PREMIÈRES DÉFINITIONS. CONSÉQUENCES
On peut cucorf, vn p;iiliinl (11111 p,^ .y"(,r),clierclier à (lélenniuer A de manière tjue / (jk^) ail un facteur primitif. Ainsi pour t:= i3, n = 2, .z- — (3^ -+- 4 est un p!^ ', ., . Mais, y étant, a priori^ d'ordre
V := i68 si y'-=^ ^' {'T '''"' *'^'"*'' P'^emier à r)^ y^ — 6y--j-^, doit se décomposer en deux facteurs primitifs : ce sonl y- zn 6 y -\- 2 .
43. Voici une table de ]hi,p primitifs choisis de manière que le plus fort exposant de x dans les termes autres (pie x" soit minimum, i" /t >> 1 :
x'-i-x-^i, x'^ -\- x^ -^ x'^ ^ X- -^ i , a p =^ S : x'^ -h X — I , x" — X -h i, x'^-i- x^ yo = 5 ; X- — îx — ■!, X'^ — ■i.x -\- -1, x'* — x- — x — 2, x^ — x — 2,
x^ — x''' -^- x'* — x'^-\- -îx -\- ■jl; p =1 -j : x- — ic -i- 3, x^—x^T-i. X* — 'ix'- — ix — i. x'' -^ x — 3,
yD = 1 1 : x^ — ,( :r H- 2, x'^ -^ x -t- !\; p z= iZ : x"^ — làx -H 2, x'^ -r- 4X — 4 ; p = ly : x- — (jx — 6, X'^ -î- x -+- 'i .
2" /i = I Cj. 11 suffira de donner, pour chaque valeur de/^ << loo, la plus petite racine primitive g" de Cp : g ^ 2 poury> = 3, 5, 11, i3, ig, 29, 37, 03,59, tii^^>7. 83^^ = 3 pour/> = 7, 17, 3i, 43, 79' ^9; ^ = 5 po^'f A^ = 23, 47, 73, 97; 0=6 pour p = 41; g=l pour /) = 7 I .
44 (-). Soit /"^ ^ciik-ï'iXk {i, A" = I , ..., A ; f ^/i)|une forme quadratique à coefficients dans C71. Un changement de variables tel que .r/= Sa,7(^'^., les a étant dans C,t et leur déterminant 0^0, revient, en effaçant les accents, à opérer la substitution s de Sa,vt^A à Xi. Soit /.s le résultat de cette substitution. On dit que fs est équivalente à/ et que l'ensemble des /s forme une classe. Je sup-
(') On trouvera une Table plus étendue dans le Canon arithnieticus de Jacobi. (-) Je me suis servi, pour les n°' 4-i et 45, du Couis professé par M. Jordan, au Collège de France, en 1904.
48 ciiAi'iTui-: 1.
poserai que / n'est ('(lunaiciile à iiucanr j'ornie de moins de h variubies.
Soit d'abord p >■ :>.. VIois la coudilioii iiii|)()S('(' à / ('-quiNaul à celle-ci que son discriniiiKinl , ccsl-à-dire le dc-lermiiiant D des coetfîcients <^le ses dérivées partielles /',' [)ar rapport aux j;,, soit v^ G. En etlel ou va voir que par un cliangenieut de variables linéaire on peut mettre /'sous la forme yiai-yj, les a étant ^ o et [es y,- des tonctions luK-aires indc-pendantes des ./■ en nombre 1 A. Si donc 'j. est le nondjre minimum des \arjables d'une forme équivalente à /"et si /=:ï!Jr7;7, ;,= ï"À,aXa, d'où /'^ = aï^j'A/yiC/;/, les ç étaiil indé|)endants, on \oil cpie s/ y. est <i /i . les f ne sont pas indépendants, eest-à-d' re que D ^= osi \i. << h. Invei sèment, si D = o, ij. sei-a ■< A, sans quoi les ^A//,C/;/ seraient indépentlants.
