L.. 1—VA1—H6 L 1—A —k: in EEE LL 1+10/4 —k 1+pA—k
Gi —v)—=V1—Htgs, (ga—p)=y/1—k Lg Procose
et l’on a alors :
? a+/Gsing., 1 1 1 4 FE dr (k, g) ja + LORS)"
—£ À sin qu + à /Æiha sin gs + © v'k 1kaks sin 95 + 4 (28)
Pour a —14, B——£#!, on obtient immédiatement une formule pour le calcul de E (4, +), c’est-à-dire
1 | | E(,#) = F(b, 9) 1— 3 de (1+ DETTES -}
+k\3 Hi sin a+ | z VHks sin 9, + cf. (29)
Dans le cas particulier 3m ON A pI—= TT, Pa —2T, ps — 47, etc.
Il vient alors :
CE )=r (45 )h—5e(s + L ka un + À. (30)
On pourra aussi, d’après cette règle, calculer l'intégrale
? V4 2 }2 a? cos* ? + b? sin? o dy = aE (—, p
dans laquelle on peut se servir de nouveau du moyen arithmético-géométrique entre a et b. On a alors à déterminer les quantités suivantes
LE (a— +) a = à (a+b), b=y'ab, ki ——— —— | " a (a — bi) Ga = 3 (ai + bi), by Gibs, ka = ——
Gs e e
b bu B(a—9 =" t8n 18 (rs —09) = Bu
si l’on pose alors
lim a,—=limb,=—=c, lim (&) = Ÿ,
il vient :
? ® 1, 1 1 at cos? 9 + b* sin° + do — à ja — (at) a; CES)
+2 (a—b) a | ER sin qu + à Vs sin na (51)
LU e TK En particulier, pour + — g 0na:
(par cost p + D sint y de = a? — (a —b) a: 1+oki+rhkihkst + (32)
Soit, par exemple, comme dans le chapitre précédent, a — 25, b—7; des valeurs calculées pour a, b1, @2, be, ete., on tire : ki —= 0,5625000, 3 k1 — 0,2812500,
ka — 0,09481 29, kike — 0,01 33350,
ks = 0,0022575,
I > Lel >
kikeks = 0,0000151,
k4—0,0000013, ° TT
ka .. ka = 0,0000000,
; ki sin qu = + 0,3740272, : V kiks sin Pp—= + 0,0091474, | .
8 V kikeks sin ?3 — — 0,0004282,
L V' ka. ka sin gs —= — 0,0000005, 3 Tr / 251 cos + + 7? sin? ? dp — 22,081387,
= T Ê 252 cos’ ? + 7° sin? de — 27,165662.
Cet exemple montre que, même pour des rapports défavorables entre a et b, la rectification d’un arc d’ellipse peut être obtenue beaucoup plus facilement par la méthode précédente que par les formules ordinaires du calcul intégral(1). En effet, pour les valeurs données, l’excentricité numérique € =< diffère peu de l’unité; par suite, les séries procédant suivant les puissances de € convergent si lentement que l’on devrait sommer au moins cinquante termes, pour obtenir six décimales exactes.
La substitution de Landen s'applique de la même manière aux intégrales de troisième espèce. Mais, elle conduit à des formules compliquées, qui ne sont d'aucune utilité dans la pratique. Nous pouvons donc en omettre les développements, d'autant plus que l’on verra plus tard que les intégrales de troisième espèce, qui représentent des fonctions de trois variables, peuvent se ramener à des fonctions de deux variables (2).
rer
(1) Scazoemice. Compendium der hôheren Analysis, 1, p. 383. Srunm. Cours d’analyse, 1, p. 381. |
(2) Les travaux de Landen, qui a donné son nom à la transformation précédente, se
IV. Développements en séries des intégrales de première et de deuxième
espèce.
Nous nous occupons d'abord du développement des intégrales com-
, | À plètes F C 3 r) E C 3 r). que nous désignons, pour abréger,
par K et E.
a) Si l’on développe, dans l'équation :
* 4 — k* sin! p
le facteur de dy, au moyen de la formule du binome, et si l’on intègre chaque terme de la série, au moyen de la formule
on obtient immédiatement
este (Ve (D ee (Eee 0
Pour le développement de E, on peut ou bien procéder d’une manière analogue, ou bien se servir de la relation démontrée à la page 14 :
dF (k, +) 4 rues g) ksinpcosy
dk 16) k 7 A9)
laquelle, pour + — g To 5€ transforme en la suivante :
E— (1—4:) Cr — ) (34)
trouvent dans les Philosophical Transactions, 1771 et 1775, et dans les Mathematical Memoirs de 1780. Lagrange a traité ce sujet dans les Mémoires de l’Académie de Turin, 1784 et 1785, et Legendre dans le Traité des fonct. ellipt. Gauss a introduit le moyen arithmético-géométrique dans son travail : Determinatio attractionis etc. Commentat. Gotting. 1820. Voir pour l'interprétation géométrique : Jacobi, Extrait d'une lettre à M. Hermite, Journal de Crelle, T. 32, et Küpper, Journal deæCrelle, T. 55.
De la série déjà connue pour K, il résulte :
OT GDE-D ET 0
b) On obtient des sérics plus rapidement convergentes, en diminuant
d’abord le module, au moyen de la substitution de Landen, et développant ensuite en séries. En posant
—V {3 —— = IVIF, gpu—q=y1—Hig9, A+py1—k
on à:
A+k FE, g)=— 5 F (ki, qu).
Pour o — 5 » il vient :
r (e Fr (ur) =(1+ hi) F CH)
d’où, si l’on développe F CE 9 ) suivant les puissances de k:,
ent (are (jure 0
On peut procéder de même avec E; cependant, il est plus simple de transformer d'abord l'équation (34), de manière à introduire ki à la place de k, et ensuite d'employer le développement (36). On a alors :
E= (4) (k+ LE. æ. r2VRh,
dk: dk 1+k
et, par la substitution de la valeur de k dans l'expression de E, il vient :
A— k /A—k: dK TEE (Æ K +28, 7.)
Il s'ensuit, d'après (56),
ses (p(Ea) a en
hot à
où le coefficient de k;?" est :
On+10 5. en
Si l’on remplace dans (37) le facteur 4 — k, par 1. £ » et si l’on
multiplie la série par 4 — ki, il vient :
