AY

sin Y cos gAo + cos Ÿ sin y sin ©

- Il en résulte :

A + AŸ = + sin (p+ Ÿ), At (74) Ay — Aÿ — — sin (9 — 4).

De l'addition des intégrales elliptiques, on déduit facilement le théorème de la soustraction, si l'on prend Ÿ négatif, et si l'on a égard à la relation F(k, — Ÿ)=—= — F(k, d).

Si l’on remplace en même temps & par Tr, on a l'équation suivante :

F(k9)—F(k Y =F(k,7T), à la condition que

sin ? cos Ad — sin YcospA? ‘

PET 4 — k* sin? sin? Ÿ

On aura des changements analogues dans les formules (70), (74) et (72). La multiplication des intégrales elliptiques n'est autre chose qu'une addition successive, et s'effectue d’après cette condition. Dans le cas le plus simple, le théorème d'addition donne, pour Ÿ —#, et en remplaçant o par pes F(k,q)—=2F(k, 9),

où y est déterminé au moyen de l'une des formules :

2 sin + cos Av? 1 — 2 sin° o + k*sint9

SIN De — COS pe = F1 sint 9 | F3

4 — k3 sin‘ ?

Si l’on désigne par ?s l'amplitude correspondant à l'équation F(k,95)—=3F(k,9)—F (kgs) +F(k 9), il vient :

sin 0 — Sin s COS pAÂy + Sin ? COS pa ps F— 4 — ksint o sin? vs

en substituant dans cette formule les valeurs trouvées précédemment, on a :

[4 (1 — k? sin? &) cos? ? — (1— £? sin* #)*] sin ?

PR QE sin 9) — 4 (1 — KE sin?g) cos'e sintg

Il va de soi que l'on peut continuer de la même manière. Mais, pour

éviter des expressions compliquées, nous allous mentionner une simplification du procédé. Si les trois amplitudes pn 1, ?ns Pn4:1, doivent satisfaire aux équations

F(k,qgn)—=(n —1)F(&, #),

F(k,qn) =nF (k, ?),

F(k,gs)=(n +1) F (8, 9); on a aussi :

F (k, Pn+1) = F (k, g) + F (k, ?)

F(k, qu) —F(E, ps) —F (k, +).

Au moyen des théorèmes d’addition et de soustraction, on obtient :

. 2A9 cos ? Sin pa SIN Pn+s + SIN Pn s —= 1— A sin' sin?

2 cos y cos COS Pays + COS Pas —= 1— Fsin* y sing

Le quotient de ces deux équations nous donne :

4 os 8 5 (Pn+s + Qt) = Ay:tg ps;

d’après cette formule, si l’on part de 90 = 0, 1 = #, on calculera facilement De, ?s, Pas LC.

La division des intégrales elliptiques se déduit de la multiplication, en donnant à l'équation F(k, 9m) —m F (k, ?)s la forme inverse

F (k, ?) =" F (k, Fm)»

et considérant +, comme connu, et # comme inconnu. Si # désigne la valeur donnée de +, à l'équation

F (k, g) = 9 F (k, Ÿ), correspond la condition

1— 2 sintp+ Ktsintg 1—21?+ kxt

1— K sin° ? A =Bx ?

cos ÿ —

où l’on a posé, pour abréger, sin 9 —= x. Comme on le voit, la détermination de ? dépend de la résolution d'une équation algébrique d'un degré supérieur.

Le théorème de la multiplication donne aussi la condition nécessaire à l'existence de l'équation plus générale :

PF (k, 9) —=9QF (k, Ÿ).

dans laquelle p, q, sont des nombres entiers positifs.

Si l’on imagine, en effet, une troisième intégrale elliptique F (k, w), comme valeur commune des deux membres de l'équation précédente, il résulte de

PF(k,?) —F (ko), une équation de condition entre + et w. D'un autre côté, de qF (k, y =F (k, &),

il résulte une équation de condition entre Ÿ, w. Enfin, l'élimination de w entre ces deux équations donne la relation cherchée entre y et ÿ.