Le discriminant de fs étant iJo-, | —\ est i(n invariant de la
classe de f. Le nombre des solutions de f=^ b dans C,^ en est un
autre; mais on va voir quil dépend de ( — I-
On peut supposer les an non tous nuls, sans quoi, les «/^ n'étant |)as tous nuls, si a,2 par exemple est ^o, il suffirait de substituer .r, +^2 à ./o. Soit donc a^^^o. l^a substitution à x^ i\e Xx-\-^\biXi (les X non mentionnés étant supposés inaltérés) où 'Aa,,^bi+ a,i^= o ramène / d la forme
(iiixl -+- '^a'ii^XiX/,- {i, /c =•.>,. . . ., // : i%k).
En opérant de même sur ^u'ij^ ^'i^ki et ainsi de suite, on fera disparaître tous les rectangles. Une forme du tvpe ^aix'f peut d ailleurs toujours, en posant ai= bf si ai est carré, a/=Nbf (N étant un non carré arbitraire) si «,- est non carré, et en substituant bj' Xi à Xi^ se ramener au type ^xf -{-^ '^yl ^t, s'il y a plus d'un j^y^, par des changements de variables de la forme y/t = uy'/^ — i'jK/ ^ r/= ^'JKa + 'fy'/ (""+ i^- = N~'), on va voir que cette condition est toujours réalisable) à l'un des deux types canoniques '^xf^ l^xf -\- ^y-- Ils ne sont pas équivalents, puisque leurs discriminants respectifs sont 2^, y^N. On va voir d'ailleurs que le nombre des solutions dey= b n'est pas le même selon que /'équivaut à l'un ou à l'autre de ces deux types. Il y a donc exactement deux classes. On peut évidemment, moyennant un choix convenable de a, représenter une
l'KEMlÈUES DEKIMTIONS. CONSÉyi E.NCES. 49
([uelconcjiie de ces deux classes par Fj„i^., ^=^l'xiyi-\-ax'- de discriniinanl ( — i )'" :i «-/ , si h = 2//i ^r i, par F^,^ = ^"'~ ' xiyi -^x- — ay'^ de discriininaiit ( — i )'" i^a^ si h ^ 2 /h.
En désignant par a le reste quadratique de a, c'est-à-dire celui de ( — i)"'2^D, par ^ celui de b, le nombre des solutions de Fo/M^.! ^ b est 71-'" -|- a^âîr'"; celui des solutions de Y-im^^ b est
En ell'et, si /i = 1 , on voil directement que ax'-=i Z> a i -j- a[ii solutions. Soit/i:=2. Si a = W- est carré, léquation F.2=^ b devient, en posant ^ + A y = u,x — '/.y = v, uv = Z' et a évidemment 71 — 1 solutions si 6^0, 271 — • 1 si ^ = o. Si a n'est pas carré, considérons Ct;: défini par ç-^a. Soient /, /" les racines de ç-=:a et d7 -h iy = u. La proposée devient ;^'^+' ^ ^ et n'a qu'une solution si 6 ^ o. Soit 6^0, g une racine primitive de C,i:, b = gV-'^'^+^'i^ x-\-iy^g^. On est ramené à léquation o^(ii:+0 ;= ojACTt+o q^j a t: + I solutions t donnant chacune une solution [x, y). Le théorème est ainsi démontré pour Ii =^ i ^ 2.
Cherchons maintenant le nombre des solutions de 'p = ^'^' Xiyi= b. Si b ^ o, les j' ne peuvent pas être tous nuls. A chacun des tï'" — 1 systèmes des y où l'un d'eux, soitjy,, est ^o répondent tû'""' systèmes de valeurs pour^,, . .., x,,, (x, est déterminé pour chacun d'eux), doù 7i-'"~' — Ti"' ' solutions pour b y^ o. Si ^ = o ou peut en outre faire tous les y nuls et alors les x sont arbitraires, d'oÙTt'" /îowrt^//(?A' solutions, c'est-à-dire en tout tt'-'""' — n'""' -|- tt'". Considérons maintenant -i + F,.^ = 6 (ri = i , 2) et soit <7 le nombre des solutions de 'i = o, 1' celui des solutions de zi = b' [b' :pé o). A- chacune des 7^, solutions de F,-, = b répondent <j solutions de l'équation, et à chacun des Tt*"! — o-y^^ systèmes de valeurs restants pour les variables de F-^^ répondent c' solutions de l'équation. En faisant le total on obtient les nombres de l'énoncé.
