Lorsque z est une variable réelle, la fonction

est monodrome; sa dérivée est aussi une fonction monodrome, quel que soit l'accroissement dz de la variable.

= Proposons-nous de rechercher s'il en sera de même, lorsque z est une

variable imaginaire; observons d'abord que, dans ce cas, x, y sont deux variables indépendantes dont les accroissements dx et dy sont complétement indépendants. Pour que w + iv soit considérée comme une fonction de x + 1y, il ne suffit pas que cette expression soit déterminée quand on se donne x, y; il faut encore qu'elle ait une dérivée déterminée, et que le rapport de son accroissement infiniment petit à l'accroissement corres-

pondant dx + idy soit indépendant de + En d'autres termes, ce rapport doit être indépendant de la direction suivant laquelle le point z se déplace dans le plan xy.

Si nous donnons à x, y, des accroissements dx et dy, tels que dz = dx + idy, nous aurons :

do = du + iv) = du + ido = dE de + du y +1 (& dx +4 )

de dy dy”

On tire de là :

du ; a dr + du .dv du.

do d dx — +1 — y

d dy dy dz dx + dy du Li a) n du dv\ dy dx dx dy dy) dx . dy ° 1 + 2 dx

Or, cette formule nous montre qu’en général, lorsque x, y sont complétement indépendants l'un de l'autre, la dérivée T dépend du rapport . Comme la direction suivant laquelle le point z se meut sur le plan xy est tout-à-fait arbitraire, est une fonction ambigue, indéterminée : à une

même valeur de z, correspondent une infinité de dérivées.

438. Si l'on veut donc que soit indépendant du déplacement du

point z, ou que l’indétermination de la dérivée disparaisse, il faut rendre

dw . dy L indépendant de Te” <2 posant

On tire de là :

du. do. du dv | dy a (a &)

cette équation se décompose en deux autres :

du dv dv du

Ces deux équations expriment la condition nécessaire et suffisante pour

que la dérivée ÉD cit indépendante de la grandeur ct de la direction du

dz déplacement du point z : en d’autres termes, lorsqu'elles sont vérifiées, la fonction a une dérivée unique en chaque point.

Lorsque cette condition est satisfaite, Cauchy donne à la fonction le nom de fonction monogène.

Remarque. — M. Schloemilch donne une autre démonstration de ces relations (Compendium der hôüheren Analysis, II, p. #5). On trouve dans « la théorie des fonctions doublement périodiques » de MM. Briot et Bouquet une interprétation géométrique très-remarquable de ces deux équations. Cet ouvrage donne aussi l'interprétation géométrique de Cauchy.

24. On conclut de ce qui précède que pour que la fonction soit monogène, aucune des deux fonctions réelles u, v, ne peut être arbitraire. Chacune d'elles doit satisfaire à une équation aux dérivées partielles du second ordre. En effet, si l’on différentie la première équation (a) par rapport à x, la seconde par rapport à y, et si l’on retranche, on éliminera v; la variable w satisfait à l'équation

d'u n du 0 de dÿ

De mème, cn différentiant la première par rapport à y, la seconde par rapport à x, et ajoutant, on éliminera w, et il vient :

d'v n do 0 dit dy

D'après cela, w et v satisfont à une seule et même équation aux dérivées partielles du second ordre.