AE

lim ———

D’après un théorème connu (Bertrand, Calcul différentiel, p. 232) : lim({—k,)—0, ou limk,—1.

Puisque, en outre, les amplitudes décroissent continuellement, sans devenir négatives, lim #, doit être une quantité finie et déterminée ®, qui se déduit facilement du calcul précédent. On a, d’après ces remarques,

® d? 4 . 1 lim F k,)= | = (ire 50):

(ns 9) 0 V1 — sin? % 2

par conséquent, la formule précédente de F (k, +) se transforme en la

F(k,#) 118 (& T + 50). Sites,

Cette formale donne en particulier, pour de grandes valeurs de k, un calcul commode, puisqu'alors ks, k, se rapprochent de la limite 1. On a,

par exemple, pour 4 — 21 9 — 95° | k— 0,96; k1—0,9997917 ; ks — 0,9999999 ; d’où, à une unité du septième ordre près, ks — 1. Si l’on prend, en outre,

p=— 7, On Obtient -

5) p — 60°0/0/’; Doi — ? — 56°14/28//50, qi — 58714415; pa — p1 — 58°6/50”, | ps —= 58°6/39/57 ; au cause de ks = ks —... —1, le calcul s'arrête ici de lui-même, et donne

pe == ® — 58°6/59//57.

Il s’en suit :

24 1 N nan /0,9997917 F G 3 r) = |. tang 74 9 19779. 70,9% — = 1,278522.

Si l'on veut au contraire calculer F (k, +) pour un décroissement successif du module, et un accroissement de l'amplitude, on se servira de la formule (23), dans laquelle p doit être déterminée par la deuxième équation (21), et 7 par l'équation (20). Cette dernière prend une forme plus commode pour la pratique, si l'on met dans le second membre de

tg (T — w) — Tl+rtmgrigu

au lieu de tg7 sa valeur, et que l’on exprimé le tout en fonction de sin et cos w. On a, en effet,

À — &—ow)=; Boite o.

Si l'on calcule maintenant successivement les quantités k:1, k:, etc, et pa, pe, etc., d’après les formules :

PA A Ed LL 141 1+py1i—ks Bni—v)=V1—#kig 9 (gp —p) = VA — kit tg pi...

on a les équations correspondantes :

4A+k F(k, p) = — F (ki, ga)»

A+k FE gr)= © F (kr, gs), etc.

Il s’en suit, si l’on va jusque k, et »,, F(k,9) (+6) +)... (1 +4.) 29 Enr #0) ” » ve),

La valeur limite vers laquelle k, converge par décrofoment s'obtient en observant que

BL ELU+VAR) (4 A ex donc, dans tous les cas, . ka:

lim T—

On en déduit lim k, = 0.

De là il résulte :

Pn F (fs 9) — lim | 2° 0 2 V/1—ksint 9 cette valcur limite, qui doit se déduire facilement par le calcul des ampli-

tudes croissantes, se désigne par ©. On a donc, d'après les remarques précédentes,

F(k, 9) = D.(1 + 4) (4 + hs) (1 + Es)

De l'équation tg (qnz1 — pr) = 1 — 43 tg 9, on déduit d’ailleurs, que, pour k, très petit, on a approximativement gni1 — ÿn = ÿn; Chaque

Pn, 9n?

Pn lim = lin | im

— d — amplitude doit donc être environ le double de la précédente. Cette rela-

tion a lieu exactement pour g = gTiona alors :

pi= TT; Pa = 27, ps = ÀT,..….

d'où im =?

D — lim 9 — 9 et

F C : ) = ; re(4+ k:) (+ ke) (1 + Es)... -

La comparaison avec la formule précédente donne : FÜR r):Fb = tr: d:

de là résulte la signification analytique de ®. Cette méthode de calcul prend une forme très-élégante, si on l’applique à l'intégrale ( dy 1 r(r a — b' +) —————— menus (OUR one —————— 4 opa*cos9+b?sinto 4 a !

laquelle peut être désignée, en abrégé, par f (a, b, +). On a alors :

ET == i+kh= © ,

b e Bi) =" 189; d’où, par une transformation simple,

a ( dy:

Si l’on pose, pour abréger, a=s(a+t), by, on a la relation simple f (a, 6,9) = : (a, bus mu).

Pour appliquer cette transformation plusieurs fois de suite, on calcule successivement les quantités suivantes :

a — ; (a+b), bi=yab, Us —= : (a: + bi), ba = 4 @ibs,

As = : (as + b:), b; = V asbs,

Bn—n=:% Ba—p)= gr

b 8 (75 — vs) — 1B pass...

et l'on obtient, en allant jusque a,, b,, gs, 1 Pr den L (as b, 9) = 3 1 (aus b #)= | — +" — 0 2 a, cos’ », + b,' sin? y,

D'après ce qui précède, lim k, — 0, c’est-à-dire dans le cas actuel,

lim / —(*) —=0, d'où lim À — 1; Un An

les quantités a, et b, convergent donc vers une limite commune, que l'on appelle le moyen arithmético-géométrique de a et b. Si l’on désigne cette quantité par c, on a, par n croissant indéfiniment,

Pn | lim F (an bn, gs) bn 9) = Jim ( # ! lim ©.

