TA A A

FT) = F (po). (22)

Telle est la réduction d'une intégrale elliptique en une seconde d'un autre module, et d'une autre amplitude.

Relativement aux rapports de grandeur entre p ct q, comme entrer ct w il faut remarquer ce qui suit :

À cause de p <1,ona (1 +p}° < 4, ct

4p Hp P? P°, c'est-à-dire g>ps où q>p.

De (20) il résulte encorc :

sin (26 —7T) <sinr, ou 2wo—rT<7T, ou w<7T.

L'équation (22) montre d’après cela, comment une intégrale elliptique peut être ramenée à une autre d’un module plus grand et d’une amplitude moindre.

Si l’on donne à l'équation (22) la forme inverse :

F(g 0) = TP (pc) 5)

dans laquelle on considère q et w comme donnés, p et Tr comme en étant déduits, l'équation (25) montre que toute intégrale elliptique peut étre réduite à une autre d'un module moindre et d’une amplitude plus grande.

Les deux théorèmes démontrés fournissent deux méthodcs remarquables pour le calcul numérique de la valeur de F (4, ç). Il suffit simplement d'appliquer à l'intégrale proposée l’un ou l’autre théorème plusieurs fois de suite.

Dans le premier cas, on calcule une série de modules croissants k,, k:, Cte., cten même temps unesérie d’amplitudes décroissantes q1, ®, ete., au moyen des formules :

sin (291 — y) = k sin #, Sin (29s — ps) —= k1 Sin 91...

et l’on a les équations correspondantes :

F(k, ?) A+Ë F (ki, pt)

F (k:, g1) = 1+k (ka ps), etc.

. I en résulte, si l’on va jusque k, et w..

141+k 1+k 1+k CT FU pe), ou plus simplement :

F (k, œ) = F (k, Pn) ° Ve ke

D'après la condition que les modules croissent continuellement, sans atteindre l'unité, 4, doit converger vers une limite déterminée 71, pour

n croissant indéfiniment. On trouve facilement cette limite au moyen de la relation

qui donne :

| — koi «| — /k, |

D’après cela, on a, dans tous les cas,

À — ka4