G= DE + 3 M: SIN

On continuera ainsi jusqu’à ce que l’on puisse poser avec une exactitude suffisante k, — 1. La valeur de G, est alors :

GC — ( Àn + Un Sin? ? de = 0 cos ?

(An + Un) 1. 1g (r+ : .) — Un SIN Pa)

et l’on peut déduire successivement des formules précédentes G.1, Gus. G1, G. Nous omettons les détails de ce calcul, parce que la deuxième méthode que nous allons faire connaître donne des formules plus simples.

Des équations (26) et (27) on tire :

Gi(q,o0)= Gp) — 3e sin |

| 1 B— 9 HP Â= + gp.

Supposons que l'on donne À:, 1, par exemple, À, = @, p1 = G, et que l'on en déduise À= œ&1, —f; si l’on écrit, en outre, G au lieu de la fonction primitive G:, et si l'on remplace ensuite la fonction dérivée G par G1, on a :

G(q, o)=— nu 1: (p, 56 sin r |

| œ=a+ Dh, Pi = 3 PP.

L'intégrale G est alors ramenée à une autre G:, dont le module p est plus petit, et l'amplitude r plus grande. Cette relation est d’un usage fréquent ; on déduit, en effet, de l'équation

? sn?

c= | a + (sin? y de, NET

les équations suivantes :

G = Gi— 5 Bain )

Gi = — Go — i Brsines )

el

dans lesquelles K1, ks, .... représentent les modules décroissants, CIF 92, ... les amplitudes croissantes. Quant aux quantités &1, &s, ... Bas, B, .…, elles sont déterminées par les formules :

| | a=a+ jh, Pi= 5 Ph

1 | as = a+ 5h, Pa 3 Pikss

Si l’on imagine les équations précédentes continuées jusque G,, alors G s’exprimera en fonction de G,; cela se fait le plus simplement possible, si l’on multiplie ces équations par les facteurs correspondants :

et que l’on ajoute les produits. On obtient ainsi :

A+bk, Ask 1+k 1+k,

= 72 2 2 Ge SR ps Au k: 1h note gp 2 PRE g SP

Lttk 1+k 1+h in T9 9 "9 — n—! qn À

où l’on a Cu = (à rhsne 1 —k, sin? 9

Un = À + : 28 (1+5 LE DE ee me) |

p, = g FE -.f He ILES

Si maintenant, on prend # assez grand pour que l’on puisse supposer avec une exactitude suffisante £,=— 0, on aura, à fortiori, B,—0. On a alors :

Pn G, = ( CA = AnPn)

A+k: A+ke A+ks 1+k, 9 9 9 ve. 3

Ga an (1464) (14h) (14h) 25

ce pour #7 = , on a exactement, en représentant, comme ci-dessus,

lim ? z par ® et posant lim «, — À,

G— AD (1 + 4) (+ ds) (1 + A)

4 + k Sin L+ko)(A+ks) ki . 581 2 + U+E) T ) + ), du (+) (+43) (+ Hs) Eu, + os sin ps + .….. e

a=a+ 5 6(1+; ki +16, tie. -)

Afin de simplifier la formule trouvée pour G, nous observons d’abord que l'on a

P.(A+k)(A+k:) + =F(k,?); en second lieu, des équations

k: ka 2 ks = k = k1, — A+ks