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Cette formule donne facilement la longueur du quart d’une ellipse dont les demi-axes sont a et b; pour

y at — bi a — b k="—, ki— a a + b

ou obtient, en multipliant les deux membres par a,

Pour se faire une idée de l'utilité pratique de ces séries, nous allons examiner, du moins pour l’une d'elles, combien il faut calculer de termes pour obtenir une exactitude déterminée. Si nous désignons par Uos Uty Uss co. Un 1, les n premiers termes de la série (33), et par R, le reste, nous aurons : |

la cos p+b'sino dp= à Rs nr

K=uo+Uüui+ Us + ce + Unit R,,

ms; (er (2 —1) CT (2e +.

On a d’une manière approchée, pour des valeurs de n un peu considé-

rables (1), | | | 1.3.5... (2n—1)\: 2 2.4.6 -..(2n) / (2n+1)r 2n +1 Qn +3 On+2 ? On + 4

= 1, etc.;

(4) Cette formule n’est autre que celle de Wallis. Bearaann, Traité de calcul différentiel, p. 424. J. G.

par conséquent, on a, approximativement,

ktn ; , … kr = > (A+k + k DR en CES TNT ET

An + 1 Si le calcul doit être exact jusqu’à 9 décimales, on doit avoir Fe < To il s'en suit que n doit vérifier la condition suivante :

log (2n +1) + n log (a) > d + log (5)

d’où l’on déduit facilement n, après quelques tâtonnements.

ou bien

D'après cela, pour k — : et pour une exactitude de six décimales, on doit prendre n tel que :

log (2n + 1)+n-0,19589 > 6,4437,

ct à cela correspond au moins un nombre de termes n — 28.

Des considérations semblables existent pour les autres séries, et l'on en déduit que les formules précédentes n’ont une valeur pratique que pour k très-petit.

c) Pour obtenir des développements en séries qui permettent de calculer facilement K et E pour de grandes valeurs de k, c'est-à-dire pour des valeurs s’approchant de l’unité, examinons d’abord certaines intégrales définies.

Dans l’équation

, 1. (1 + G?x°) W=\ ——.— dx, po 1+a'x°

soit W la valeur encorc inconuue de l'intégrale du second membre; on obtient par la différentiation des deux membres par rapport à B, laquelle est évidemment permise,

dW x°dx LS æ =# [ (+axt)(A+Gtat) a (x + 6)?

d’où, réciproquement, — = 1. (x + B)+ const. |

La constante se détermine en observant que W s’annule pour 6 —0. On a, par suite, const — — 1. «, et, en vertu de la signification primitive de W, |