E=K— FA
Appliquée à l'équation (42), cette relation donne :
P—t+z s[ G)-: rs] GG) -sslr GEO rer
On en conclut la règle suivante :
. Au moyen des formules
4 | 4 4 Pal. (x) pe Ph -xr
Bb —
on calcule les quantités fs, B4, etc., qui convergent vers la limite 1. C 5)
On a ensuite :
E—i+ Sdr+(:).S = Bah + +(5 RTE (5)
24 ,, 7 Comme exemple, prenons k — a d où k& — 25 Les valeurs de Bas Ba, etc., sont, dans ce cas, Ba — 2,15926004, 4 —1,57592671, Be —1,45926004, Bo —1,40806956, Bio—1,37910131, Bis 1,56041444 : elles donnent :
5 Bak’? — 0,08464299,
G )-à 7 Pakt= 0,00181622,
=) = Bok° = 0,00008241, ee : à Bee = 0,00000455, CG) ue Biok'° — 0,00000027,
( Srs30) Biak/t? — 0,00000002, E — 1,08654646.
En multipliant par 25, on obtient la longueur du quart d'une cellipse construite sur les demi-axes 25 et 7. Cette longucur = 27,163662; elle concorde avec la valeur numérique trouvée ci-dessus (1) (page 31).
(1) Les séries (a) se trouvent déjà dans les œuvres d’Euler. Les formules (42) et (44) ont été trouvées d’abord par Legendre par un procédé insuffisant (Mém. de l’Académie, 4780 et Traité des fonct. ellip.,T.1). M. Schlæmilch a donné la démonstration précédente dans la Zeitschrift für Math. II.
— hi — d) Pour développer les intégrales F (4, œ) et E(k, œ) en séries infinies, posons d’abord 2V/ka,
Es IV +, oubien k= 2, 1+/4—k6 1+k
nous aurons .
1 = 4) mer) 5 (1 + hear),
V'1—Esinto p/1+2k cos 29+k,? . i | où, comme d'ordinaire, t—}/ — 1. Les puissances du degré — 3° qui
entrent dans cette formule, peuvent être, d’après la formule du binome, développées en séries, qui sont encore convergentes, si l’on réduit leurs termes à leurs valeurs absolues. Ces séries peuvent étre multipliées l’une par l’autre, et donnent un produit qui, au moyen de la formule
= (eŸ + e-Ÿ) = cos Ÿ,
prend la forme suivante :
V1 — À sin? o
Les coefficients Go, &:, @:, .... sont eux-mêmes des séries infinies; ainsi l’on a :
. 4 : 4.3\° do = (4 + k:) 1+ G) ki+ (=) RENTREE | 1 1\235 1:3\? 5 Gs= 2 (1 +k) 5 ke () rhi+ ne) alt P et ainsi de suite,
Comme on le voit, on peut, au moyen de (36), exprimer & plus simplement, ct l’on a: -
= do — As cos 29 + da COS #p — a6 COS 6p+.-. (46)
On doit donc s'attendre à ce que &, &,.... pourront aussi se ramener à des intégrales elliptiques complètes. En effet, a, pourrait déjà être déter-
minée plus rapidement au moyen de l’équation (46). Si l’on multiplie cette .. pe sos 1
dernière par dy, et si l’on intègre entre o—0et PS Tr, ON A:
= 4 V'1— k3 sin? o "2
d'où il suit pour ao la même valeur que ci-dessus. Multiplions ensuite l'équation (46) par 2 cos 29, et remplacons dans le second membre les doubles produits de cosinus par des sommes de deux cosinus; puis muhtiplions
Ê F dy LT.
. , F us par do et intégrons de 0 à g nous aurons :
9 F cos 2p do u
Tr 0 p1—ktsiny 2
On tire de là, en observant que cos 29 — 1 — 2 sin° +,
1 | & (27 9sint o— 4 —E a? | 2 sin" pi ps f2 —K| 0 Are ñ k
En général, on peut exprimer de la même manière a, par l'intégrale définic :
4 F cos 2n eo do
Gen = (—1)".- | 0 py/1—k*sin y
Mais le développement complet de cette expression serait assez long. Il est préférable de ramener les coefficients a4, a6, .…. aux précédents : c'est à cela que les remarques suivantes serviront.