En convenant de dire que l'élément x -\- i de C^ suit l'élément Xj on déduit de ce qui précède le nombre v des fion carrés 7^0 suivis d'un carré ^o. A chacun de ces non carrés ay'^ (a non carré ^ o) répondent quatre solutions {x^y)àL&x- — ay'-=. i; il reste les solutions ( ± 1 , o) et, si — 1 est non carré donc — a carré = A-, (o, rbÀ~'). Donc, e étant le caractère quadratique de — 1,4^+2 + 1 — £ = 7c+i,v = |(7:-f-£ — 2). On trouve de S. ;
5o ciiAi'irui; i.
nièiiuMidily a}(7: -|- £ — 2) non carrés ^ o suivis //'u/t carré ^ o, ^(tc — £ — 4) carrés ^o suivis cCun carré ^ o, ~ (— — £) carrés ^ o suivis <V un non carré.
4o. Soit niainlenanl !> ^ 2. Tout élcMiieut de C- ('laal ici un carré le caractèi^e quadrati(|iie de D n'esl plus un inxai'iaul.
Si /i>- 1 , ou peut supposer qu'un des 0//10Ù /^AesL ^o, sans quoi y serait un carré. Soil<:/ 1 j ^ o. En changeant au besoin.r, en x ^ -\-\xk et x-i, en .r^H- ur/j avec A<r/,o = «o;;, tjLr/,j= «(/,. on peut supposer nuls r/, A, rt:.A(^' = 3). En répétant cette transformation on ramène y à la somme de a\^x\-\- a^-2X\X.i-\- ci-^-iX:^ et d'une forme/' qui ne contient plus x^ ni X2 et n'est équivalente à aucune forme à moins de h — 2 variables. On opérera sur/' comme sur/" pour ramener finalement/à la forme '^"''{aix'j -+- i>iXiyi-h ^"z J'/ ) + aoX-{ao jzé o) si /i = 2 /?^ + 1 , à la forme ï'" («/^J+ OiXij'i-h Ciy'f ) si /< ^ 2 /?/. Si deux des <:/ tels que «, et «o sont ^ o, on pourra en renq)laçant x.j par .To + À.r/( A-rtj = «I ) rendre <'/, nul. Supposons donc tous les a nuls sauf «y si h =^ ini -\~ \ et «,„ si // ^ 2/». En changeant.r/ en^/+ \j-iÇhbi= a) on pourra annuler tous les c/ sauf c,„ si A:=2A«. En multipliant enfin certaines des variables [)ar des facteurs convenables on aura, si A =: 2 /;/ H- i , le tjj)e
et, si h = 'im, le ly[)e
F2,,, = S'i"~ia-/r/-l- T--+- xy -î- cy^.
Ov x- -\- xy -{- cy- est réductible toujours et seulement (lO) si s (c) = o [5(w)= S'y"" ' «"' n'aque les deux valeurs o, i]et alors F!, ,„ se ramène à la forme 2'"^< j7.
Si X- + ^j>' H- c;^'- est irréductible, c est de la forme Co + y''^ — y, Co étant une racine déterminée de 5 ( w) = i et y étant dans C^ (^O). Or la substitution de •«' H- yjK à x transforme X' + xy-^-c^yen x--\- xy -\r cy-. Donc toutes les F'^,,, pour lesquelles s {c)
est ^o sont équivalentes et se ramènent, en substituant d'- x\, i
d - y kx ei ky (d- = c), à 2'""' .zvr,+ ^j)'- + c? (x- -h y-)', comme
s îd) =^ s (d-), xy -\- d{x- -'r y-) est réductible toujours et seulement si s (d) =^ o.
l>ltKMlÈlU<:S DKKIMTIONS. CONSKyl KNCKS. 5l
\insi pour h ^ i m on a an plus les deux ly|)es
Ko,,, = 1 ,"- ' XiYi ^ xy ^ a [x^ -î- JK" ) {a = o, s {a) ^ o).
On va voir que le noiiibi-e des soliilioiis de ¥2,11=^ b n'est j)as le même dans les deux eas. H y a doue deux classes si h=i'j.in et une seule si A = 2 /?? + 1 ( ' ).