On conclut de ce qui précède le théorème suivant :

Si r, 8, t, cte., sont des nombres quelconques rationnels, positifs ou négatifs, #, 4, X, etc., des amplitudes données, la somme d’un nombre fini de termes

rF(k,o)+ 8F(k, d)+F(k X)+...,

peut se ramener à une seule intégrale elliptique, dont le module est aussi k et dont l'amplitude peut être déduite de #, Ÿ, X, etc., par des opérations algébriques (1).

Remarque du traducteur. — M. Walton a donné une démonstration très-simple du théorème d’addition des intégrales de première espèce dans une note publiée en novembre 4870 (The quarterly journal of pure and applied mathematics, vol. XI).

(1) L'équation (57) a été intégrée pour la première fois par Euler. ({nstitutiones Calculi Integralis, 1, sect. 2). Lagrange a donné une autre méthode dans la théorie des fonctions. La méthode précédente a été exposée par M. Liouville, d’après les papiers de Sturm (C. R. de l’Acad. 1856). Pour la construction géométrique du théorème d'addition, voir la théorie des fonctions de Lagrange, et un mémoire de Jacobi (Journal de Crelle, 1.3). La méthode de Jacobi a été étendue par Richelot (J. de Crelle, t. 38). M. Durège a donné une exposition générale de ces travaux. (Theorie der elliptischen Functionen.)

— ÿ8 — En posant x —= COS ? COS Ÿ, y = sin sin Ÿ,

on ramène l'équation

à la suivante :

dx — dy = k4[(xdy — ydx) — dy].

Si l’on fait 4 — k? — £’3, on en déduit :

xzdy — ydx = : y dx? — kdy?,

ou bien, en posant, pour abréger, 5 =,

| y=pe VA Fp. (A)

Or, cette équation est celle de Clairaut. En lui appliquant la méthode ordinaire d'intégration, on obtient, par la différentiation, et, à cause de

dy = pdx,

(+775) G + ————— ) dp = 0.

ky/1— k"2p° On satisfera à cette équation en posant p — const. Si l’on désigne cette constante par on aura l'intégrale générale, en substituant cette valeur de p dans (A), ce qui nous donne :

x — yAs—= cos o, ou bien

cos o = COS y COs Ÿ — sin y sin YAc.

Or, cette équation n’est autre que la formule (67).

VI. Théorème d’addition pour les intégrales de la deuxième ot de la troisième espèce.

Dans les recherches qui vont suivre, nous supposerons toujours qu'entre les trois amplitudes #, Ÿ, s, on a l’équation : | cos o = COS ? COS Ÿ — sin y sin Ac, (75)

où s doit être considérée comme une quantité donnée, c'est-à-dire comme une constante arbitraire. À cette équation correspondent les suivantes :

RES F(k,9)+F(k,4)=F(k,0). (76)

Nous allons maintenant rechercher si, dans ces conditions, les sommes E(k,#)+E(k,d), et Il(k,s)+ Il (k,Ÿ),

donnent une réduction semblable, a. Posons, pour abréger,

S—E(K, +) +E(k, Ÿ), et, nous aurons, en différentiant, dS = Ayd? + Addy.

À cette équation ajoutons la suivante déduite de (76) : 0 = Adz + Avpdb,

nous aurons

dS = [Ay + AY] (dy + dh).

D'après la première formule (74), on a :

As+Â .

sin (p + Ÿ) d(p+v),

sin & ou, en posant pour un instant ?+ Y—=%,

dS —

sin XdX.

Par l'intégration il vient :

As+1 À (G— cos x) = As +1 . Sin Sin &

[C— cos (9+4)].

La constante C se détermine en faisant +9 — 0; on a alors : ÿ=—0, E (k, 4) = 0, E (k, ) = E (k, 6), et S=E (k, a). Par suite, As<+1

E(k,o) = ——— (C— cos);

Soustrayant cette équation de la précédente, on a :

As +1 S—E(k,5)= ES [cos & — cos (? + y)], ou bien :

1+ Ac S=E(k, 6) + TE (cos « — cos ? cos ? + sin y sin ÿ).

