TADE US

— Gÿ — la formule (73) donne, pour 4 =, k — =

gp= V2. Pour construire le point milieu du quart de lemniscate, on élève au

point A (fig. 15), perpendiculairement à OA, la droite AC = y AO:-0B, et l'on mène l’hypothénuse OC qui rencontre en D le demi-cercle décrit sur OA. Alors l’angle AOD est l'amplitude du point cherché. Ce dernier se trouve en menant DE parallèle à OB; on divise AE au point F en deux parties égales, et sur OF on prend OG = OD.

b. Au lieu de léquation ordinaire d’une ellipse, construite sur les demi-axes a et b, et rapportée à des axes rectangulaires, prenons les deux équations

x = a sin ®, y = 0 cos y, correspondant à une construction connue, au moyen du cercle inscrit et du cercle circonscrit. L’amplitude p du point P de l’ellipse (fig. 16) est alors l’angle B'OP”, si P’ est le point du cercle circonserit correspondant à la même abscisse que P. L’arc d'ellipse s— BP, compté à partir de l'extrémité du pctit axe scra donné par la formule :

8 — y a? cos? o + b' sin? o.do; si l’on désigne l’excentricité numérique par k,

2__h1 pat , a il vient :

9 ‘ sa | y 1— kt sin? © dp —«aE (k, +).

En particulier, on a, pour le quart d’ellipse,

| q=aE(h ir).

Au moyen du théorème d’addition des intégrales de deuxième espèce, on peut facilement trouver, pour deux arcs donnés BP, et BP:, un troisième are BP; jouissant de la propriété que arc BP, + arc BP: — arc BP;

soit une expression algébrique. Ce résultat prend une forme très-élégante

dans le cas où la troisième smplitude o — : 7, c'est-à-dire lorsque l’on a :

BPBV—= ————;% (81) Le théorème d'addition (77) est alors exprimé par la formule : . E(k, ç) — É C ; r) — E(k, | == k* sin © sin +, ou, si l’on multiplie par a, et si l’on prend l'angle B'0Q’ = +,

3 }h1 arc BP — arc AQ = ô

sin o sin Ÿ, (82)

Par conséquent, pour chaque arc d’ellipse, compté à partir de l’extrémité du petit axe, on peut trouver un second arc, compté à partir de l'extrémilé du grand axe, el tel que la différence de ces deux arcs soit une expression algébrique. Pour exprimer ces relations géométriquement, on prend, d’après (81), l'amplitude B'OQ/ égale à l'angle compris entre OA et la normale MP correspondant au point P de l’ellipse. Les normales aux points P et Q sont alors à des distances égales OM — ON du centre O, et l'équation (82) devient

| | arc BP — arc AQ — OM.

Si l'on pose, cn particulier, ÿ = ®, d'où &o— a 8? — b’

alors OM atteint sa valeur maximum a — b, et l'amplitude + détermine un point C(1), pour lequel on a (fig. 47) :

arc BC — arc AC = a — b.

Comme deuxième application du théorème d'addition, le problème sert à déterminer un arc d'ellipse PQ, égal à la moitié du quadrant. Si l’on

(1) Ce point peut être déterminé par la théorie des maximums et minimums.

appelle C le point de l'ellipse que nous venons de trouver, et pour lequel

on a :

arc BC — arc AC = a — b,

arc BC — s (arc ACB + a — b),

son amplitude B'OC’— est déterminée par les formules :

&æ va VA b e7= 1/5 Sin y — +) COS y —= + Ày = V’#

En outre, si y est l'amplitude de P, 4 sera l'amplitude de Q; nous choisissons cet angle de telle manière que l'on ait l'équation

à laquelle correspond la condition

cos © cos ÿ + sin p sin 4Ay = cos 7. (85) Pour les intégrales ciliptiques de deuxième espèce, on a la relation E(k, y) —E(k, o) = E(k, y) — 4 sin y sin ÿ sin y, c'est-à-dire, en multipliant par a,

arc BQ — arc BP = arc BC —

sin @ sin Ÿ sin y.

Or, en vertu de la valeur trouvée plus haut pour arc BC, il vient :

arc PQ = : arc ACB + (a — b) ; — LT sin g sin ÿ sin y .

