I. — Généralités

oO. Soient A, B, C, D, ... des |>arlies ou complexes du corps G. Il est commode de modifier un peu les notations de la théorie générale des ensembles lorsque ces ensemlîles sont des corps. A -(- B désignera l'ensemble des éléments distincts contenus dans A et B, A == B signifîei^a que A et B sont composés des mêmes éléments distincts, A << B que B contient tous les éléments de A, mais d'autres encore. Le produit formel AxB sera l'ensemble des éléments distincts ou non obtenus en multipliant chaque élément de A à droite par chaque élément de B (la notion de corps ajoute à, celle d'ensemble des relations d'identité entre des produits formellement différents). L'égalité Ax B = G x D sigiiifîera qu'on peut établir entre A X B et G x D une correspondance biunivoque où deux éléments correspondants soient toujours égaux. AB, ou produit de A par B, se déduit de A X B en ne prenant que les éléments distincts. Ona évidemment ( Ax B)xC = A x(BxC) et (AB)G = A(BG). Des complexes n'ayant aucun élément ^ i commun à tous seront dits premiej's entre eux. Un complexe jouissant d'une certaine propriété est dit nicixinium parmi les complexes qui en jouissent, s'il n'est contenu dans aucun d'eux sauf G, minimum s'il n'en contient aucun ^ i.

Si rX est le système des jiarties A,, An, ... (c'est-à-dire l'ensemble S (A/) dont les éléments sont les A/ et non les éléments des A/ (4)), illi celui des parties B,, Bo, ..., <Jl3\tl' sera celui de A,Ba. Si -lall) = iil)-l,, c-lo et iil) sont dits permutables ou échangeables.

Soit H = Hy un corps quelconque. y~* Xy sera dit conjugué de X par H (ou simplement conjugué de JU si H= G), transformé de X parj^, semblable à Jl,. Supposons les^ permutables à G (les

r)ivisKi us, 57

j' ' -ÀsY seroiil donc Ions dans (j) cL, do plus, <]uc H est un groupe : alors deux quelconques des y' -^-^y sont conjugués entre eux par H. L'ensemble des jk~' J^y est le système complet ou la classe des conjugués de -l> par H, et l'on peut déconi[)oser G en classes i\('li'/n('/fts conjugiu^'s par II. Si Ai et il!) soûl pcrniutables, j)^~' î-A-jJ^ et J^ Mil))' le sont aussi; (^y~' Jl^yY' :^y~^ rX/'y. On observera que A^y est conjugué deyA^ P^^'y- Supposons uiaintenanl que G coïncide avec le groupe H. Sïy~^A,y= A> quel quel que soit y, cJU est dit invariant ou normal dans G, et contient alors dans ses diverses parties tous les conjugués d'un quelconque de ses éléments. Si a et b sont deux éléments conjugués de G, la solution x de b::=ax esl un commutateur (8), car x-=^<t~^b et b est de la forme c~' ac. ln\ersement, si x^=a^'^ c ' ac, ax est évidemment conjugué de a. Donc le nombre des commutateurs de G est au moins égal à Tordre maximum d'une classe d'éléments conjugués. On remarquera que si le commutateur a~^ bWib ^ c est permutable à rt, b~ * ab = ac donne b~^ a'^b=. a'^c'^ ouc?^^ a~^b~^ a^b] s'il est permutable à b^ a'^b^^a =:z cb~' donne de même c^= «-' ly^ab'^.

Toutes les fois qu'il est question de composer les éléments de plusieurs ensembles sans que la loi de composition ait été mentionnée, on suppose tacitement que tous ces éléments font partie d'un grouj)e unique.

51 . Un complexe d'éléments de G (8) qui constitue un groupe se nomme sons-groupe de G, ou groupe de G, ou diviseur de (i qui peut alors être nommé dividende. Ainsi l'ensemble des éléments noi-maux de G est un diviseur normal qui sera dit central de G. Ainsi encore dans le groupe cyclique G d'équation a"^ = i , a^ engendre un di\ iseur d'ordre <n^ si /i = de. Ce diviseur est le seul d'ordre d. En eflet, tout e,/ de G est dans i a* j, et tout diviseur H de G est cyclique, car, a'^ étant la première puissance de a dans H, tout élément «P de H est une puissance de rt^, sans quoi, 5 << a étant le p. g. c. d. de a, j3, on pourrait résoudre ax -\- [j y = 8 en nombres entiers et trouver a^ dans H. {On verra (138) que la propriété de n avoir, pour chaque valeur de m, j'amuis plus de m e,,„j caractérise un groupe ciclique.)