Or, en vertu de (75),

COS a — COS ? COS Ÿ —= — sin y sin YA; par conséquent,

1— (As). .

S—E (k, c) + ns sinpsinÿ,

ou enfin, en vertu des valeurs de S et As, E (k, ?) + E(k, Ÿ)—E (k, o) + K* sin sin psin ce. (77)

C’est le théorème d’addition pour les intégrales elliptiques de deuxième espèce. On peut en tirer des conséquences analogues à celles qui se rapportent aux intégrales de première espèce : cependant, ces conséquences ne sont pas assez importantes pour les développer complétement. D'ailleurs, la plus remarquable se présentera dans le chapitre suivant.

b. Pour trouver aussi le théorème d’addition pour les intégrales elliptiques de troisième espèce, qui peuvent être représentécs par

= ( “ LORD | Gore

posons So = Ilo (h, k, g) + Il (h, k, ÿ).

Nous aurons d’abord l'équation

dy dy

So TR sin y) A + Ah an ÿ) à

que l'on peut mettre sous la forme :

…: h (sin* ÿ — sin° +) dy * (+hsin’o) ({+hsintÿ) Ag

à cause de la relation

D'un autre côté, si, comme ci-dessus, on considère s comme constante, on obtient :

Agde + Ad} = k* sin a. d (sin ® sin Ÿ),

et, au moyen de l’avant-dernière relation,

(sin? ÿ — sin? ©) £ = sin o- d (sin sin +).

On a donc pour dS, :

| dSs — h sin o d (sin p sin 4) A+ h(sintg + sin y) + A? sin? @ sin? 4

En posant, pour abréger, | sinfo+sin"h=?p, sinqsinÿ=—9, il vient | h sin o dq

Lee bg

Pour exprimer p en fonction de q, nous faisons usage de l'équation CUS & == COS @ cos Ÿ — sin sin Ac,

et nous en tirons :

(cos o + gAo)t= cos! p cos? Ÿ = (1 — sin? p) (1 —sint ÿ)—1—p+at; d'où p—1+09— (cos o« + gAo)"= sin « — 2q cos oÂs + kg" sin* 0. Substituons cette valeur dans la formule de dSo, et posons, pour abréger, | A—=1+hsin®o, B—hAccose, C—h(h+ksint 0),

M— h sin o; il vient alors :

Mdq

So SR + CR

En intégrant cette dernière, on obtient :

So ( — Md9 | oonst = onsSt.

On détermine la constante en faisant o — 0, ce qui donne :

ÿ=0, g—=0, So= IT (h, k, c),

of, À e) =0À — 2Bq + Cq' D'après cela, on a u Mdq Sd | ro

ou, à cause des valeurs de S, et 4,

sin ? Sin n Mdgq

A— 2Bq+Cq? (78)

[Lo(h, k, @) + Ilo(h, k, Ÿ) = lo (h, ke) + |

Cette formule donne le théorème d’addition des intégrales de troisième espèce. Nous n'’effectuons pas l'intégration par rapport à q, parce qu’elle fournit des valeurs différentes, suivant que AC — B* est positif, nul ou négatif. En vertu des valeurs de À, B, C, les cas seront différents, suivant que h(1+h)(h+k?) 50, —0, ou <0. La suite des calculs n'offre plus aucune difficulté.

c. À cette occasion, nous allons encore développer les relations particulières qui existent entre les intégrales de deuxième et de troisième espèce. Si œ désigne une amplitude variable, x une amplitude constante, et si les amplitudes variables 5, r, sont déterminées par les formules :

sin @ cos «À aœ + sin & cos AY

sin o = = =

4 — k% sin? o sin?

sin q cos «À x — sin « cos A

SINT = 4 JS sn Sn 4 — k* sin° o sin?

on a les quatre équations suivantes, qui résultent des deux premiers théorèmes d’addition :

F(p)+F(a)=F(s), F(g)—F(a)=F (); E(g)+E (x) —E (o) = k? sin osin «sine, E (g)—E(x) —E (r) = — k* sin g sin «& sin 7.

