e est diviseur propre de tc'" — i, tout élément d'ordre e de d.^r étant de degré /■, ^^e qui n'a pas de facteurs

multiples est le produit des - — - p^,7t. Donc 9?^ ast^ irréductible

dans C„ toujours et seulement si tt est racine primitive de e ( * ).

32. Soient Çç (a- = 1 , a, . . . ) un élément définissant de 0,1"^, n le p. p. c. m. des n^ et rn ^ t:" ; Cnj contient tous les \q et tout C^'" qui les contient contient 0^. Un polynôme F(a^) dont les coefficients sont des polynômes en ^,, ço, ... à coefficients dans 0,^ est donc un polynôme de Cny

Soit /'(a?) = n/yi(^)^, fi étant un p., ,. distinct de//( pour i y^ k. Si V(^ , . . . , v^^ sont les seuls v/ (jui divisent /i, il y aura exactement i'v,,^ racines distinctes de /'dans C^". Soient par exemple y uny>v,7i:?

(') Si e a une racine primitive p, c'est-à-dire ('25) si e est l'une des formes 4t q^, 2^P, q étant premier impair, on peut toujours trouver un nombre premier /> = p mode; Dirichlet a, en efl'et, démontré que, si a est premier à b, la classe a mode contient une infinité de nombres premiers {voir Ch.-J. de la Vallek- PoussiN, A. S. B., 1896, p. 342-350, 395-397). 'I^^, irréductible dans C , l'est a fortiori algébriquement.

PREMIÈRES DÉFINITIONS. CONSÉQl EXCES. 35

0 le |). ^. 0. d. (le v = ov', n = o//.', 7î°= ttt e[ J = UiZ)i[x), es/ (;UinL un |),^ „ (lislinct de '-pA pt'ur /^ A". Les racines de 'fi{-T) élaiiL (si .x est Tune (Telles) ,r, ^•'^, ..., .r^'' ', on a Vj=v' en sorte que /".ç^? déconiposr en o /'v',ra <'onjHp;aés dans C^ lelaliveinent à (^i^; v' ('lanl piciiiier à //, 'i, r.s/ irn'dnctihlc (ht us Cj^"'=:Cv,. Soit, encore y (j;) =: J7'' — ^/, « étant dans 0,^, i,»" une racine primitive de C,t et a ^=^ g'^'. /'{jt: ) sera résoluble dans C„ toujours et seulement si l'on peut trouver un entier y tel C[ue x = gy^ ry ^ b modTr — i , c'est-à-dire si le p. s;,, c. d. o de r = po et de tt — i :^ nio divise 6 = 1^0. Vlors, V étant solution de p;; ^ ^ inod/?i, on aura y ^'Ç-^ 'knt Çk ^ o, I , . . . , 0 — 1 ) ; les 0 racines correspondantes dey'sonl les /v/cf/ics /"''«f"^ tie </ dans C^ et «^/ est un ?'esfe ou résidu de puissance /"'""^ ou simplement une /xiissance /■"'"««. Si o ne divise pas />, « est un non reste ou un //o/i résidu de puissance r^^""'.

En particulier, si ;•:=•>,, /^/ sera un reste ou un non reste f/uadratique (un carré ou un non carré). Si alors p est >> 3, - — I est pair =; aM et il y a AI caiTes ^ o : ce sont les g^ où b est pair ^ ;i|ii. Les racines carrées de g'' sont g^ et i,'P+^'=z= — g^ (o = «•'^"' — I =(,i,'-*'+ i) (,;'-^'— I )). Si /> = :>., il y a -— i carrés ^ o. L'élément ,:^' est égal à + i , à — i ou à o selon que z est carré, non carré ou nul et se nomme le caractère quadra-

lique de :; (quand ti = /v, on le représente par ( - ) )•

Si a n'est pas puissance /•"'"'^ dans C„, pour qu'il le soit dans 0,^",

il faut et suffît, g étant primitif dans C^», donc g'^ (^ ^^ )

dans C,r, que l'on puisse résoudre ry --^ ib mod ti" — i (« = o'^*), c'est-à-dire que a-6 soit divisible par le p. g. c. d. de /■ et de t:" — i . En particulier, si /• = 2 et si/» est impair, cela aura lieu toujours et seulement pour n pair, car o-^ n mod 2.

