G—K'E+KE—KK

ce qui démontre la proposition énoncée.

M. Catalan a donné une interprétation géométrique de cette formule : il démontre que ce théorème équivaut à la décomposition de la sphère en rectangles infiniment petits, au moyen de coniques sphériques.orthogonales. (Atti dell” Academia pontifica de nuovi Lincei, XX.)

VII. Rectification de la lomniscate, de l’ellipse et de l’hyperbole.

a. Si l’on désigne, comme d'ordinaire, par a le demi-axe OA d’une lemniscate, r le rayon veeteur OP d'un point P de la courbe, 0 l'angle

AOP, on a : | r — a W cos 26.

On en déduit pour la longueur s de l'arc AP (fig. 14) :

ma nef 9 0 y cos 28 0 4—325sin 6 en particulier, la longucur q du quart de la lemniscate, a pour expression : { Fe d9 q—a

0 V 12 sin0

-Au licu de l'angle 6, nous introduirons un autrc angle qui résulte de la construction de la courbe. Si l'on décrit, en effet, avec OA comme rayon, un cercle ayant le point O pour centre, si l’on tire le rayon OM arbitraire sous l’angle AOM = 8, si l’on prend MN — MA, et si l’on abaisse de N° une perpendiculaire sur OA, cette dernière rencontrera le demi-cerele construit sur OÀ comme diamètre en un point Q, pour lequel 0Q — a / cos 26. Le point P de la courbe correspondant à l'angle 9 s'obtient en prenant sur OM la distance OP — OQ. En mème temps, on a, pour l'angle AOQ = +, qui peut re l'amplitude,

Var — y sin 8;

sin p— réciproquement, | sin 0 — “ sin q.

Par la substitution de cette valeur, les formules qui donnent s et q: sc changent dans les suivantes :

a fr? dy a p;T dy

/ V2 / vi 1— sing j— s sit . 70 | 0 a 1 4 = "(Vi +) ZA" V3 3

D’après cela, il est évident que les théorèmes démontrés dans le chapitre V pour les intégrales elliptiques de première espèce peuvent être appliqués, sans aller plus loin, aux arcs de lemniscate. Si, par exemple, deux arcs AP, et AP, sont déterminés par leurs amplitudes, on pourra trouver, par le théorème d’addition, l'amplitude d’un troisième are AP, égal à la somme des deux ares donnés. De même, un arc AP peut facilement être multiplié ou divisé en parties égales.

Comme cas particulier remarquable, nous mentionnerons encore la division en deux parties égales du quart de la lemniscate. Soit, en effet,

ou

s 1 3 9 ou bien :