La différence des deux dernières équations nous donne : 2E (a) —E (o)+E (7) = &* sin o sin « (sine + sinr), ou, à cause des valeurs de sin ©, sin,

. A K' sin & cos «Aa sin° p 2E (x) — E(o)+E(r) =2 1 Fine sine .

Multiplions cctte dernière par le facteur

et intégrons entre les limites O et p, auxquelles correspondent les limites 0 et s, 0 et Tr. Divisant ensuite les deux membres par 2, on obtient :

À (SE (o) AÇE(r) (74% sin « cos «Aa. sin? odp B()FG— sf Re de + :|, AT | (1— F3 sint à sin° ç) Ag?

ou, puisque, dans. les intégrales définies, rien ne se rapporte à la désignation des variables d'intégration,

1("E(e) 1 (fE(?), (* sin a cos «da -sin*pdp EG) | der (de | TE neanrgae (9

? sin? odo Ib (h,k,p)—F{(k, 9) ..

Lamine RBsina ” h— — ke sin! «.

Par suite, l'équation (79) montre que l'intégrale de troisième espèce peut être exprimée au moyen des intégrales *E (k, g) 0 A(k, ç) P lesquelles sont seulement des fonctions de deux variables. D’après cela, on peut, au lieu de JT (h, k, ®), considérer l'expression

sin? odo

II (h, k, Ep) = K4 sin « cos «Aa [ (UE sin? a sin° ç) Ag

comme étant la forme normale des intégrales elliptiques de troisième

espèce; dans cette formule, k — — k? sin? x, et x est ce que l’on appelle l'angle du paramètre. Cet angle n'a une valeur réelle que dans le cas où h est négatif, et plus petit que k*? en valeur absolue. La présence de x imaginaire n’empèche pas l'emploi de la formule (79); car, on verra plus loin comment l'on doit traiter les intégrales elliptiques d'amplitude imaginaire.

Si l’on change dans (79) les quantités &, #, l’une dans l'autre, o ne change pas, 7 se change en — 7, et il vient :

E(?) —TE(e) * ksin pcos pAo: sin? «da E(o)F —" d TL do= |} ——.

(PF (a) — (5 A T3 | A? [a — k3 sin? sin’ x) Aa En outre, si dans l'intégrale prise de O0 à —7, on met — au lieu de y, on a: | 'E(y) [- E(—9) (” (g) © d?=\ — 7 d=\ —< dy; [ A ? o A? ? o À? 7 d’où l’on obtient, pour la différence entre l'équation (79) et la précédente,

? k? sin & cos «Aa: sin? odp

EG) (EF) | Tente deg se

*k? sin @ cos pAo: sin? ada [ (1— &* sin o sin? &) Ac D'après cela, une intégrale elliptique de troisième espèce peut s’ex-

primer par une autre dans laquelle l'amplitude primitive devient l'angle du paramètre, et l'angle du paramètre primitif l'amplitude.

Dans le cas particulier o — ” T, ON A:

F k?sin & cos «Aa: sin? = f (4 — k? sin? à sin? o) A ar ( r)-E (5 r)F (a) (80) L'intégrale complète de troisième espèce peut donc être réduite aux intégrales complètes de première ct de deuxième espèce (1).

Remarque du traducteur. — Il me paraît utile de donner ici une démonstration remarquable du théorème de Legendre relatif aux intégrales

(1) Jacosi. Fundamenta nova theoriae functionum ellipticarum, p. 139, À 49 et & 50.

elliptiques complètes de première et de deuxième espèce à modules complémentaires.

Soient k, k deux modules satisfaisant à la condition k*+k?—1; K, K’ les intégrales complètes de première espèce de modules k, k’; E, E” les intégrales complètes de deuxième espèce de mêmes modules. On doit à Legendre le théorème suivant : fr | 2

Legendre a donné une démonstration qui n’est, en réalité, qu’une simple vérification de ce théorème. Si l’on représente le premier membre par G, il démontre que l’on a :

par suite, G— const. Or, pour déterminer cette constante, il suffit de