K’E + KE’— KK

prendre un cas particulier : k— 1, k’ —0, ce qui donne : const = et le théorème est démontré.

M. Tortolini a donné une démonstration directe de cette proposition en se servant d’un système particulier de coordonnées, imaginé par Jacobi. En remplaçant les notations K, K’, E, E’ par leurs valeurs, on trouve : K S lo Hainîtm— licint CE 4— k? sin? o — k? sin? 0 dod® 0 “0 (1—Ksin?®@) (1— k! sin?6) Or, d’un autre côté, si l’on considère la huitième partie de l’aire de la sphère '+yt+z—1,

=A= (| V'1+p°+ 9° dxdy — (\ #4,

quant aux limites de cette intégrale double, elles sont déterminées par la condition |

on obtient :

Actuellement, afin de ramener l'intégrale double qui précède à la même forme que G, posons :

x —= sin 0p/ 1— k? sin? o,

y = sin py 1— K? sin? 6,

ce qui nous donnera, en vertu de l'équation de la sphère, : z = cos @ cos 6.

Remplaçant ensuite dxdy par sa valeur

dx d FR

comme on le sait par la théorie du Na de variables dans 12 F intégrales multiples, on trouve, pour la huitième partie de l'aire de sphère,

K TX

T -f FE 4 — k* sin* o — k”* sin° 0 de 2 0 p(1— k? sin) (1 — k’3 sin* 6)

Le second membre de cette formule n'étant autre chose que la valeur 7% de G, on a :