33. Pour faire une application considérons (^7;;. jTout élément définissant ; de C^- annule un des :t('^" — '^) P2,7i dont l'autre racine est ç'^. Si donc ç est racine de .r'^+' — i, ce {y-i^-n a la forme x"^ -\- ax -h I ^ P« et réciproquement, en réduisant à i le premier coefficient. I^e nombre des P^ est donc la moitié de celui v des racines yP(Y étant d'ordre - 4- i) de x'^+' — i qui sont hors de Cj^. Or, si yP est dans C^t, c'est-à-dire annule x'^~^ — i, p est

36 ciiAiMTiu: 1.

coni;r(i niod- -h i à o ou à :^(7: +- i) si — csl impair, i"i o si — ^ 'i"^] a priori (railleurs les rP de C^c annulent le |). i;. e. d. de .r"^"^' — i et de ^'^~' — 1 , lequel est x- — i si t: est impair et x — i si —^ a*. Donc V = 77 — 1 si 7w est impair, tî si t: = y^.

34-. Soient ^/,, ..., (t,- r éléments tie 0,^" (/•'£/?) indépendants relativement à C,;. e'est-à-dire tels <pi'il n'y ait entre eu\ aucune relation delà forme i]', Â/cy,= o où les A/ soient dans C,^ sans être tous nuls (donc chaque ai est ^ o). Les tz'" éléments I!' ciiXi ( (diaque Xi parcourant G^), qui ne sont pas nécessairement daus (^7;-, forment du moins un groupe additif dhélicn piiiicipai .c/,,. . ., (ir\r. dont a^,. . ., a,- est une base galoisienne et /• le ra/ig gftloisieii relaliveuient à C^x (pour 7r=/> ce sont la base et le rang ordinaires).

Le nombre N'^]^|,. de ces groupes dans Gtt" est \\'~^ --^, __.- Car </,

peut être |)ris de -" — 1 manières, puis a., hors de \a^ [^^ de 7:" — 7: manières, etc.; d'où njî"' (7:" — tJ) groupes; mais chaque {«,,..., «,J,j est ainsi répété \\'[~^{-'' — tt') fois, car on peut y prendre «1 de tî' — 1 manières, puis a-^ iiors de \a\\^ de tJ' — Tî manières, etc. En posant IIJ(7:' — 1 ) r= ttj, , on \oil que

A chaque )«,,..., a,. j^^^ \ est lié un G„ dit nndliplicaleur de \ formé des éléments u. tels c|ue jij.«(,..., \i.ai\-R^^ A; il est clair, en eftet, que si y. et u! sont deux pareils multiplicateurs de A, jjLjj.' et [j. 4- \jJ seront aussi des multiplicateurs de A. Soit G„<r un corps contenu dans C,^-. Prenons b^ quelconque dans A, puis b: dans \ hors de \^)^ ;^' (qui est dans \ par hy|)0thèse) puis b-^ dans A hors de ; 6,, b^ Jn'^, etc. On aura iinalement -V^z j 6|, ..., bç\^'' et pa-=/'. On voit que a divise r et que le nombre iNl^o") des groupes additifs de rang galoisien r relativement à Cj^ dont

h; corps midtiplicateur contient G^t-^ est N,/ ,. . Or, si ^0(5) est le

nombre des groupes additifs de rang galoisien r relativement à Gît rpii ont Gt^* pour corps multiplicateur^ on a é\idemmenl,

pour tout diviseur d de .v, iN ( -^ j ^%f ^X^y ^ 1- D'où ou, si s ^ <7(f .)b(a-)= ^5'£g^ (^^)-

l'IlKMIÈUICS DKllMTIONS. CO.NSKQl ENCKS. 87

3o. Soit /'(j;)= S" rt,\2" '(<'/(,= 0 mi [joljnoine ([iielc()n(|U(' de C^, (le raeiuesi,, ..., ç«. L'égalité ^'[f{x){x — i/)~' =/(.x-) qui se véri(îc direcleiiKMit, d'après les relations entre les eoefllcients et les raeines, lor-sipron y reinpiaee /"(a?) par n','(.r — ^/), donne, en développant eliacpie IVaclion du premier membre et en identifiant, les n — I pi'cinirres des (onmdes

, .9p -H « I .Vp - 1 -)- . . . -1- rtp i s I -+- p rtp = O, 0 — \ , . . . , Il — I ,

(1)' Sp-(- rti5p i -I-. . .-I- rtp i;fp„+l H-rt,j5p„.= O, 0=11.

Ap : ^ Ç,-, .S,) flj

dues à New Ion : les é(pialions de la seconde liyiie ne sont <pie les identités '!^iq'!''"/{qi)^ o. Chacune des équations (i) contenant une nouvelle 5p, le système des /.' premières est résoluble par rap|)ort aux ,Çp quel que soit A" et fournit a priori Sp sous la forme d'un polynôme entier en c/,, ..., «p à coefficients entiers. On véi'ide directement sans diflicidté (pie les k é((uations sont satisfaites [)ar

{■X) Si, = y TTV"! r~\ ■ -^ 1 • • • "'' ( /^" > O' » ■ = I )>

la sommation s'étendant aux systèmes de valeurs des À/ ^ o qui satisfont à ïi',' ^'À,= A\ Pour n =^ i on obtient, en faisant À|= u., \., = /,• — 2 |j., <ix=^ — rt, r/^ = b^

El-j étant le plus grantl entier "S-- Les sommes des puissances

négatives des ç^ se calculent en opérant sur x"/(~-j comme sury(j7).

