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en faisant, pour abréger, Ui=p—a+(q—m)y,
Up — as + (q —@s)y;
n) € ainsi de suite.
Il s’en suit :
— Us (p — @) (p — as) + [(p — a) (q — as) + (p — Ga) (q — m)]y
+ (g — a) (g— as)",
À y UsUs = (p — as) (p — @4) + [(p — as) (q — æ) + (p — @) (g — as)] y +(q— as)(q —m)y.
qu
Si le produit U,U,;U;U, ne doit contenir que des puissances paires de y les coefficients de y dans U,U, et U;sU, doivent étre nuls; il vient, pour déterminer p et q les deux équations suivantes :
pq — à (ai + a) (p + 9) + aus = 0,
pq — à (as + a) (p + 9) + asm = 0.
En posant 1 1 où past ( sP+g=s, s(p—g=t d'où pg—=s—!#",
les équations précédentes donnent :
(—{(8 — ai) (8 — @), (—(s— as) (8s— &),
et l’on a ensuite :
ils — Usa 8— ius s%4 , (5) Œy + Aa — (as + &)
4 (a: — as) (41 — ui) (as — as) (us — Ga) (4)
= Qi + Ga — (as + du)
Pp—=s8+ti, qg—=8—lt. (5)
D'après les hypothèses qui ont été faites sur les racines a1, @s, &5, as, 8 est toujours réel : pour ce qui est de {, nous devons examiner trois cas : pour des racines réciles, chacun des quatre fateurs ai — as, ai — as, ete., est négatif, et par suite { est récl. Pour deux racines réclles et deux imaginaires, les quatre facteurs peuvent être groupés comme suit :
À (au — as) (as — as) (ai — a) (as — a) = [pe — aa)" +09] [lu — at + 1},
et ils donnent un produit positif. Enfin, pour les quatre racines imaginaires, les facteurs peuvent être écrits :
(Gi— as) (as — as): (ai — a) (as — as) = = (Que — pu) + (v — va )] [Que — pu) + (v +)";
ils donnent aussi un produit positif. Par suite, t est toujours une quantité réelle. Par conséquent, p et q ont des valeurs réelles ct finies. La trans-
formation en question peut donc toujours s'effectuer dans tous les cas, et l'on a :
= | (g — p) dy
X A[(p— as) (p—a2)+(g— a) (g — as)y*][(p—a5)(p — @4)+(9— as) (9 — as) y
Soit encore, pour abréger,
— À (g — 4) (g — as) (g — 43) (q — 4)
(6) p—-Pz4)(P—e) }, __(P—0)(p— a) (g— a) (g — &)
où B, b,, b, sont des quantités toujours réelles : on a alors la réduction importante
dx
= ——"— : (8) VA (m—a)(r—a)(r—@)(r— 0) /B(y"—b:) (y"— ds) La marche ultérieure du calcul dépend des signes des quantités B, b4, b, : on doit d'abord distinguer si B est positif,et — + y*, ou négatif et = — y";
dans chacun de ces cas, on peut faire une des trois hypothèses suivantes = + B*, x = + B?, —— Pt.
Quant à l'expression B (y* — b:) (y* — bs) que nous représentons, pour abréger, par Y, elle pourra avoir six formes différentes que nous allons
bi — — a,
examiner séparément.
Soit d’abord :
Y= y (y — a) (y° — P*), et a? la plus petite des quantités «*, f*. L'intégrale aura alors une valeur
réelle, si y? < at < f*, ou y > ft > at.
Dans le premier cas, si l’on substitue
ar
VA — 2) (ee)
il vient :
lei, x et z sont des fractions positives, dont la dernière croit avec y.
Dans le second cas, si l’on pose
il vient :
( dy 1 ( de VA CPI TEEN EE x et z sont aussi des fractions positives, dont la dernière décroiît, lorsque
y croit.
Pour la deuxième forme :
Y= 7} (y + 0) (y — P*), où évidemment y! doit être > f*, on se servira de la substitution
— ———, -—É, Var Vis
et il viendra :
He VY yV a+ ft 1— 2?) (1— xz!) Ici, x et z sont des fractions positives, dont la dernière croit en même temps que y.
Si Y a la troisième forme :
= ÿ' (y + at) (y°+ B?), et que &* soit la plus petite des quantités a? ct G*, on substitue
VE =PV1—#,
il vient alors :
x et z sont de nouveau des fractions positives, dont la dernière décroit lorsque y croit.
Si Y a la quatrième forme :
V= (pt — at) (B— y),
et si a* est la plus petite des quantités a, f, il est évident que y* doit être compris entre a?, *. Les substitutions
B IT Aa
donnent :
(2 dy | ——“— dz + Blya=s a x) où x et z sont des fractions positives, dont la dernière croit en même temps que y.
Pour la cinquième forme :
Y= y (y? + at) (B* — y),
on se sert des substitutions
on a alors :
u FA ? ile rer:
où » et z sont des fractions dont la dernière décroît lorsque y croit.
Pour ce qui est de la sixième forme, elle n’a aucun sens, puisqu’alors l'intégrale a une valeur imaginaire, qui se déduit de la troisième forme multipliée par / — 1.
