C. Par la différentiation, on obtient

2 ainm-1 Li d'[sin®-3 cos ® Av] = [(m— 3) sin"! o cos? P— sin"2®] Ap do ——— ——"dp

sin”

— (m —5) HE Jo — (m — 9) A+) À ee dp+ (m — 1) EE dy

d'où, par l'intégration, | sin"—5 cos pAp= (m—5) Un 4— (m—2) (1 +x!)Un-s+(m—1)x Un. (18) |

Cette formule de réduction montre comment U,, peut se déduire de Un et U.. : pour m = #4, 6, 8, etc., elle fournit successivement U:, Us, Us, etc., exprimées au moyen de

À cause de

on a encore :

| U: = 3 [ue — (4 de |:

Le développement de U, conduit donc aux deux intégrales : dp (& et f 3? dy,

dont la dernière provient de la rectification de l’ellipse.

D. En désignant, pour abréger, p/(1 — z*) (1 — x?z?) par R; on

obtient par la différentiation, une équation de la forme :

\ zR | C326 + Cazt + C12? + Co d2z oo 9

TEST El TES" C R

où les coefficients co, C1, Ce, cs dépendent de x, À et n. On peut donner à ce résultat la forme suivante :

ad R pr) + (+) + y (+ 2e) + yo dz LOL ap (1 + Àz?)" R

… dz dz dz M dz | Pa R ea) R a PU + A) R

Les valeurs des nouveaux cocfficients que nous désignons par y sont :

1+xt x = (n—5) (1 +2 : +35)

A+xt x je (2 —2) (1 + ï +5)

Par l'intégration de l'équation précédente et la substitution de z—sin 9, on arrive à la formule de réduction suivante :

sin cos o AY

+ Xsini gr = ÿs Vos + ya Vus + 7: Vas + yo Vs, (1 9)

laquelle subsiste pour toutes les valeurs de n. Si l’on fait successivement n = 2, 5, 4, etc., on trouve Va, Vs, V4, cte., exprimées en fonction des trois intégrales :

1 +sinto do do es er SET

Les deux premières appartiennent à la forme déjà considérée plus haut, tandis que la dernière constitue un nouvel élément.

De toutes ces recherches il résulte que la réduction de l'intégrale elliptique générale

( F(r) dx mm / Ao + A1 + Asxt + Asx5 + Aux ,

dépend d’une part de puissances, de logarithmes et d'ares de cercles, d'autre part de trois intégrales elliptiques particulières, qui peuvent être écrites sous la forme algébrique :

dz - À — x?z! | dz ms Ver Go

ou, sous la forme trigonométrique :

do dp ae fard, (orge

Lorsque ces dernières intégrales sont prises entre les limites o = 0, ct @=—= 9, on les appelle {ntégrales elliptiques de première, de deuxième et de troisième espèce, et on les désigne par :

F (x, (ee, E (x, 9 = (A de, IL (x À = oA? . 0 7? o(1+À sine) A

La limite supéricure ç s'appelle l’amplitude, x le module, À le paramètre de l'intégrale en question (1).

Au moyen des formules (18) ct (19) on trouve facilement les équations suivantes que nous rapprocherons, à cause de leur usage fréquent, ct dans

(1) La réduction précédente de l’intégrale elliptique générale a été donnée par Lecenore dans son Traité des fonctions elliptiques : elle est simple et naturelle. On doit d’élégantes modifications à Ricnecor (Journal de Crelle, XXXIV, 1) et à Weixasrrass (Schellbach. — Die Lehre von den elliptischen Integralen und den theta functionen). La théorie générale de la transformation est une création de Jacom (Fundamenta nova theoriue functionum ellipticarum).Jacobi désigne par la lettre TT une autre intégrale que Legendre; c’est pourquoi l'on distingue, par un indice, l’intégrale de troisième espèce de Legendre de l'intégrale de Jacobi qui se présentera plus loin.

lesquelles, pour abréger, nous écrirons À, F, E, au lieu de Aw, F(x, &), E (x, o) :

frs pdp F—E 0 A — x?

j'en e dr E—(1—%x}F ae —————————————— 4

('ispde 9e, 0 A A— x

Ç sec pdp At@p+ (1 — x?) F—E

0 A A — xt F4 .. 1 x? sin @ Cos | Dr pe), Paint q ne — À E—(1—x*)F sin cos { AS A om A

Ÿ cos! o F—E sinpcoso [ee à m 7 A

Ici se placent encore deux remarques importantes. Si l’on différentie par rapport à x l'intégrale désignée par E (x, +), il vient :

dE ? sin?

[ET de

c'est-à-dire, d’après la première formule,

c'est-à-dire, d’après l’avant dernière formule, dF 1 (ET Rene) —* ———— )

IL. Substitution de Landen pour les intégrales de première espèce.

Si, dans l'intégrale elliptique de première espèce :

F (p,r) | ( dr > 1) —= ge “—?

OV 1 —p'sin?r

on introduit au lieu de 7 une nouvelle variable w, liée à 7 par l’équation

sin 20 sin 26

p + cos 20 BT— p+ cos 20

T = arc tg on trouve successivement :

À + p cos 20 dr =" — À + 2p cos 20 + p°

V1 — pt sinr — 4 + p cos 20 V1 + 2p cos 20 + p°

. d’où, par division, et à cause de cos 20 — À — 2 sin° «, dr 2 dw

Vi=pante 1+P [gp À —p'sin?r 1— 4p into G+p)

La limite inférieure 7 — 0 donne w — 0; en outre, 7 ct w croissent en même temps, et lorsque 7 atteint une limite supérieure représentée, pour abréger, par 7, prend la valeur déterminée par l'équation

sin 20

BTE cos 20

> Ou sin(2w—T)—psinr. (20)

De l'équation ci-dessus il suit :

+pP c'est-à-dire, si l’on pose, pour abréger,

2/P où 9— T+p d'où p=