Le système E des n premières est de même résoluble algébrif/(iement par rapport aux a^. En multipliant la p'^'"^ par (p — i)! (p = I , . . . , /î) on \oit (pie ^la,^ est un polynôme en 5,, ... , .Sp à coefficients entiers, et l'on vérifie directement comme tout à l'heure que la solution est

la sommation s'étendant aux systèmes de valeurs des X,^o, qui satisfont à S^/}./= k. Les formules (a) et ('.)) sont dues à Waring.

38 CHAPITRK 1.

Dans G;t E est encore résoluble si n </>. Mais, quel que soit /?, les p — 1 premières cqiialions de E sont résolubles par rap|)orl à a,, ... , ap^ au moyen de (3), et si l'on substitue à a,, ... , a,,i dans la/?"'"'" leurs valeurs (3), celle-ci équivaut en vertu des/? — i pnMuières, à (3) où Ton fait k=p. Or, pour Â=/v, les seuls termes du second membre de (3) où le coefficient numérique n'a pas le facteur p sont — s'^ et — (/y — i ) ! a-^ ; ils se détruisent mod p l)uisque ^f — ,v , et que {p — i)! produit des racines de a;/' ' — i dans G,! est é^al à — i. Donc la y/ •"« équation de E résulte des autres dans C„ et laisse ap indéterminé, \insi, pour n^ip^ les ip — I premières équations (i) déterminent successivement les «p où p est premier à /?, cip restant indéterminé.

Or, dans le système E„,^ des inp premières équations [mp^n) rendues homogènes, les éléments appartenant aux lignes et colonnes de rang A/? -+- i , ..., hj) -^ p (^mp) dans le déterminant des coefficients sont indépendants de hvaoàp. Donc le déterminant de E,„p est une puissance de celui de E^ et chaque /??/?''""" équation résulte des précédentes. E est donc toujours compatible dans C^el permet d'exprimer les rtp en fonction àe% a„ip qui restent indéterminés; «,, . . ., ap\ seuls sont entièrement déterminés.

36. Une fonction symétrique entière a des ^/ de [degré Ci en ç, est un polynôme de degré C| en «,, ..., Oi,- Soit en eflet Oz ce que devient o lorsqu'on y fait ^i = z9"~' (q entier >- c, ). Ecrivons tous les exposants de z dans le système de base q. Chacun aura n chifiVes au plus et si c, Co.-.C// est l'écriture du plus fort, Ci sera > c/^.i puisque, a étant symétrique, les exposants répondant aux permutations des c,- y figurent tous. Ainsi, pour o = a^,j c, =. . .= C(j,=: 1 , c,j.+, =...= c„=o. Pour C3 = n'/af, c^,= ^Xi, d'où Xi^Ci — c,|i. Donc, es étant donnée, on pourra, dans cp — A' n, «''"'''+'= 'i;, choisir k de manière à annuler le premier terme de '^z- Alors, m étant le degi^^ de Oz, celui de 'hz sera << m et, si l'on suppose le théorème vrai pour les jonctions cp telles que Oz soit de degré << m (il est évident si /;? = o). il le sera généralement.

37. Le principal problème dans l'étude des C„ est de former les j)„ t; et en |)articulier les p„ ^^ primitifs. Lhie solution obvie est

l'KKMiÈRES DÉFINITIONS. CONSÉQUENCES. 89

de former successivement tous les j)()ljnoines de degré i, a, ..., // de G,t et d'exclure pour chac[ue degré les produits de polynômes irréductibles déjà ()l)tenus. On obtient ainsi pour Co^ les polynômes irréductibles

Lne aulre solution obvie consiste à exprimer qu'un polynôme de degré n à coetlicienls indéterminés dans Cjt divise le produit des polynômes irréductibles appartenant à un exposant e diviseur propre de t." — i (31).

Un procédé de tâtonnement parfois avantageux consiste à prendre un polynôme simple y(.r) de degré n sans terme constant (par exemple x'^±x). Si, quand x parcourt les G;^'- où /• est ^4-/i, f{^) ne devient jamais égal à un certain élément a de 0,^, f{x) — a est certainement un p^^,!. On trouve ainsi que x^ -\-x -\-^ est un pijy,';)*'' el x'-^ -{- x -\- '^ un p3,i7 primitif.