Le nombre des solutions de F^/^+i = b est tc'-'". Le nombre des solutions de ¥.,n = b est n-'" ' 4-(— i )='[(i - fi)-!!"' — ir'"-' ], a, [3 étant les earactères (juadratiques de a^ h. Après ce qui a été dit il suflira de calculer le nombre des solutions de F2 = ^, a étant racine de 5 (w) = i . Si Z> = o, il n'j a évidemment que la solution ./• = j/- = G puisque Fo est irréductible. Soit b y^ o. A chacun des 71- — I systèmes (X, Y) autres que (o, o) ré|)ond, si -^ est
j la valeur de F^ [xjur j" ^ X, j)/ = Y, la solution :/=::i X (6^)' )'-,
j' = Y(Acp"')- et à chacjue solution (.Z', y) répondent, puisque X: \ :=^: j^, TC — I systèmes (X, Y) rendant Fo^^ o. Donc Fo^ ^ a I^Tc + 1 solutions.
il). Supposons maintenant C^= C transfîni (JN^O). On voit comme dans le cas de G fini que Tordre p d'un élément quelconque dans A est le même c[ue celui de i et premier. Si p est fini, on obtient G en fornuuit des G^,,. où n croît indéfiniment. Soit donc y> = 12. Avec les éléments x 1 (^" = o, ± 1 , . . .) G contiendra {x\)'^ (j^=zbi, ±2, . . .) et jjar suite le corps G'' de leurs produits qui existera comuie celui R des nondjres rationnels. On peut d'ailleurs prendre pour unités o, i les nombres o, i ; alors G'' coïncide a\ec R.
Soit c un élément quelconque hors de G''. Si aucune puissance Il de c n'est liée aux c' où i <^ h par une relation linéaire y(c) = o à coefficients dans G'', soit G"' le corps résultant de l'adjonction de c à G", c'est-à-dire le corps formé des Sa/c' (a, parcourant G'' ; f = o, I , ...) des (Sa/c')^' et de leurs |)roduits. Soit c, un élément quelconque hors de G"'. Si aucune puissance A, de c^
( ' ) Le discriminant D de / qui est un déterminant gauclie est nécessairement
II-- I nul si /i=2/?i-t-i. Si /* = 2/», D =( — i)'"-' (4a- — i) en sorte que (—1) » est invuriant de classe si « = 1.
n'est liée aux c\ où /■< A, par une relation linéaire à coefficients dans C"', soit C'"' le corps résultant de l'adjonction de c, à C"'. Soit C' le corps obtenu en adjoignant ainsi tous les éléments c^ Ci^ ... (en nombre fini ou infini) dont aucune puissance n'est liée aux puissances inférieures par une relation linéaire à coefficients dans le corps résultant de l'adjonction des précédents à C'. C' est le domaine de rationalité défini par f, c,, ....
Soit alors ç un élément quelconque hors de C' et ;^ i^h Jini) la première puissance de ç (|ui soit liée aux ç' où /<< li par une relation linéaire f {\) = o à coefficients dans C'(/i >> i, sans quoi ^ serait dans C'). On voit comme dans le cas de Cfîni que les S^' ' 7./^' (a/ parcourant C') forment un corps que j'appellerai C^(i) = C(ç) dont les éléments ne peuvent être renfermés dans une forme S^a,^/ (a/ parcourant C') où [^ < A, car on en déduirait une relation linéaire entre ç", . . ., ç''*"'. On formera effectivement C(i) en introduisant ç comme un élément assujetti aux règles ordinaires du calcul et à /(;) = o. Je dirai que ç définit C(ç). Soit 1\ dans G hors de C (^), et r,'^ la première puissance de t, liée à 7|", . . . , r,^~^ par une relation linéaires (y|, ç) = oà coefficients dans C (ç) en sorte qu'il n'v aura pas de relation linéaire entre les ^'ri^(/ = o, ..., Ii — i ; y = o, . . . , k — i). Les Hijaijç'riJ [o-ij parcourant G') ne peuvent être renfermés dans une forme S^a,^, où ^ <i hk et forment un corps G (ç, '/")). 7] annule un polynôme g (j^) irréductible dans G' mais divisible par 'fi-i', ç) ^dans G(ç) et définit un corps G(t|); G ( ^, Ti) défini par ^, r^ dérive de G (^), G ( 'o), c'est-à-dire qu'il se compose des éléments distincts fournis par les sommes et les produits de ceux de G(ç), G(Tf)). En continuant ainsi on trouvera un système d'éléments ^(, . . ., x,i linéairement indépendants dans G' en sorte que les S, ^iXi (a, parcourant G' ) fournissent tous les éléments d'un certain corps G(ç, V), ...) contenu dans G, sont tous distincts et ne peuvent être renfermés dans une forme S'j'a/^,- où ^<in. G(^, V), . . . ) est défini par ç, •^, ... et dérive de G (i), G(7i), .... On va voir que G(i,"/i, ...) peut être défini par un seul élément dont toute fonction rationnelle se ramène alors ejféctivement à la forme entière comme dans le cas de N fini (^7).
