On conclut de là le théorème suivant
THÉORÈME. — Si la fonction f (z) est synectique dans l’intérieur d’une courbe fermée, l’intégrale prise le long de ce contour est nulle.
Ea effet, l'intégrale prise le long de z0MZ (fig. 7) est la même que l'intégrale prise le long de zM’Z. Donc, si le point Z coïncide avec 2, cette intégrale sera nulle.
49. THÉORÈME. — Si f (z) est synectique dans la portion du plan comprise entre deux courbes fermées, les intégrales correspondant à ces deux contours sont égales.
En effet, le chemin A’B'C'A’ (fig. 8) peut étre remplacé par A’ABCAA. Or, l'intégrale prise le long de AA’ cst évidemment égale et de signe contraire à l'intégrale prise le long de A’A. Donc, les intégrales prises le long de A’B’C’A’ ct de ABCA sont égales.
Si nous désignons par I (S) l'intégrale prise le long du contour S, nous aurons évidemment :
I (A’B’C’4”) = I (A’ABCAA’) Or, 1 (A’ABCAA”) = I (A’A) + I (ABCA) + I (AA’) — I (ABCA). Donc, I (A’B’C’4”) = I (ABCA).
20. Examinons maintenant ce qui arrive lorsque le chemin d'intégration de la variable z renferme un point pour lequel f (z) devient ambigue, infinie ou discontinuc.
Si la fonction f (z) devient infinie, ou change brusquement de signe pour une valeur quelconque de z, elle ne cesse cependant pas d’être monodrome. Nous donnerons aux points, pour lesquels cela a lieu, le nom de points d'exception. Nous supposerons que f (z) reste monodrome entre des limites déterminées, mais qu'elle puisse devenir infinie et discontinue, ou l’un des deux seulement, pour des valeurs comprises entre ces limites. Ces fonctions sont appelées asynectiques.
21. Remarque. — Les points que nous appelons points d’erception, d'après M. Schloemilch (Compend. der hôh. Anal. II, 58), sont compris dans la dénomination générale de points singuliers de Cauchy. Ce dernier désigne sous le nom unique de points singuliers :
4° Les points pour lesquels deux ou plusieurs valeurs de la fonction différentes en général, deviennent égales entre elles. Ce sont les points que nous avons appelés points de ramification ou points d'embranchement. (Verzweigungspunkte).
2° Les points où la fonction devient infinie ou discontinue : ce sont les points d’exception. (Ausnahmepunkte).
Nous avons cru, dans l'intérêt de la clarté, et en cela, nous avons d’ailleurs suivi l'exemple de M. Hermite (Cours d’Analyse de l’École polytechnique), devoir conserver ces deux dénominations. M. Durège a adopté la dénomination unique de Cauchy. :
Les points de ramification sont ceux que M. Bertrand appelle points critiques. On pourrait adopter les noms suivants, qui répondraient bien, me parait-il, à la nature de ces points :
4° Aux points de ramification on donnerait le nom de points singuliers.
2° Aux points d'exception le nom de points criliques.
22. Ces définitions admises, soit ABCD une courbe d'intégration renfermant un point d'exception E. Supposons, en outre, qu'il ne se trouve sur cette courbe, ni à son intérieur, ni un second point d'exception, ni un point de ramification, et soit A’B'C’D’ un sceond chemin d'intégration (fig. 9). Si nous menons les deux droites AA’, CC’, nous formerons deux nouveaux contours fermés ABCC'’B’A’A et ADCC'D’A’A ne renfermant par le point E. En les prenant comme chemins d’intégration, nous aurons : | I(ABCC’B/ A’A) — I(ADCC’D'A’A).
Si nous décomposons les intégrales des deux membres en leurs parties, il vient :
I (ABC) + 1 (CC’) + 1(C’B’A’)+ I(A’A)=T(ADC) + 1(CC’) + I(C'D’A”) + I(A'A), ou bien I(ABC) — I (ADC) = 1(C'D’A’) — 1(C’B’A’).
Or, cette équation nous donne (1) I (ABC) + I(CDA)—1(C'D'A') + I(A'B'C'), ou bicn 1(ABCDA)=— I (A’B’C'D’À’).
On en conclut le théorème suivant :
THÉORÈME. — St la fonction f(z) reste synectique sur les deux chemins ABCD et A’B'C’D’, et dans la portion du plan comprise entre ces deux courbes, les intégrales correspondant à ces deux contours sont égales.
23. Corollaire. — 11 en résulte que l’on peut toujours remplacer un chemin d'intégration par un autre plus pctit, entourant le point d'exception. On pourra donc le remplacer par un cercle infiniment petit décrit autour du point E.