On remarquera encore qu'en décomposant n en facteurs premiers on se trouve toujours ramené au problème de former des py,Tt.

Voici tl'ailleurs cjuelques théorèmes généraux :

38. Soit f{x) un p,^^^^ de racines ^■^' (/=o, ..., ii — i) et j)/- = 'i • y , 'l et y étant deux polynômes en x de Ctc et y premier à f. On peut trouver deux polynômes de C^j, ^{x) de degré n — i et V(j?), tels c[ue f)y -h Ay= <h : les éc[uations /'= o, y = 'i> : y équivalent donc à / = o, y = 6, système dont les solutions sont j; = ^^', yz=H'^\q). Soit 6'^''(ç) 1= Ô(;), v étant pris minimum et n = [^v. Le pv,„ '^{y) =n\y — H^' i^)) (y = o, . . ., v — i) peut être formé directement. Mais on peut encore éliminer i, ic, . . .,x'' entre o = /(^r) et jk'^= G* (A = i , . . ., n), 0^ étant réduit à son reste par y", d'où une équation ^{y) = o de degré /i : y, étant une quelconque de ses racines, on peut trouver x vérifiant /::= o, r,*=8*; donc y, annule '^, et <ï> = oH-. 'S'(y) est dit transformé de f{x) par la transformation ^ = -^ ; y dite de Tcliirnhausen.

40 CIIAI'lTIil". I.

39 (' ). Soit, dans Ct^k (^r.=p^), K ('lant assez i;i-aii(l, )- un élément d'oidre v, x une racine du p;',^ /{■^) (^ c-^f- donc dklseur pfopre de -" — i =z ed) et y'^' = .x, d'où y'-^^i; soit p une racine primitive de p^<'i= i et y = p''^, x^ o^'? (; premier à <?). Yj sera e^ \ mod e, et si j^ = p^+'''", v est le plus petit entier tel que v(^-|-eA?r) soit divisible par \e. Or soit e' le produit des facteurs premiers de \ qui entrent dans e. ç étant premier à <?, donc à ee' ^ v sera de la forme 'h^ee' et dixisera Àe ^ Ov, 0 étant premier à e. Si v est diviseur propre de tz' — i, z est de la forme v/«, car si ; ::= w/^ + ^' (o ^ 7* < /«), e divisant tt^ — i et TZ'" — 1 divise leur difïerence r^^" {r/ ■ — i), d'où a" = o.

Ainsi les racines de f{y'^) apj)artiennent à des exposants v de

la forme \^^ee' divisant \e^ — étant premier à e. On ne peut

afiîrmer que ces exposants soient égaux; mais si K divise ûf,

toutes les racines de /(j'^') sont de degré n relativement à Cti;

si e contient tous les facteurs premiers de -" — i et si A = d^

de toute racine y de /{y^^) est j>}imiti\e dans C^t", car^ — devant

être premier à e, v doit ici être égal à de.

Si K ne contient que des facteurs premiers de e, on a A = e', V = 'ke\ toute racine de f(y^') est cV ordre \e ('f f{y^') se décompose e/i. jAf,^. Soit alors o le p. g. c. d. de k = oV et de ^/= ùd' ; ^ = )/ sauf si l'on a à la fois V ^^ o mod 4 ('i tJ' ^ — i mod 4 ; si l'on a à la fois tJ'^^^.'-'z — i, a' =2^ a- (f, y'^ 2 ; cr, t impairs).,

^ :=^ —j—iy k étant le plus petit des deux nombres i, j (-). Dans

le premier cas, f[}^') se décompose en 0 facteurs irréductibles,

(•) Cf. Pellet, s. m., t. XVII, p. i56 (1889).

,„. ^ T^'' I U Tt'" I ., ,. . 11''" I

(-) Comme — :: = -^ > A divise Ur soit ci un tucleur pre-

micr enlraiit dans a' à la puissance y el -"= i -h /t</? (A ()ieniier à y, p:i). On aura ('25) ir"-^'/' = i + ^'+f+'^^(/i.r-r Av/ ) {x premier à ?/; r, = o sauf si l'on a à la fois ^ = -2, p = 1, 54', auquel cas t, est la plus haute puissance de 2 divisant Il -Hi). Donc Ç sera divisible par i]i sauf si l'on a à la fois (/ -— 2 et -" = i H- 2 /t. Soil alors 1:"= 2't — i (j^2), d'où /i = 2'-'T — 1. Il faudra, si 2' est la plus haute puissance de 2 divisant Ç, que 5 + t = / + 1 . Donc, si y^ /, s = j — t -t- i ; SI cj>J,s=i; en toute liypothèse, 5 =y — â -f-i, A' étant le plus petit des deux nombres i,j. {Cf. Sekuet, algèbre supérieure, t. II, Ch. III.)