47. Nous savons qu'il y a des équations de tous les degrés irréductibles dans G' puisqu'une équation à coefficients dans R irré-
PREMIÈRKS DÉFINITIONS. CONSÉQUENCES. 53
(lii(lil)lc iiiod p (26) l'est c? fortiori ddïi^ R el par suite dans C', le produit de deux polynômes à une variable et à coefficients dans C hors de 1\ ne |jou\ant être un polynôme à coefficients dans R. SoitC(i) le corps défini par ç annulant le polynôme irréductible dans C' /{x) de dei;ré // (A est aussi le degré de C (^)). Supposons que C(ç) renferme plusieurs éléments distincts io= ^i in •i Ça-t annulant/(a:');onaura/(^) = Il*(j? — i/)/a(:r),/a étantun polynôme en .27 à coefficients dans C(i). Introduisons ^a annulant un facteur de/» irréductible dans C (i) ; on obtient un corps C (i, ^a)- Supposons cpie C (i, ^a) renferme [B éléments distincts (^ >> a) i, ..., S^, annulant f {x) =^\\l{x — li)fi^{x)^ f^ ayant ses coefficients dansCiç, ç») et adjoignons un élément ^p annulant un facteur de /p, irréductible dans C(i, ^a). En répétant ces adjonctions on obtiendra un corps C(i, ..., \h-\) contenant h éléments distincts \ ç/,^i annulant/. Ce sont les A racines de /qui n'en
peut avoir plus.
Soit G(i, Ti, . . .) défini par ;, y), ... annulant respectivement f{x), g'{x), ... distincts ou non, irréductibles dans C' de degrés A, /, ...; on pourra de même lui adjoindre des éléments tels que, dans le corps obtenu £, /(x) ait h racines ^ = ^05 ^n ••■i Zh-ti g (x) /racines yj = rjo, . . ., "n/^,, .... Or, F, (a, />,...) étant un polynôme à s indéterminées a, b, ... dont les coefficients sont dans S et non tous nuls, on pourra toujours trouver dans C' des «7, 6, . . . tels que tous les F/(f = 1,2, . . .) soient ^ o. En effet cela est clair si s =z i . Supposons-le \rai pour .s — 1 indéterminées et ordonnons F/ par rapport à la s'""''. On pourra par hypothèse déterjniner les s — 1 premières de manière que tous les coefficients soient ^ o et l'on se trouve ainsi ramené au cas où il n'y en acju'une. Déterminons donc «, ù^ ... dans G' tels que, u = Wo, u^ ... étant les déterminations de a'i + ùr^-h ... = w quand ç, Tj, ... parcourent respectivement et indépendamment les i,, /i,? •••? les Ui — Ma soient tous ^ o. Le polynôme 'l{x) = Hiix — Ui) symétrique par rapport aux i/, par rapport aux r,,, ... aura ses coefficients dans C'. Alors, p = po étant un élément quelconque de C(i, Y), ...) prenant la détermination oj quand on y remplace ç, yj, ... par les éléments qui donnent à u la détermination m /, S, pyj/ (x) (x — f-i/)"* symétriqueen i/j estun polynomey (j?) à coefficients dans C qui, pourjp = m, se réduit à ^'h'(u), ']>' étant
54 ciupnnK I.
