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sont aussi susceptibles d’une réduction semblable; on les appelle intégrales elliptiques, parce que la rectification de l’ellipse dépend d'une intégrale de cette espèce.

A la vérité, il n’est pas possible dans ce cas, de faire disparaitre le radical; mais l'intégrale peut être ramenée à d’autres plus simples et de la même espèce, qui sont regardées comme les éléments constituants de l'intégrale générale.

A. Pour effectuer la réduction en question, considérons d’abord l’inté-

grale :

( dx TT — V/ Ao-+ At + Ao? + Asx5 + A,xt

où, pour abréger, nous représentcrons Ao + A4x + ---- + At par X, et supposons provisoirement que À, soit différent de zéro. Désignons les quatre racines de l'équation X = 0, par @1, @2, as, @4; si elles sont toutes réelles, supposons-les écrites par ordre de grandeur, c’est-à-dire a < @s <a; <a : si deux d’entre elles sont réelles, et les deux autres imaginaires, soient a, ct a. les racines imaginaires de la forme = +, . G=u—w; si toutes les racines sont imaginaires, soient a; et a, deux racines conjuguées, et soit l’autre couple | Os = Ms + Vas Ga = {lu — EUTR On a alors, en écrivant, pour simplifier, À au lieu de A:, X = A (x — a) (x — as) (x — as) (x — au) = À [et — (ai + Gs) © + Gas] [x — (as + as) © + as];

par suite des hypothèses précédentes, les facteurs du second degré sont

réels. Examinons d’abord le cas particulier où l’on a :

di + ds = Us + la,

et soit 2a la valeur commune de ces deux sommes. On peut alors donner à X la forme |

X = À [(x — a)° + aias — a] [(x — a)? + a5as — a°], où l’on peut encore poser, pour abréger,

a — aile Ds, a? — G3G4 —= be.

Si l’on substitue dans l'équation précédente :

ft vx A [(œ — a) — bi] [(x — a) — 6]

au lieu de x la nouvelle variable y = x — a, il vient :

nzrenren

L'intégrale proposée se ramène ainsi à une autre, dans laquelle il n'entre que des puissances poires de la variable d'intégration.

Dans le cas général | <

ai +as As + Aa,

reprenons, pour arriver à une réduction semblable, l'équation dx

Te vx VA (x — ai) (t — @s) (x — as) (x — ai)

et employons la substitution pr y X = 1+ y ’ (2)

où p et q sont des constantes dont la valeur est actuellement indéterminée.

Il vient alors :

( dx = (g—p) dy.