l'RKMIIvRKS DKFIMTIOXS. cnNSi:OtllîN<;KÏ^- -M

(hinx le second c/is en ■>/~'o. fin supposant A preniiei- à r/, on

■.11 ■ 1 oCke) o(e) -ïr , 7 7,

voit fine, dans le nreinier cas, il y a. -~ = p''^, et dans le

second J-^oJ^-^. Si donc les p- sont fi{x)li= i , ..., 2^;./, =/).

les J'i[x^) seront dans le premier cas tous les />"'[ dans le second cas chatpie fi{.x?-) se décompose en o.^~^ p^^' qui so/it tous les p'^.

Pour n = I et ). /trémie/- à. d par exemple, les J i sont les binômes x — A'^'", v; étant primitif dans Ci^ et a parcourant les '^{e) nombres premiers à e et <^e [du est premier à a). Donc, en exceptant le cas où. Von a à la fois t: 4- i ;^ À ^ o niod 4? les binômes x^- — g'^'^ sont tous les p^''. En donnant à A, e toutes leurs valeurs on a là tous les binômes irréductibles de C71, car, si x^ — g'^ est irréductible, il faut ('n ideniment que \ soit premier à /; (Tailleurs tout facteur premier </ de X dnise 7: — 1 sans quoi (/ aurait uu in\erse -y' uiod 7r — 1, if''/' annulerait xt — «"' et,

x — iJ^'i' divisant ./■'/ — '»', x'i — li'^^i' diviserait x^ — "'; on obtiendra donc x'^ — - g^ en prenant pour d le p. g. c. d. de t^ du et de TT — I = de.

Si - = 2'-: — I (/^ 2, -7 impair) et X ^ o mod 4, tout binôme est réductible d'après ce ipii précède. Pour trouver des px cherchons les >/~' fact(;urs irréductibles de X'~' '^ — p'^" (on pourra supposer que A est seulement |)air) ou, puisque du -\- ^.{'r^ — 1) étant pair est de la forme 2'rt-i-(— — i)b [a^ b entiers) (lU), de x^'''' -f- p'". Considérons l'équation ;'-=^^ + i. Soient 00, — to~' ses racines; ç^- une racine de to-'~' + to~-'~' = E(i), poljnome entier en ç de degré 2'^' (36) (on peut le xérifier directement puisque to = ^ ( q zb \/^--\- 4 )) j Wcune racine de w^ — co7'=:ç^. E(;) étant le produit des expressions oj — w~^ — (wj — wj'), on aura lof +1 = 0, d'où ojf ^' H- i = o. Donc

^J' =z ( w^. — (.07 ' )'^ = co'^ — IM~~ = — 007 ' -H W.V = is--

Donc Ç5 est dans C^ et l'identité to''"' -t- co"^'"' = FI^'"' (ç — ;,,) donne, pour (o = X- i,'""*, les i''~^ facteurs irréductibles

de û;"^'"' '• 4- o""".

Onobser\ora que, si <?( est l'ordre du produit .T) :=^x'''> ( A,

i: — I e, di\ise - — \\ des raeines de f(x)^ l'ordre e àe x est de la

forme -^^ ^i premier à e, (Comme 0 l'était toul à l'heure à e)

divisant X^. en sorte que d est de la forme 0,. Si donc

\ divise <?,, .so/? p. <^\ c. d. avec d est le même au avec

' ■ ^ ei

Soit, par exemple, x', = — i, donc e, := 2 : J\x-) sera irréductible

SI — ^ — est impair; si de plus n est pair, le produit des racines

de /"(.r-) est encore — i elfi^x-^) est irréductible quel que soit fj. On voit aussi cjue /{x) ne peut être primitif que si x^ V est

dans Ct^ et si - = v est cV ordre ^^—^i t étant le p. <j . c. d.

de Xi — I et de e^^n — 1 . Ces deux conditions suffisent si n est ^ 1 mod-Tt — I, car Â, cjui est ^/imod- — 1 est alors premier à 7t • — 1 , et ^ = 77 — 1 , en sorte que x = vx^ est d'ordre ti" — i .

