II. Intégrales des fonctions synoctiques

45. On dit qu'une fonction est synectique dans une certaine portion du plan, lorsqu'elle reste finic, continue, monodrome et monogène dans cette portion du plan. Cette dénomination est due à Cauchy.

D’après ce que l’on sait de l'intégration des fonctions d’une variable

Z réelle, l'intégrale | f (z) dz, prise entre des limites réelles zo, Z s'obtient Zo | de la manière suivante : on insère entre zo et Z, un nombre quelconque de valeurs de z, telles que

Zo KL Za L'Za Lee ns KZ,

et l’on a

Z f(z)dz = lim [(z1— 20) L (20) + (za — 24) F (2) + ++ (Z— 701) f(zn 1)],

ou bien Z

f(2)dz = F(Z)— F (20),

en désignant par F (2) l'intégrale indéfinic ff (z) dz.

26. Nous adopterons la même définition pour des valeurs imaginaires de Zo, Z, z. Mais, il existe ici une différence essentielle entre ces deux espèces d’intégrales. Une valeur réelle de z ne peut passer de z, à Z que par un seul chemin, au contraire, pour des valeurs imaginaires de z; cela est possible d’une infinité de manières. Donc, une intégrale définie, prise entre des limites imaginaires, doit avoir une infinité d’acceptions, et l’on doit chercher l'influence que le chemin suivi par la variable aura sur la valeur de l'intégrale. Cette courbe partant d'un point initial z qui figure la limite inférieure, pour aboutir à un point final Z correspodant à la limite supérieure, est ce que M. Neumann appelle le fil conducteur pour l'intégration de f (z) dz entre les limites proposées.

47. Soit f(z) une fonction synectique dans une certaine portion du plan, et soit une intégrale

Z f(z) dz,

#0 prise entre les limites z et Z. Cherchons la variation de cette intégrale, lorsque l'on remplace le chemin zMZ par un chemin infiniment voisin zoM’Z, compris dans cette portion du plan (fig. 6). À cet effet, supposons qu'à chaque point m du chemin z0MZ corresponde un point # de la deuxième courbe zM’Z, de manière que % se corresponde, ainsi que Z. Si l’on va du point m au point voisin m’ sur la même courbe, la fonction € (z) prend un accroissement d f (z) : tandis que, si l’on passe de m en n sur la deuxième courbe, la fonction subit la variation d f (2) (1).

Puisque la fonction f(z) est monodrome, elle prend en n la même valeur, soit que l’on suive le chemin zsmn ou le chemin z5M’n. La différence entre les valeurs de la fonction en m en suivant le premier chemin, ou en x en suivant le second chemin, est donc égale à la variation correspondant à mn, c'est-à-dire à Ô f (z).

Or, la fonction étant monogène, sa dérivée est la même pour les deux déplacements. Donc, puisque |

df(z)=f'(z)dz, Ôf(z) — f’(2) dz, Ôf(z) dz — d f(z) dz.

on aura :

(1) Nous admettons ici que les notations d et à conservent la même définition que dans le cas des fonctions d’une variable réelle.

Mais la variation de l'intégrale définie, quand on passe de z0MZ à zoM’Z, est Z

Z Z re) de= | Br (e)ds + 1(a) dd] = | [d f (z) dz + f(z) d.dz]

0 0 Zo

Les points extrêmes étant fixes, on a 9z0—0, 0Z = 0 : donc,

Z à | f (z) dz = 0.

On a, par conséquent, le théorème suivant :

Z TuéoRÈME. — L'intégrale f(z) dz est indépendante du chemin d’inté- Zo gration, tant que la fonction f (z) reste synectique entre ces chemins. En d’autres termes : si l’on considère deux courbes allant d’un point À à un point B, et si f(z) est synectique dans la portion du plan comprise entre ces deux courbes, ces deux chemins conduiront à la même valeur de l’intégrale définie.

En cffet, on peut passer de l’une à l'autre de ces courbes par une série de transformations qui n’altèrent pas la valeur de l'intégrale.