En différentiant l'équation (46), on a :
F' sing cos — 2a, sin 29 — ka, sin 4p + 6ac sin6p —...; (1 — k1 sin? e}° |
multiplions cette équation par
& (1 — k? sin? ?) 2(2— F*)
F pt 2 cos 2,
et remplacons dans le second membre les doubles produits de sinus et de cosinus par des sommes de deux sinus. Si l’on pose, pour abréger,
= À, le produit ordonné donne :
__1sin2p (21; — has) sin 29 + (24e — 4Aa, + 66) sin 4 — (4as — 646 + Bas) sin 6p + (6as — 8Àas + 10440) sin 8?
D'un autre côté, on déduit directement de (46) en multipliant par 2 sin 29,
2 sin 29
V1 — k?sin° y
— (240 — 44) sin 2p + (as — a) sin kp — (as — a4) sin 6P
+ (&io — Ge) Sin 8p —....; d’où, en égalant les coefficients de sin 29, Dao — ax — 2las — has, oubien Sas — 2 (Âas — do). .
En égalant les coefficients de sin (m — 2) y, où m doit être un nombre pair plus grand que #, on a:
(m— 1) as = (m — 2) ame — (m —5) an 4.
Les formules suivantes servent donc pour le calcul des quantités @,
8 2 7ki E, As —= 3 QUr — Go)»
… 4Xa, — 30 … 6Âas — Das a6 — TR > As — 7 Si l'on multiplie l'équation (46) par d, et que l'on intègre depuis 0 jusque ?, on arrive au développement suivant :
ao = -— K, Ge = À@o — K
» et ainsi de suite.
F(k, +) = do0p— 5 as Sin 20 + Z° sin 4p—® ae sin 6p +... (47)
Par une méthode tout-à-fait analogue, on peut transformer E (k, +) en une série de la même forme. De l'équation
| 4 4 y/1— k' sin! = EU + ke?) (1 + kier2r)s,
on déduit d'abord au moyen de la formule du binome, un développement de la forme :
V1 — k* sin? ® = bo+b2 cos 29 — b, cos kp+b6 cos 6p —-..., (48)
dans lequel les deux premiers coefficients peuvent être déterminés comme ci-dessus. On o en effet,
à V'1— k sin? o dp = bo 5 ou bo <E E; en outre, | LES 2 V1 sin? g cos 29 dp= br.
d’où 4 (2° - .
b —< | V/1 — k sin o (1 — 2 sin? y) dy.
En réduisant cette nes on trouve :
Si l’on multiplie le quotient différentiel de l'équation (48) parÀ+2 cos 2, on obtient dans le premier membre la même expression qu’en multipliant les deux membres de (48) par 2 sin 29. En égalant les coefficients des séries ainsi obtenues, il vient :
5b4 — 2 (Àba — Vo), et pour un nombre pair m > #, (nm + 1)bn — (m — 2) Abe — (m0 — 5) Om se Les formules suivantes servent donc au calcul des rie bo, be, etc. :
bo = E, be — 0 0 K} b,— > 5 5 (Ab: — bo);
&Abs — 140 6106 — 50 be = — be =, etc.
On déduit de (48), en multipliant par dy, et intégrant depuis o = 0 jusque w = 9, la formule :
E (k, ®)= bo? + 5 ba sin 2° — : b, sin 4p+ : be sin 6p — :... (49)
Si l’on veut calculer en même temps F(k, +) ct E(k, œo) pour un même module, il est avantageux de déduire les coefficients bo, bs, .... de @o, a:, .…. Les formules de réduction nécessaires à cet effet, s’obticnnent en égalant l'équation obtenue par la différentiation de (48) :
k? sin o cos o
V/41— Et sin? o
au développement précédent :
== 20, sin 2p — 4b, sin 4p+..….,
2 sin 20 y 1— 3 sin? o
après avoir multiplié la première de ces formules par #, et la seconde par k?. On trouve d’abord :
= (2@ — di) sin 29 — (Ge — d6) sin 4 +,
Va == : k? (2ao — @i),
et, pour un nombre pair m > 2,
by — 4m (an 2 — Am43). | Si l'on substitue ces valeurs dans (49), le résultat conduit à la règle suivante :
On détermine les quantités co, Ce, Cs, etc, au moyen des formules :
C E, c 200 4 C TS c Te etc 0 — — e — ] A —= ———) 6 == FU .