De même, dans le g^,; dicyclicjue (!20) G défini parle système (S)

CIlAPiritK II.

rt-"i=i, b'-=^a", h * ab =^ a' , loiil (li\iseiir de H non cyclique est dicjclique. Car M est engendré par deux i;énérateiirs de la fonne «''=:«', baV- z= b' [si H contient 6aH- et bcC ^ il contient ba^'bd" = a"~V-^^\ donc ba''^ b''' a"~\^+'^), «'-< étant la première puissance de a dans H, et a divise n ^ xq (H, contenant b'- = «" et a'', contient a^, o étant le p. g. c. d. de a, n). \ a' \ étant évidemment normal dans H, H est formé des 4^7 éléments /('^, b'a'^'(/i, A", ^ o, . .,2r/—\) distincts <lans G, d'où 11 suit que les équations (S') a''-'i=\, b''-=^a'f, b'~^db'^a \ qui résultent de S et définissent un gi^ dicyclique H', entraînent toutes les relations que G élal)lit entre «', 6', c'est-à-dire que U'= H; on peut le voir aussi en observant que, si l'on adjoint a à H', on a (19) un système S, n'établissant entre a', />' aucune relation qui ne résulte de S', et que Si équivaut à S, où l'on introduit au lieu de b le générateur 6' = /^a^" ( 19). Les iq éléments de H autres cjue les puissances de cC^ étant ba^'^'^^ (A' = o,..., i</ — i), G contient a g^^ dicyclicjues répondant à jj. = o, . . ., a — I . bci^ étant d'ordre 4, on voit que, pour n^ iq^ r/ >> I , G n'a que des g.y dicychques si n ^ o mod^^^r; si n ^s o

mod2^, il a en outre le g/.^ cyclique ia'J\. Pour ^/ = i il faut ajouter les n gj cycliques | bci^ J (v = o, . . ., /« — i).

On voit de même que tout diviseur du groupe défini par a'-" = b- = i ^ b ' ab = rt^'+'^" (A ^ o ou i ) a des équations de la même forme ou est cyclique.

iJe même dans le go,, diédral défini par a'^ i= i , />- ^ i , bab = «"S tout diviseur non cyclique est tliédral.

32. Il est clair que x~^ A.r est un groupe en même temps que A. Un groupe <jui ne contient d'autre diviseur normal (jue lui-même et I est simple; sinon il est composé. On verra dans les compléments (|u*il y a des groupes simples d'ordre 6o, i68, 5o4, 66o, ioy2, et que ce sont les seuls d'ordre composé ^ 2000. On ne connaît pas encore de groupe simple fini dont l'ordre soit impair non premier.

33. Si A est un semi-groupe, on a A-^ A et inversement; si A est un groupe, on a certainement A- ^= V; si A- ;= A et si A est

hlVlSKl HS. 'J9

(inl, on si du moins il conticiil I inverse de cliaciin de sesélémenls, il est lin groupe; car, n^ ./■, h élanl trois de ses éléments, l'éijualion ax = b aura la solution x = a~^b^ cixa=b la solution .r^bcr*. Ainsi, A et B étant deux groupes, si (;\.B)- = AB, AB e>l un groupe; car, cr, b étant deux éléments de A, B respcclivement, b-'a' est dans A(BA)B; de même, siAB = BA donc (\B)- = AB, AB sera un groupe et réciproquement. Le groupe AB = C est dit décom[)Osable; A et B sont les composants. On \erra dans les compléments qu'un groupe peut être à la fois sinqile et décomposable. Un groupe cyclique n'est pas décomposable.

On voit de proche en proche que le produit de plusieurs groupes permutables deux à deux est un groupe.

Le produit de n groupes A,, ..., A„(/?>2) peut être un groupe, quel que soit l'ordre des facteurs, sans (]ue chaque

A, ... \v(v </i) soit un grou|)e : ainsi le g^^: {p premier) défini par aP ^= bP ^ c- ^ i . c/6 = ba., cac ^ b {') dont tout élément est de la forme a-^' br c' {x ^ y = o, \ , . . ., p — i ; :; = o, i) est le produit des groupes A, B, C engendrés par a, b, c respectivement, bien que AG diffère de CA et BC de CB. Si chaque élément de A/ est permutable à chaque élément de A;^, et si chaque A,- est premier avec le produit des autres, le groupe HA/ est le produit direct des A/.