40. Soit 3 une racine de z-P — z=-x^ ^annulant le ^,i.^f{x)^x. On a par récurrence, en posant 5/t(^) = ]Sy~'.r/'', Sna.=^s, zp'' = z -{- s /, . Donc zP — z s'annule avec s/{. Or 5^ — Sfi= xP'' -^ x. Donc de 5/;= o on déduit Â" = h/ta (^tz = p^) et, puisque ^^"''= x, s/i,ta.=^ 1^^- Si p. est la première valeur de h telle que g'^"'= ^, z est de degré [Ji/i. Si 5 = o, (j. est égal à 1, ^ est de degré 7i et f{zP — s) = F(2) se décompose ei\p p,i,n:. Ces facteurs se décomposant chacun en /i pi^,!", il faut que chaque dixiseur zP — z — .r"' de F(:;) se décompose aussi en p \>\^rJ'- Si s ^ o, comme ::'^'^"= :: -h [ji.6-, |j, = p, z est de degré pn^ ^{~-) 6^t ^^^ P/'",t ^^ -^^ — -^ — -^"^ ^^^^ \^p,-^"- 4insi, X étant un élément définissant de C^tz"-, zP — ■ z — x est un pp^n" toujours et seulement si s ^ o.

Soit /« = I , ce qui ne diminue pas la généralité. Comme sP — .s = a-^ — .r = o, s^x) est dans C,, si x est dans C,; et inversement. Donc chaque facteur s — a de sP — 5= n(.s" — a),

a i)arcourant C„, a - racines dans C,- et il va (p — 1) - =: 55(71) 1 P ^ \i ' p i ^ '

éléments x de C,^ tels que zP — z — x soit un p^,,^.

De l'identité s(yP — y^^y"^^ — j', en retranchant aux deux

membres un élément é>(^ o ou = o) de C^, puis en remplaçant b

l'KF.iMiÈUES DÉKIMTIONS. CONSÉQlK^f^KS- 43

par [3;, H claiil (|ii('lcou(Hic dans C^, et j par ''jY, on déduit la décoinposiliou

( I ) P ( r'^ - ^7- — t ) = II ( ^/' y/' — Ûr — -T ),

X par('oiiranl les racines de s{x')^=- h. Vowv [ii = i et ; = ^ dans d^. on Aoit cpie, y élanl une racine queleontpie de i'^ — y — .r, les autres sont y'^^ r + h, y -^ -ib^ ....

La relation s[yP—y) ^=y'^ — y montre encore que yP — y est racine de 5 = o quel que soil r dans G^. Or, y et / étant deux éléments de C^^, il est aisé de voir que, si yP — y = y^ — Ji y' est de la forme )' -h a, a étant dans G;,, et réciproquement.

Donc, y parcourant Ct^, )P — y prend - déterminations distinctes

qui sont les racines de ,s- = o. On les obtient chacune une seule

fois en faisant parcourir à y un système de - éléments y,

de Gt, dont aucune différence ne soit dans G^ ('), par exemple S^"'a/G', f) définissant G„ et a, parcourant G^,. De plus, comme s(x) — s{x') = s{x — x'), les racines de 5 = 6 sont de la forme j; H- w, X étant l'une d'elles et u parcourant les racines de 5 = o, c'est-à-dire de la forme x-hr^P — t]. Si w est une racine de 5 := I , toutes celles de s ^ ô sont de la forme x =^ bto -{- rf — r,. De la décomposition j^ — y— i z=n(yP — y—f), f parcourant

les racines de s = i, on passe à (i) en remplaçant j'- par — et

en multipliant les deux membres par ù = bP"~' . Gomme d'ailleurs yP — y — t se déduit de yP — -y — oj par le changement de y en y — ti, totts les facteurs de y'^ — y — ^ se déduisent de yP — y — to par une transformation linéaire à coefficients dans Cti-

41. Gonsidérons les polynômes XJJ^' (.r) = Xjj.( J?) définis par X[j.= (^ — i)!^- en convenant de remplacer dans le développement i'' par x'^^ et de faire Xy = .r. On aura X^* ;= .r"^'' — x, en sorte que X)Jï' = X^,^'''' etque le produit V)^' = \ ps des p^» ,, est X^. : X^.-., et plus généralement, par récurrence, Xj^^v^ -^v( Xjj^.) (^on rem-

(') C'est ce qu'on appelle (5G) un système de restes de A niod A .

.j4 ( IIAI'ITKH [.

place Lt par ;j. + i et \^J.+ \ par XjJ — Xj^.), (roù. |);ii- une nouvelle récurrence |K)rtanl sur /?, X™, == X;,"'' \ l)';iilleurs, en faisant le produit (les relations Xjj^/^, = X^^, — ^[i+i {^= ^y . . ., v — i) et en divisant par HJ-' Xjj^^,-, on a Xy.^,, = Xu. FI'^-' ( XJJ-J — i). En prenant u. = p^"\ a. H- V =/>^ on en déduit que Vy,^= n^lr,'(Xj'-~' — i). Si donc le Pp^-K /{J^) divise Xf~'— i, /{'S./,) divise XJ^^,' — i et se décompose, pour ^«+'î-'< / |- A- <yO''+'^ en -*/>'' p^-y+'T. Gomme X'^"' — I := n(.(X/ — c), c parconrant G,! — o, X/ — c se décompose, ponr L<^/>\ en ~'/?^ P/j',,t- Genx de ces polynômes qui divisent X^'y~l^,, sont dits former le i"'"" j;enre; le dernier geni^e, qui répond à / = (/? — i)/>^'~', est à'\\, principal.

