Gr KR, àa+ 1. (1:+ fx?) dx —— — 1. a+ e
0 À + ax! a a
Par la substitution de
a — ri B—1, x—cotg0, il vient :
1 , 37 l.sin0 d9 rl({+y1—6) (59) ( 1—esin9 92 A € ?
où € est évidemment une fraction simple. Si, au lieu de cette équation, on écrit la suivante qui lui est identique,
(a Lsinôdæ@ ( 1 dz 0 A—etsin®0 9 où 4—Ee2t A+2
on peut développer facilement ces deux intégrales en séries convergentes, procédant suivant les puissances de €. En égalant les coefficients de et”, on obtient :
2"... m 4.3.5... (2n—1) flat" de "0.1. 0 = — — 7" "| - —.
f n " 2 2.4.6... (2n) ess et, en effectuant l'intégration relative à z, 27 . rm 1:5....(2n — 1) 1 1 | Ç Sin Ds | 2 12 + . (40)
A+ ete ————
s'exprimer de la manière suivante :
| f” 1. sin 0 dû __ æ ds Tr (ECS)
0 1 — € ou bien :
Le 2 F” 1. sin6 d9 ft du Tr o 1—esin0 rer ra
Vis
Posons ici € — k sin œ, multiplions les deux membres par do, et inté-
e 1 grons entre les limites o= 0, et p = 9 x, et nous aurons :
1 1 1 i Fe” (sing) 26" L. sin 0 dû dg Fr 1 dy du 0 /4—hsint® ? T Jo Jo 4—ksinosin?0 0 Re
La première intégrale du premier membre se décompose en :
2 F do + ( l. sin o do =&1k+ Lsinqpdp 0 y1—k!sint y 0 p/1—k sin 0 p1—k sin»
La première intégrale double devient, cn changeant l’ordre des inté-
grations,
1 1 { (1) fu sin © dé F dp =f" 1. sin 9 dû ñ Jo o 05"? + (1— K® sin* 6) sin* p 0 yA—#sin 6 °
Dans la dernière intégrale double, on obtient, cn renversant l'ordre des intégrations (abstraction faite du signe) :
1 ; F 2 de T ( du { s po (1—u*) cos p+ H—(—#)u]sin"p 2
(1) On fait usage de l'intégrale définie connue
Fe” dx Ar
cos x +6 sinx 2ub
En désignant, pour abréger, p/1— k* par k’,et F C +) par K’,
nous avons, d’après ce qui précède,
KLÉ£+ F L. sin qd? + F 1. sin 6 dû LT V4 ane | y 1—ktsin?0 2 Les deux intégrales définies du premier membre sont égales, puisque les lettres d'intégration importent peu; on a donc :
F 1. sin 6 d8 girl 71 V/1— k? sin* 0 2 4
De même, si l'on met #’ à la place de k,