Tr ? 4 4° 6?
et l’on a
E (k, o) = co+ | k? (casin 2p—c, sin #p+ce sin 6p—+...). (50)
Pour montrer jusqu'où ces formules sont applicables dans la pratique,
nous allons traiter le cas particulier de k— Se p —! x. On a alors :
ao — 0,6366K —1,71451; co —0,69172; us — 1,4898K— 9,7631E— 1,01018; ce —0,74899; aa — 1,8999K— 4,3109E — 0,43506; cs — 0,03054; as — 2,6632K— 6,4131E—0,20468; ce — 0,00922; as — 3,9852K— 9,7851E—0,10495; cs — 0,00239;
dio— 6,2188K— 15,5675E—0,05145; cio — 0,00075; aa — 9,9700K — 24,6887E — 0,02658; cie — 0,00026 ; au = 16,276K — 40,551E =—0,01390; ci = 0,00010; ie 26,910K — 66,697E —0,00733; cie = 0,00004 ; Gis— 44,911K — 111,321E —0,00388: cis — 0,00002; ao — 75,495K —187,154E —0,00203; c:o — 0,00001 ; ss —197,63K —316,37E —0,00105;
as—216,77K —537,35E — 0,00049:
Les coefficients @o, a, ont été exprimés ici complétement en fonction de K et E (ce qui est ordinairement superflu), pour faire voir que le coefficient a, est de la forme pK — QE, où p, q croissent rapidement. Si l’on veut atteindre une grande exactitude, on doit déterminer d’abord K et E très-rigoureusement, c’est-à-dire avec environ 12 décimales, et calculer évidemment beaucoup plus de termes des séries, que nous ne l'avons fait ici. De ces remarques il résulte suffisamment que les formules (47) et (50) n’ont qu’une valeur théorique seulement.
Pour les intégrales elliptiques de troisième espèce, on peut former des séries de même forme; cependant, les coefficients qui y entrent sont d’une construction si compliquée que les séries qui s’y rapportent ne sont d'aucune utilité.
V. Théorème d’addition pour les intégrales de la première espèce.
D'après les éléments du calcul intégral, on sait que les intégrales des fonctions rationnelles fractionnaires peuvent être exprimées par des logarithmes et des arcs de cercles, et que les intégrales des fonctions irra-
tionnelles renfermant seulement un radical de la forme V4 a+bx+cxt,
se ramènent également à ces fonctions simples. Mais, si la quantité sous le radical est du troisième ou du quatrième degré, les moyens ordinaires d'intégration ne sont plus suffisants; [a réduction conduit alors aux trois intégrales elliptiques, qui sont analogues aux logarithmes et aux arcs de cercle, et s’y réduisent, en effet, lorsque le module s'annule. On peut donc dire que les logarithmes, les fonctions cyclométriques, et les intégrales elliptiques, ont leur origine commune dans le calcul intégral.
En effet, si les deux premières fonctions n'étaient pas connues par l'algèbre et la trigonométrie, on aurait été forcé par le calcul intégral de considérer des intégrales de la forme :
æt de leur donner un nom quelconque. Pour ces fonctions on a évidemment les équations suivantes :
Lzx+ly—=tLl (xy),
are sin x + arc sin y — arc sin (x/1— y?+ y/1— x°).
Elles jouissent de cette propriété commune que deux fonctions de la même espèce, ayant des arguments x, y, différents peuvent être réunies en une fonction de la même espèce, dont l'argument est composé de x, y, d'après une règle déterminée. En général, cela signifie que, aussi bien pour f (x) = Îx, que pour f (x) = arc sin x, il existe une équation de la
forme :
dans laquelle z dépend d’une certaine manière de x, y. À cause de l’analogie entre les fonctions précédentes et les intégrales elliptiques, on doit s'attendre à ce que, pour ces dernières, il existe des relations semblables. Nous allons examiner comment, dans ce cas, z dépend de x, y. Avant de passer à cette recherche, considérons d’abord les deux cas simples où f(x) = Îx, et f (x) — are sin x, pour leur appliquer séparément la méthode convenable.