Les pyj du premier genre étant les diviseurs de x"^ — x — c ont déjà été étudiés. Les py,< tlu premier genre s'en déduisent immédiatement. Eu effet, ils divisent X^,*-' — c, c'est-à-dire x^ — ./• — a (m = -^'^') que l'on sait décomposer en mp~^ Pp,t^- Le produit de /?^~' (le ces polynômes conjugués dans Gcy relativement à Gt^ sera un p;?',^ du premier genre.

Soit 0) une racine de x^' — x ^ i (donc (0^= co -i- i). Ge polynôme se décomposant en to/> ' \)p^^^ to définit C^,r (si (O est racine du facteur xP — x — c, tùP ^= (o + c) dont les éléments sont

/((oj=. :ii^^ la.oy,

clia([ue Ui parcourant (Z^. Gomme /(oj)^''=y(oj^*') =f(to -h /{•), la substitution de /(w) à X^ dans X^^— .^v= Xj^.^^-. (Xv ) {[-t-^Cp) donne la u.^""' différence (' ) A!^ de /((o) relative à la différence i de 0) : cette différence est égale à y. ! ap si «/ = o pour / >> y..

De là une première conséquence. Supposons que/'((o)=: x soit racine d'un p^,„ 'f{x;) de genre a. Gomme ./(w) doit annuler un des XjjL — c, on voit, en faisant .v = i , v = o, (jue \^ est une constante ^ o. Donc <7/ est nul |)oui' />»y., c/ij. est ^o ety(w)

(') Les éléments Su^.= u^+^ — u^ sent les différences premières des élcnienls u^; les éléments A"£<;. = A"^' w^^, — A"-'aj (A"aj.= M;) en sont les diffcrencesn'*°"\ On trouve par récurrence que, si l'on écrit symbolicjuenient ;*•' pour «j et •o* pour A'm,, A"Wg est éf,'al à (ç — 1)" (le dernier terme étant (— i)"m„) et «,,. à (-n + i)" (le tiernier terme étani <<,).()r si u,^ = f {x -^ Idi), f{x) ^ "S.'^' a^x', le développement de/(x--t- /i ) suivant les puissances de A montre (lue \/{x) est un polynôme de degré /ii — 1 en j; ayant pour premier terme ma^^Jix'"-' et que par suite A"'/(j;)= ni\ a„Ji"\

l'HK.MlÈKKS IIKFIMTIO.NS. CONSKOl KNCKS. 4^

iiiiuulc \,j — [A ! dp. Ainsi /oti/cs les nictiics d un fp^r. '^^^ i^aure <j. son/ (les Jonctions entières de de^ré y, de (o et réciproqaenienl. L'élimination de to", ..., oj/^ ' ciilcc les p équations Lo''(.£ — /'((o )) ^ c) (/• zzzi o, . . . , /> — I ) (|ii(' Ton ramène au degré p — 1 par la irlation oj/'=(o + 6' doit loiirnir ci(.z') ^ o. ()n pourra donc former explicitement tous les polynômes '-ol^x). Ceux de genre ;j. s'ol)tienncnl en faisant «^^ o, «/= o (/> jji.). Pour a=i on ohticnl (,r — (t^^)P — a'^'\x — ^ <'/„)— r. Pour u. =/> — i, en supposant nuls les cii autres (pie <:/„ et c//,i, on ol)tient

{X — «u— «/- 1 V — «/^-i(^ — "() — ''/- -I )''"' — ci'-^a'j]

Dans les deux cas on \oit, en égalant le polynôme à o, que xP et par suite toute racine est fonction linéaire entière ou fractionnaire à coefiicients dans C^ d'une racine quelconque .r.