Ainsi le groupe des nombres rationnels > o relativement à la multiplication est le produit direct des groupes cycliques infinis engendrés par chacun des nombres premiers joint à son inverse. Il ne suffit pas que les A^ soient premiers entre eux deux à deux : ainsi le groupe abélien défini par aP := a^ = i , «, «^ ^ rt2<^'fi (/> premier) est le produit diiect de deux (juelconques des trois groupes \a,\, \a->\, ]aia-2\, mais non des trois.

Si G est le produit diiect de deux groupes A, B, on dit encore que A (ou B) se sépare de G.

oi. L'ensemble des éléments communs à plusieurs groupes A,

B, ... est évidemment un groupe, \e plus grand coinniun divi-

( ' ) Ces équations s'écrivent, en posant ab = a, ab~^ = ^ si /? =^ .i, a/* = ji/' = c'-= i, a^ = ^a, cac = a, c|îc = ^-', et en posant ab = ol, c = p, ac = ^ si p = 2, at?=^^'-ij j-— z, jia^ = yay = a, y-' py = ap. C'est sous ces t'oruics qu'on les retrouvera dans les coiiipléinents.

6o CHAPITRE II.

seul' H (le A, B, .... Si A, B, ... fomienl un système normal dans un groupe G, H sera normal dans G. Si B, G, . . . sont normaux dans G, A l'étant ou non, H sera normal dans A. Si A, B, C, ... forment un système conjugué complet dans G, H est l'unique diviseur normal de G qui soit maximum dans A.

A, B, . . . étant ou non des groupes, l'ensemble M ^ ' A, B, ... j des produits d'un nombre fini d'éléments de A, B, ... satisfait évidemment à M- = M. On le dit dérivé de A, B,. . . ou plus petit multiple commun des éléments de A, B, . . . , et l'on dit aussi que

chaque élément de M dérive de A, B, Si A, B, . . . forment

dans un groupe G un système normal qui sera |)ar suite lormé lui-même d'un ou de plusieurs systèmes complets S,, So, ... de complexes conjugués, M sera normal dans G, car ^~' i A, .. .\x^\x~^ A.27, . . . j =^ { iV, . . . j ; alors tout diviseur normal de G qui contient un complexe de chaque S, contient M.

o5. Le transformé x~^a^^b~^abx du commutateur a~^b~^ab de a, b étant le commutateur àex~^ ax^ x~^ bx^ les commutateurs forment un système normal qui contient d'ailleurs l'inverse de chacun de ces éléments. Donc leur p. p. c. m. est un groupe K.('), normal dans G. K sera dit le groupe des commutateurs, ou le commutant, ou le dérivé de G, ou plus précisément le premier

( ' ) K peut contenir des éléments autres que des commutatenrs. Considérons, par exemple, le groupe G défini par a} = bf = i, a%^ aia^ = bX.^ ail>,^ = a, {i, k= I, 2, 3, 4), bz^b^b^ = b^a^, 63 ' b^b^= b^a.,, b\^ ôj 64 = èja,. b^^b^b^— b^a^, b^ b^b^= b.^, b~^^ b^b^^=by On voit sans peine, en adjoignant successivement 6,, ^2? *3i b^ à I a,, a.^, «3, a^ \ =A, que G est d'ordre 256. A étant le centrai, la formule

(nj b}'yn\b-y{n\bp) = «j-.>i-'i.r.a'-^>'-'i>-3rt^-,.)i--'-Lv.a[^>"--'->3nJ 6>.'

suflit à montrer que II [a*' est un commutateur toujours et seulement si les congruences

mod 2

sont résolubles.

Or, pour a, = a.^ = o, a, = a^ = i elles sont incompatibles ( on le voit en essayant de faire a:,= o puis x^ ^ i). Donc a^a^ n'est pas un commutateur. Les équations naêmes du groupe montrent, d'ailleurs, que le commutant est \a^,a^,a^,a^\ (FiTE, Transact. of the Am.Matli. Soc, t. III, p. 34i; 1902).

DIVISEURS. 6l

comimitant ou le premier dérivé de G, le second élanl le dérivé du premier, le troisième le déri\é du second, elc.

Un groupe qui coïncide a\ec son dérivé est (Wl parfait ('). Ainsi, tout groupe simple est parfait. La réciproque n'est pas vraie, car le produit direct de deux groupes simples A et B dordres composés est parfait, le commutant de AB contenant ceux de AetB (-j.