D'après ce qui précède, on a donc :

où ® désigne la valeur limite du quotient È .

Dans le cas particulier + =; x, On a Ÿ =; r; d'où

1CL le 2,

EI) 2 c Le calcul de l'intégrale F * dy ee 0 251 cos? ? + 7° sin? y

servira d'exemple : cette intégrale est très-défavorable pour la méthod exposée, puisque a et b diffèrent considérablement. On a a — 25,0000000, b — 7,0000000;

ai — 16,0000000, b1 — 13,2287566;

QG: — 14,6443783, bs—14,5485431 ;

as —14,5814607, bs —14,5814935;

ax — 14,5814491 — b,— 414,5814491 = c;

pu—p = 2508921987, oi — 85°59/19//87, ga — qu = 85°0/41//25, gs — 170°53/110, ps — gs = 1470352647, os — 341048/27/57, qu — ps — 341048/27/79, o— 683°36/55"29,

qu = 420B6/9/"95,

ps = 4204315727,

OO = %|n> pol

ps — 4945/33/45,

D = arc 4243/33"456 — 0,7457087,

L'exemple traité par la première méthode fournit la vérification de ce qui précède; on a en effet :

1 1 /2 1 f (25; 7,3 x) TL Gr : r) — 0,04-1,278522 —0,05114088.

A Pour les mêmes valeurs de a et b, et » — 5 T0na:

d’où, en multipliant par 25,

III. Substitution de Landen pour les Intégrales de deuxième espèce.

Dans le chapitre précédent nous avons fait usage de la substitution

sin-26 7 p+ 008 20°

(gT

on en déduit les trois équations suivantes :

p + cos 2w COST = ——

V1 + 2p cos 20 + p°

/1= pain — —1+p00520 V1 + 2p cos 20 + p°

__ 2(1+p cos 20) 4 + 9p cos 20 + p°

Cette substitution s'applique aussi aux intégrales elliptiques de deuxième espèce, et conduit à des résultats remarquables.

Si l'on emploie cette substitution pour la transformation du second membre de l'équation

Er) +painc = | (1 — pt sin* r + p cos r) dr,

on obtient 1 + p cos 20 2 pr

E(p,e)+psinr 2 | —"—— do= —— 0ÿ/1+ 2p cos 20 + p' 1+PJ5o pA—gsinto

où l'on a posé, comme ci-dessus,

On peut écrire le second membre de l'équation précédente sous la forme :

[ Le +p)V 1—gfsino + (1—p) = do=(1+p)E(g, 0) +(1—p)F( On obtient ainsi la formule :

E(p,r)+psinr=—({+p)E(q,&)+(1—2)F(q,w); (24) à cause de F(po)=3 (1+p) F(p,5), on a, en outre, | E(p,r)+psinr= (1+p)E (g 0) +5 (1— pt) F (psc)

ou bien :

= Up") F(p;T)—=E(p,;t)—(1+p)E(q;w)+psinr. (25)

On en conclut le théorème que toute intégrale elliptique de première espèce peut étre exprimée au moyen de deux intégrales elliptiques de deuxième espèce.

Les formules que nous venons de trouver donnent des applications tout-à-fait semblables aux relations simples ci-dessus (22) et (25). On les

emploie, ou bien, pour augmenter successivement le module d’une inté-

grale elliptique de deuxième espèce, et diminuer en même temps l’ampli-

tude, ou bien, pour diminuer le module et augmenter l'amplitude. Nous allons appliquer cette méthode à l'intégrale plus générale :

. + CR | 6w5)= | À+usin?r dr,

0 1—p'sin?r laquelle se compose d’intégrales elliptiques de première et de deuxième

espèce, si À, 1 représentent des constantes quelconques. Si l’on transforme, en effet, l'équation identique :

ps) Ésine | [au RE REVERS AEELN dr ? 0 P y/1 —p" sin r

au moyen de la substitution mentionnée ci-dessus, et si l'on a égard à la relation

il vient :

Gp) — 5% sinr = Er (+

à—5 =, : —= Mt (26)

on trouve :

9 po A+ pu sin o do 1 ri) y/1— 9" sin w L'intégrale du sccund membre a la même forme que G, et peut être

représentée par Gi (q, «), pour indiquer en même temps que À, fu, sont mis à la place de À, u. Au moyen de l'équation

G(p,7 — spusinr =

Gp, r)= 2 5 Eu 6) + 5 musinr, (27)

l'intégrale G est réduite à une autre de la même espèce ayant un

module q plus grand, et une amplitude « plus petite. Si l’on applique plusieurs fois successivement cette réduction à l'intégrale ? in G— À + u sin? y 0p/1—k&"! sint9

on obtient la série suivante d'équations :

G 4+E Ga +: 9! Sin ?; 2 4.