EE 690 + TS

1 1— kxyt on a :

= eee ee 1— x*) (1 —-ktx) = TE #) Joy (1—7)(4 — K'2!) Pour x=— sin, y —sin Ÿÿ, z— sin os, ce théorème prend la forme suivante : si sin ? cos AŸ + sin ÿ cos Ag — 4 — kf sin° y sin? Ÿ (61)

on a:

En vertu de ce théorème, appelé le théorème d’addition, deux intégrales

elliptiques de la première espèce, de même module et d’amplitudes diffé rentes, se réduisent à une seule intégrale de la même espèce.

Une deuxième démonstration de ce théorème n’est peut-être pas superflue, à cause de sa signification fondamentale; cette démonstration revient à transformer l'intégrale

__ dn = F (k, a), (62) OV 1—ktsin'n par l'introduction d’une nouvelle variable. Si l’on pose, en effet,

cos B cos n — sin sin np/— K sin? & = c05E, (63) à la limite inféricure n —0, correspond la valeur & —f, et si n=—= a, & prend une valeur y laquelle doit être déterminée par l'équation

cos f cos « — sin f sin & /41— K* sin? y— cos y. (64) Pour déterminer dn en fonction de dé, on pourrait tirer n de l'équation (63), et ensuite différentier.

On arrive plus rapidement au but, en observant que l'équation (63) peut être mise sous les deux formes :

cos & cos + sin & sin Py/ 1— k* sin? n = cos n, (65)

cos 6 cos n + sin & sin n W/1— k* sin° B— cos . (66)

On s'en assure facilement, si l’on rend les équations (64), (65) et (66) rationnelles. Mais puisque alors les signes des radicaux disparaissent, l'exactitude de ces signes exige une démonstration particulière.

Pour k# = 0, l'équation (63) donne cos (8 + 1) — cos &; d’où cos (6 — f) —= cos, et cos (6 — ») — cos B. Les équations (65) et (66) donnent la même chose pour k — 0; d'où résulte l'exactitude des signes choisis. Par la différentiation de (66), on obtient, si l'on désigne pour un instant par R le radical qui y entre,

(R cos n sin & — sin n cos €) dn = (cos n sin & — R sin n cos &) dé; par suite, la substitution de la valeur tirée de (66) pour R, nous donne : cos cos n — cosE dn = cos n— cos F cos & dt.

sin" sin Ë c'est-à-dire, d'après (63) et (65),

sin By/1— A sint & dn = sin y/1— k* sin?»

ou bien :

dn dé

V1=ksinn yA—Msin

Si nous substituons cette valeur dans (62), ou, ce qui est la même

chose, si nous intégrons l'équation précédente, en ayant égard à ce que,

aux limites n—0etn—«, correspondent les limites & —f et 6—}, il vient :

ÉDÉSELE Jo J,4 JA JA Par suite, on a l'équation

F(k,a)=F(k,7) —F(k, 6), dans laquelle les amplitudes «, , y, sont reliées par l'équation (64). Si nous mettons y, Y, +, au lieu de a, f, 7, nous obtenons le théorème suivant : l'équation

F(k,g)+F(k,Ÿ)—F(k, 0), subsiste, lorsque les amplitudes +, 4, o vérifient la condition

cos y cos d — sin y sin ŸAo = cos 0. (67)

Cette condition peut, par analogie avec ce qui précède, être mise sous les formes :

cos o cos y + sin © sin AY — cos ,

(68) cos o cos W+ sin o sin YA? = cos y.

Si l’on élimine cos s entre ces deux dernières équations, il vient :

cos? 9 —- cos d

PRIT cos g sin YA? — cos Ÿ sin AY

ou bien, en multipliant le numérateur et le dénominateur par cos # sin YA? + cos Ÿ sin AY,

sin + cos YAŸ + sin Ÿ cos pAy TT,

inc — ne 1 — k* sin? + sin? Y

ce qui s'accorde avec (61).

Par Ja substitution dans une des équations (68), on trouve :

cos ÿ cos d — sin y sin pagaÿ,

ET 4 — Ft sin? + sin* d (70) et de (67) on tire :

Ag Ab — k sin y sin Ÿ cos? cos d Âg = TT TT, ° 4 — k? sin? + sin°? Y (71) Enfin, le quotient de (69) et (70) donne :

tg o = 8 AY + 18 Var (72)

1— 18 pte/ApAŸ La dernière formule est la plus commode pour le calcul numérique de c. Si l’on détermine, en effet, deux angles auxiliaires +”, Ÿ’, au moyen des formules wy —wyA4, . tgŸ—tg YA,

on a simplement

L'hypothèse =: =*, fournit un cas particulier remarquable du théorème d’addition. En effet, on a alors :

Les deux intégrales elliptiques correspondant aux amplitudes +, 4, ont pour somme l'intégrale complète K.

Avant d'examiner les conséquences qui se rattachent à l'addition des intégrales elliptiques, nous allons encore développer quelques combinaisons des formules précédentes, lesquelles seront utiles plus tard. En éliminant cos o entre (67) ct Ja seconde équation (68), on obtient :

sin ? cos YAs + cos y sin ÿ, sin o

de même, l'équation (67) et la première équation (68) nous donnent :