Une seconde conséquence est la formation des p,,,,;^ d'un genre dt)nné, c'est-à-dire à la décomposition de X^~' — i dans C,;, m étant de la forme 2!]^"' a,/)'(o ^ a/-< />, c.? i>-o). Or soit to/, une racine de X),'i= X*;'^'' ^ = i (on a \u que coa d(''linit un C^y+'). Soit (.j, un élément de C^^ et /À= S**<;/a/w^., les c/a/ étant des polynômes en con, ..., a)A i à coefficients dans Ctj, ^/«z étant dans Cnetrt/,5jj, = i . /a est l'expression générale des racines de X^,,^'' ' ^ a/(l /'/,f. Les (- — i)-'" racines de X]^, ' sont j"=z/, /„ ... /i,, chaque/ prenant toutes ses déterminations (deux j:' ainsi obtenus sont distincts, sans quoi la racine w d'indice maximum, soit oj/;, qui ligure dans leur dillerence, annulant cette dilïerence de degré <<y> en co/j, ne définirait pas un Ct^i'"^'). En ell'et, posons ni/i = S/~' a//?'. Comme ^>„,Xfs-t)=^-s-i l/s--2 et que X,„, =Xa,/,/.(X„„, j, on obtient par récurrence, pour// = s—i,s — 2. . . . , X,„,^ (/;.., ) = Ii;-* (a,- ! )//,,. Donc, X„i{fs.t), se réduisant à un élément de C-r,-, /s-\ est racim; de X^-'

42. Si g est racine primitive de C^» et si e est diviseur propre de TïT — I , y divisant n, il est clair que toutyX'^ de premier coefficient 1 est de la forme /«(^ï) =: !!■,'-' (^ — »'''^')? o" étant d'ordre e (si 7î" — I = de^ a a la forme du, u parcourant les o{e) nombres < e et premiers à e) : l'indice de /" est pris mod-"— 1 et /^ =/rtTi'.

Soit y = n et faix) primitif, donc a premier à -" — i =: e. Si a^ ^ 1 niod tt" — i, /a{x) et /, (.r*) ont dans C,;" la racine

46 CHAPITHIi I.

commune g"^. D'ailleurs, si une racine x de /", (x*) est dans C,;,, ^.6- o-7i'(|^nne x= ^.'"'^'.Donc le p. ^. c.{\. de/, (./^javec x~'"~^ — i

(ou avec x - -f- i si - est impair) est /«(.r).

Soityi(j:")=S'^«/^', les «/étant indéterminés pour i <in ela,i ^^i . On pourra parfois trouver facilement, pour chaque 6, une combi-

naison de /i{x^) et de x'^" ' — i \ou de j? " -t- i / de la forme c56'i> ayant avec x'^"'^^ — i le même p. g. c. d. que /', {x''), 'j/, étant de degré n et 'l premier à x"^""^ — i ; cp^ coïncide alois à un facteur constant près avec /„. Ainsi, pour tt^.j, n =: 2, /, (x") se réduit de suite à x~-{aQX- — «, .r + 1 ) et cp, , = a^x- — a,x -\- i ; de même cp^a^ «o-^^H- «i-^ + 1 et /, (x'^) = /", ( — x) Faisons maintenant ]>arcourir à a un système de ncnnbres premiers à Tï" — I et <C ~" — I tels qu'aucun d'eux ne soit le produit d'un autre par -'. Comme nrty"«(-c)= "iV'-n produit des p„,7t primitifs, est connu (il est égal à flj" '(,r''— i )'</), l'équation n.a/a{^') = ^a'-^a fournira pour Oi, . . ., c/,^i un système d'équations dont chaque solution est formée des coefficients d'un P« 7t primitif (chacun d'eux pouvant jouer le rôle de /'i ). On trou^e, par exemple, ainsi que les '2 p2,3 primitifs sonta:-±j^- — 1 et que les 4 P2,5 primitifs sont x- dz x -\- 2 , x- ± 2X ^ 1. Mais ce n'est là, au fond, qu'un moyen détourné de déterminer les «/ tie manière que/, (ic) divise <iV'-i-

Gomme la connaissance d'une seule racine primilne suffit, on vient de le voir, pour former tous les p,,^^ primitifs, il sera ordinairement plus avantageux de déterminer d'abord un p„^ : x étant une de ses racines, il sera facile de trouver parmi les S'^'~' «i\rj (chaque «/ parcourant 0,^) un élément primitif ^^ : si par exemple " — 1 =3 /.s, /• étant premier à s^ le produit de deux éléments d'ordres r, s sera primitif. Ainsi dans G5. défini par une racine x du p4^5 x'* — 2 (39) on trouve (jue g =^ ?> x^ -^ •! x- -\- ^ est primitif et annule z'' — z'^ — z — 2. Dans C3* défini par une racine x du p.i^3 x'' — x- — 1 (39), g = x'^ -\-zx-{z=^àz\) est primitif et annule5'' + £:;^+5- — £5 — 1; g"^ annule :;'*+£:;=' — i; les quatre autres p/,^3 primitifs se déduisent des quatre déjà obtenus par le changement de :; en z~^. Dans 0,33 où 2 est d'exposant 12, le transformé par j^=2X du p^jV^t"' x^ -i- x -\- (S est le P3,i3 primitif y'^ + 4jK — 4'

:, x^'-hx'^