24. Remarque I. — Si E est le point d'exception unique compris dans l'intérieur de la courbe ABCD, on pourra prendre pour le chemin A’B’C'D’ un cercle d’un rayon très-petit r. Alors, en désignant par ë, n, les coordonnées du point E (fig. 10), on aura, pour les points x, y, du cercle A’B'C'D' :
x Ë+r cos 08, y=n + rsin 0.
(1) En effet, ôn a I (ADC) = — 1(CDA), L(C'B/À”) = —1I (A’B/C’).
Par suite, en posant Z2=X + ÿy, C—E+in,
il vient :
z— 6 + ref.
L'intégrale prise le long du cercle A’B'C'D’ devient alors :
0, +27 i f(G + reit}re'? d9, d cn désignant par 6, la valeur initiale de 6.
Lorsque r devient infiniment petit, on a lim (6 + re )re— À,
et l'intégrale donne
0,+-27 Si nous supposons, en outre, ce qui arrive généralement, que À est indépendant de 8, l'intégrale devient :
| Ari, et nous aurons :
( f (z) dz = Qirà, (1)
si le chemin d'intégration ne renferme qu’un seul point d’exception.
Nous désignons par f (z) dz l'intégrale de f (z) dz, prise le long d’un (n) contour renfermant n# points d'exception.
25. Remarque II. — S'il existe deux points d'exception à l’intérieur du contour fermé d'intégration, on peut trouver un résultat analogue. En effet, soient |
Gi = Es + its Ce — Es + is,
ces deux points d'exception. Menons une ligne AC (fig. 11) qui divise le contour en deux parties telles que chacune renferme un seul des points critiques. Nous aurons, pour le premier contour ABCA,
I (ABCA) — Air,
et, pour le second, I (CDAC) = Aire.
Or, 1(ABCDA) = 1 (ABCA) + I (ACDA)= I (ABC) + I (CA) + I (AC) + I (CDA). Mais, puisque 1 (CA) — — I (AC), il vient :
1 (ABCDA) = I (ABC) + I (CDA).
Par conséquent, I (ABCDA) — 2x (Ai + Às),
formule que l’on peut écrire ( f(z) dz = Dir (As + À).
(2) | En général, si la courbe renferme n points critiques, on a : ( f(z) de = Dix (li + de ++ À).
26. Il nous reste maintenant à voir ce qui arrive lorsque la courbe d'intégration se coupe en un où plusieurs points, c’est-à-dire lorsqu'elle entoure plusieurs fois un point critique. À cet cffet, considérons le contour ABCDGCHA (fig. 12), qui entoure deux fois le point E. Menons les deux lignes AD et AG, de telle sorte que la courbe ADG ne renferme pas le point E. On peut alors (47) remplacer le chemin DG par le chemin DAG : par conséquent, on peut prendre pour chemin d'intégration le contour ABCDAGCHA.
Or, ce chemin peut être décomposé en deux autres ABCDA et AGCHA, rtil vient :
I(ABCDAGCHA)—1I(ABCDA) + I (AGCHA).
Chacun de ces chemins n’entourant qu’une seule fois le point E,
l'intégrale prise le long de ce contour sera 2ixÀ. Donc, la valeur de l’inté-
grale sera 1(ABCDAGCHA) = ir,
ou bien | | I (ABCDGCHA) — 4irÀ.
27. En général, si le contour multiple est de l’ordre n#, c’est-à-dire s'il entoure 2 fois le point E, on a pour la valeur de l'intégrale
= Æ Anirà,
suivant que le chemin est parcouru dans le sens positif ou négatif.
28. TuéorÈme. — Lorsque le chemin d'intégration est multiple et de l’ordre n, il peut se réduire à un parcours multiple d’un cercle élémentaire décrit autour du point d'exception.
29. Eu terminant, considérons une intégrale prise entre les limites Zo Et Z:,
[ f (z) dz,
dans laquelle f (z) peut devenir infinie ou discontinue pour certaines valeurs de z. Examinons le cas où la courbe d'intégration ABCD entre les points À et D, entoure plusieurs fois un seul point d’exception (fig. 13).
Menons la ligne CA joignant au point A un point C, situé vers le point D, de manière que le chemin ACD ne renferme pas le point critique. Le chemin CD pourra être remplacé par le chemin CAD. Alors le contour d'intégration ABCD pourra être remplacé par le contour ABCA, entourant n fois le point critique E, et par la droite AD. Mais le chemin ABCA peut être remplacé par un parcours multiple d’un cercle élémentaire décrit autour du point E, et l’on a le théorème suivant :
THÉORÈME. — Tous les chemins possibles d'intégration entre À et D se réduisent à un parcours multiple d’un cercle élémentaire, décrit autour de E, et au chemin rectiligne AD.