Le résultat des recherches précédentes conduit au théorème suivant :
L'intégrale |
( dr
VA (x — @) (x — as) (x — as) (x — œ)
peut étre ramenée, par deux substitutions, à la forme beaucoup plus
simple :
où x et z sont des fractions positives.
Nous devons encore mentionner la modification dont on fait usage dans
le cas où le polynome X est du troisième degré, c'est-à-dire la réduction
de l'intégrale dx
VA G— a) G— a) G&—&)
dans le cas où les trois racines sont réelles, et a: < &s << @s, ou bien dans le cas où a; est la seule racine réelle. Il suffit alors de remarquer que lintégrale précédente peut être regardée comme la valeur limite à laquelle se ramène l'expression
V/— a dx lorsque a, croit indéfiniment. 11 suffit pour cela de multiplier l'équation (8) par y — a, et de chercher les valeurs limites des quantités
P: VE — Tv ba, be.
Si nous désignons la troisième de ces limites par gp’ nous déduisons, pour &4 =, des formules (5), (4), etc.
8—= 5, ER 4 (ar — as) (as — as), P—=as—V/(a1—as) (aa —as), q—=8+y (ai — as) (aa — a5), (9)
B'— À (qg— as) (g — as) (q — a), (10)
(Pa) (Pa), j,__P—%, = = a) q—0) q— as Se la formule (8) donne dx dy —————————————— = (9 D) | ">, (12 ss he
et entre les variables x, y on a la relation (2).
L'intégrale du second membre a la même forme que l'intégrale (8) relative à y; la réduction ultérieure sera la même des deux côtés.
B. D'après ces recherches préliminaires; il n’est pas difficile de transformer l'intégrale générale :
( F (x) dx (” (x) dx
— ET 9 V Ao + VE + A,x° + A:7x5 + A,x* x
dans laquelle F (x) est une fonction rationnelle algébrique de x. La
substitution z— p + VER 1+y donne d’abord : :
F + d (ET de (4 ( r (EE) SE (13) x +Y/VXY
et Y est ici, comme ci-dessus, de la forme B (y*— b,) (y? — bz).
En outre, F (7) est encore une fonction rationnelle algébrique
de y, de la forme P+QY\ __Go+ Giy + Gey° + Gsy5 + Gay +.
4A+y y) H+ Hey + Hay + H:y5 + Hay + LL Go + Gay? + Gay + ce + (Gi + Gsy? + ) y EE Ho + H:y° + Hay! + + (H, + H;y° + .…) y
Si l'on multiplie le numérateur et le dénominateur par Ho + H:y° + Hiy* + ...— (H: + H;:y° + .……) VE
le nouveau dénowinateur renferme seulement des puissances paires de y, et le nouveau numérateur des puissances paires et des puissances impaires, que l’on peut séparer comme précédemment. Le résultat est de la forme suivante :
p+Qqy\ Mo+ May +... + (Mi+ My +... y re =) = No + N:y° + Niyt +...
ou bien
F (ETS) 20 (0 + V9,
équation dans laquelle ® et Ÿ sont des fonctions rationnelles fractionnaires. De l'équation (15) on déduit, en vertu de la valeur de y,
F(r)dx , P (y) dy APE x L p| B(y*—bs) (y*—bs) ae 77
et l’on a maintenant à examiner de plus près les intégrales du second membre.
La dernière devient pour y* = z, 1 W (z) dz | s VB (e— bi) (— bi)
elle peut être calculée au moyen des méthodes ordinaires, c’est-à-dire être exprimée par des puissances, des logarithmes ou des arcs de cercle, et il est inutile de s’en occuper davantage.
Il n’en est pas de même de la première intégrale (14), pour laquelle on doit employer des substitutions différentes, suivant la nature de B, bi, b.. Mais, on observe facilement que ces substitutions sont renfermées dans la forme commune :
+0 | e+urt?
par suite, la fonction P (y) = se ramène à une fonction rationnelle de 2°, telle que Ô + 0,2! | Po + Paz? + Part.
e+ €12° Qo + Qt + Quzt +. -?
nous supposons pour la généralité que cette dernière est une fonction fractionnaire. Elle se transforme par la division en une fonction entière Ko + Ks2° + K,z! + ..., ét une fraction, qui peut se décomposer en fractions partielles de la forme :
Mo + Msy° + Miy* + No+ Nay° + Nayt + ..
L (1 + Azt}" En outre, comme par la substitution employée pour y, on a : dy dz
———————"ñ" —___——————2 = ————— V/B (y*—b1) (y"—bs) A — 7) (1—x21)
il s’en suit que l'intégrale F () dx
se ramène à trois groupes d'intégrales. Le premier groupe comprend les intégrales de la forme :
z"dz ses
où m désigne un nombre pair; le deuxième groupe se compose d'intégrales de la forme :
dz a —— (16) +) (1 — 2) (1 — 221) dans lc dernier groupe il n’y a que des intégrales qui peuvent s'exprimer par des puissances, des logarithmes et des arcs de cercle. Nous avons maintenant à nous occuper de la réduction ultérieure des
intégrales (15) et (16). Ordinairement, par la substitution z = sin , et par l'introduction de la notation abrégée :
Ap=y 1 —x sin 9,
on leur donne une forme trigonométrique plus simple. On a ainsi :
__ ( sin” dy v dy | = A ” = (Ts (7)