la déri\ée de 'l, e\'l'{(i) est ^ o car '|i a ses racines dislincles. Donc 0 = y (//)•}'(;/ )"' esl dans le corps G(//). D'ailleurs a est dans C(^, Yi, ...). Donc C(ç, r,, . . .) = C(//) peut être défini par un seul élément. Si Cy n'est pas de de^ré fini, on l'ohlienten formant des C(m) de dej^ré cioissant indéfiniment; mais il l'aiil sup|)oser donnée la loi de formation successive de ces Ci^n ).
i<S. Considérons donc le corps C(;/), n annulant le jjolynome irréductible dans C' F(j") de degré /? et de racines Ua = u, fit, ..., Un-i- Les coips algébriques C(in) ^onl dits conjugués. S'ils coïncident, G(^/,) = G(^/o, • • , '/«-i ) est dit co/ps de Galois (ou galoisien) ou coips noimal, F(^) un polynôme normal ou de Galois^ ^ {Jc) =o une équation normale ou de Galois. ^{u) étant un élément quelconque de G(«), les éléments H(Ui) = 0/(f)„ ^ ^) sont dits conjugués. Soit '^(x) le polynôme irréductible dans G', de degré v annulé par 0(«). cp(9(x)) annulé par la racine u de ¥{x) l'est par tous les //,, donc 'f (^) par tous les 0,. Si donc <î)(x) = n,(j7 — 9/) est réductible, <1>(J?) = cp (j?)^^, ;j.v=/?. Si UL^ I, Hi est un élément in>p/ inulif de C{u). Si [j. ^ i , 6 tslprimilif; alors C(0) coïncide avec G(;/) ; car, p(«) étant quelconque dansG(«), :ip{ui)^{x){x — ^i)~^, symétriciue par rapport aux «,, est un polynôme '/(^') y coefficients dans G' qui, pour J7 = 8, se réduit à p(;/) <ï>'(0), d'où p(^/) = y (8) 4)'(B)-' . Si tout élément de G(m) hors de G' esl primitif, G(w) esldil pri/n il if. Des polynômes normaux '}/(•/') tels que, c/ étant une racine de 'L/, les G(t'/) coïncident, sont nécessairement de même degré, car si le degré v de 'l^ est plus |)etit ([ue celui de 'i^, ^21 éléiuent de G(^')), ne pourrait annuler un polynôme irréductible de degré >■ c.
Traitons G(Wo, .. ., ««i) comme tout à l'heure G(i, "O, • . •), les équations /(j?), ,;'(^) coïncidant toutes ici avec F(x). Prenons dans G' des ai tels ([ue les déterminations ç^ = (^„, t^,, ... de ç zz^'ï,aiUi soient toutes distincles (|uand on y permute les Ui des n ! manières possibles, v annulera un facteur irréductible de Yl(^x — Vi) qui a ses coefficients dans G' et G(i^) coïncidera avec G(//o5 ••■■> '^/~i)- "«■ étant dans G(»'), r, fonction des Ui y sera aussi; donc les G(v"/) coïncident et les facteurs irréductibles de II (x — Vi) sont tous de même degré. Toute é(juation irréductible vérifiée par un élément primitif de G(p) est une résolvante de
PUKMIKIUCS DEFINITIONS. C.OXSKOr KNCKS. 55
(Halois (ou ^dloisieniie) de F(.?) = o. On voit (|ii'iiih' telle i-ésolvanle est Loujours normale. Si une racine iv d'une équation irréductible G(^) = o est dans C (//„, . . ., /<„, ) = C((') et si chaque lit est dans C((v), C((v) coïncide avec C((^) et G — o est résolvante de Galois.
il), (hiand G' = K, un élément annulant un polynôme
.r" -i- ai .r"-' H- ... -4- a,i
irréductible dans G' est un nombre algébrique {entier si les absout entiers) de degré n. Le nombre des nombres entiers algébriques de degré n est au plus n fois celui des |)oinls (^r,, . . ., a„) à coordonnées rationnelles, donc ^0, quelque soit/?, (hiand n parcourt les nombres finis on obtient donc au plus 00 ^ 12 nombres algél)riqups. Gomme les 0 nombres rationnels en font partie, il j en a exactement 0.
Aux corps dénombrables que nous venons de considérer, on adjoint ordinairement l'élément co avec les mêmes règles de calcul (pi'au n" 22.