Si l'arc PQ doit être la moitié du quadrant, on doit avoir :

d sin œ sin + sin y —= > (84)

et les équations (83) et (84) conduiront aux valeurs des amplitudes o et +. La dernière équation donne, en vertu de la valeur de sin y,

e e 4 e sin p sin ÿ — 3 507; en substituant dans (85), on a :

COS y ;

c08 cos ÿ = 5

d'où

cos (ÿ — p) = cos T COS (r 37)

cos (Ÿ + g)= 008 & + c08 É + Gr)

c. Soient OA = a, le deni-axe principal, AB — b, le demi-axe conjugué d’une hyperbole (fig. 48), OB—p/at+ bt l'excentricité linéaire, et CD une droite menée parallèlement à AB à la distance

Si l’on désigne par P’ la projection de P sur CD et o l'angle AOP’, on

a, pour l’ordonnée du point P,

big...

pour l’abscisse, on trouve, au moyen de l'équation de la courbe

at asin® cos p ai + <É

Si l’on pose, pour abréger, a

l'arc d’hyperbole AP — s sera exprimé par la formule

b? d = — | ——— C Jo cos py/ 1 —E' sin° o que l’on peut écrire

=" F (k, y) —cE (k, p) + cA tg +. (85)

Un arc d'hyperbole peut donc être rectifié au moyen des intégrales elliptiques de première et de deuxième espèce.

Il est utile de remarquer que le produit cAo tg o représente la distance de l’origine des coordonnées à la normale MP au point P de l’hyperbole. Pour OM = p, on a :

b° p—s—ce# (#, p) — F9)

ou, si l'on exprime b, c, en fonction de a, k,

ps = a GP CPE 9.

La valeur @ =; = correspond au point de l’hyperbole situé à l'infini,

et alors OM coïncide avec l’asymptote. On a maintenant pour la différence .

entre la branche d'hyperbole AP, prolongée à l'infini, et l’asymptote correspondante

lim(p—s)= a (0,

en remplaçant E et K par leurs valeurs, on obtient :

1 k ANT ks 4-3\1kS lim @—s)= ra|à + () rs (5) : + se. ù En désignant par , y les amplitudes des trois arcs d'hyperbole AP, AQ, AR, on a, en vertu de (85),

Lorsque ®, Ÿ, « satisfont à l'équation cos © cos ÿ + sin s sin YA — cos y, on a, plus simplement, arc AP — arc QR = c {A tg p+ A4 tg y — Actgo— k* sin o sin ÿ sin 6].

Donc, pour chaque arc d’hyperbole, compté à partir du sommet, on peut construire un second arc, qui diffère du premier d’une quantité algébrique. Si @ est donné, et si +, «, sont déterminés par les équations

cos s cos Ÿ + sin s sin ÿ Àp = cos y,

Ag tg p + Aÿtg4 — Astgo — k?sin o sin Ysino,

* on a, en particulier,

arc QR = arc AP.

En général, on peut tirer de la relation entre trois arcs d'hyperbole, des conséquences semblables à celles que l’on tire de la relation entre trois arcs d’ellipse; seulement les résultats sont moins simples.

Enfin, la comparaison d'un arc d'hyperbole avec deux arcs d'ellipse, conduit à des résultats remarquables. Si k;, , sont donnés par les formules

= 1+r sin (21 — op) — k sin Ps on a, en vertu de la transformation de Landen (25),

AU F)F(be)—E(R p)+Apigp k

De ces deux équations, on tire, par l'élimination de F (k, +),

s— [E(k, D —2(1+ HE (bo) + Apt 0 + 2ksinœ]. (86)

L’arc s d’'hyperbole peut ainsi s'exprimer au moyen des arcs de deux ellipses, dont la première a pour demi-axes

= at + b?, et b,

l'autre a pour demi-axes

OLD oppose a) et MOI Lo pa +8 — af;

les amplitudes de ces arcs d’ellipse étant @ et qi (l).

(1) La comparaison des ares de lemniscate, d'ellipse et d'hyperbole est due à Fagnano, comte de Fagnani : Metodo per misurare la lemniscata, Giornale de letterati d’Italia, Venise, 1718; id. Produzione mathem., T. 11, p. 317 et suiv. Euler a fait beaucoup de recherches sur cet objet (Comment. novi Petropoli. VI, VII, XII). Voir aussi le Traité

des fonctions elliptiques de Legendre, et un mémoire de Landen, Philosoph. Transac.,