Supposons que la fonction f (r) soit définie par l'équation suivante :
et proposons-nous de déterminer y, de manière à satisfaire à l'équation f(x) +f(y)=C, (52)
dans laquelle C désigne une constante quelconque. Par Ja différentiation on a d’abord, à cause de la signification de f,
d dx, dy | y ou ydx + xdy —0; | (55) d’où, en intégrant, J'ydx + f xdy — const.
En appliquant à ces deux intégrales l'intégration par partics, on obtient : 2zy — SJ (xdy + ydx) — const; d’où, à cause de (55),
2xy —= const, ou xy—c.
re+1(5)=0
correspond à la propriété énoncée ci-dessus (52). Dans le cas particulier x = 1, f(x) s’annule, et il vient :
L2 C e Si l’on remarque encore que c et = peuvent avoir une valeur quelconque,
Ainsi, la solution
Par conséquent,
on peut représenter = par une lettre quelconque, par exemple y, et, par ‘suite, c— xy. L'équation (x) + 1(y) = f(x),
exprime la propriété fondamentale des logarithmes; elle a été déduite ici uniquement de la définition de l'intégrale (51).
Soit, en second lieu, l’équation :
Ce] d f(x) = —T—, 0pÿi— x
laquelle doit satisfaire de nouveau à l'équation (52). La différentiation donne :
dx dy + —"— — 0 (54 VA pA—7y | ou bien :
Vi— y dx +y/1— x dy =0; d’où
(y 4 — y° dx + | V1 — x? dy = const.
On a, par l'intégration par parties,
[UT éme (ra y A+ D
— y En ajoutant, il vient :
V1 — y re fu (+ 4) - == Const.
À cause de (54), l'intégrale cest nulle, et il reste :
x i—y+yy/1—x= const —c.
On a ainsi la condition sous laquelle la relation f (x) + f (y) = C, a lieu. Pour x —0, on a y—c, f (0) —=0, et C—f(c); d'où f(x) + f(y)=f (0).
Comme c peut avoir une valeur quelconque, on peut finalement mettre aussi z au lieu de c, et dire que l'équation f() + (y) = f(, subsiste sous la condition | z=t/A—-p+yy 1—x.
On déduit de là le théorème d’addition pour f(x) = arc sin x. | 4
Le même procédé s'applique de la manière suivante à la fonction :
TE Ç — ——° — (55) oÿ/{A—x)(1— xt) Si d'abord on doit avoir :
f(x)+ (y) = 0, (56) la différentiation donne :
de À 0, (57)
——————— + VU —2) (Pa) y) (By) ou bien :
VA— y) y) de +py/ (1 — x)(1— kix?) dy =0. (58) Divisant cette équation par À — k?x°y?, et intégrant, on a : VU — y) — ky) {1 — x) (4 — Hz!)
En posant, pour abréger,
ay [2 (et+y%) — (+) (1 + Maty), 2e TO D my €
l'intégration par parties nous donne :
LATE PP AE TTELT OR — | Pdy
Rap 1 key" VU yS
QU — y) A — Fy) dr.
Lu transformation correspondante pour la seconde intégrale (59) s’obtient en changeant partout x en y; les fonctions symétriques P et Q ne changent pas. On a ainsi :
(ua (Ee y U—x!) (1— ht) , (za) (ke) y— FT Ar 1— kx°y° '(4— 21) (1—kx?)
La substitution de ces expressions dans (59) nous donne : cV(i—- y) -ky)+yy (1-2) (1— xt) 4— kr? yt p = PL Va) Ba) y Ey) — ( Qi y°) (1— kiy?) dx + /(1— x) (1 — kr!) dy}=c, c’est-à-dire, puisque, d’après (57) et (58), les deux intégrales sont nulles,
ap AY) y) +yy (x) (— Fat) | 1 — Party re (60) Cette équation exprime la condition sous laquelle on a : f(x) + f (y) = C
Pour x—0, elle donne y—c; et comme, en même temps, f (0) = 0,
il reste C— f (r). La formule (60) renferme la condition nécessaire pour que l'on ait :
Si l’on écrit enfin z, au lieu de la quantité arbitraire c, on a le théorème suivant : si
