VIIL. Aire des surfaces à contre du second degré

Les équations des trois surfaces à centre du second degré construites sur les demi-axes a, b, c, sont

on peut, dans le cas où il n’est pas nécessaire de les distinguer, les mettre, pour abréger, sous la forme suivante :

Az? + By° + Cz?— 1.

JA Az By Z = TS;

et, si l’on substitue cette valeur dans la formule générale

dz\° dz\° s—([/1+(5) + (+ dxdy,

: C— A(C— A)z—B(C—B)y, | nl

Le radical qui entre dans cette formule représente géométriqueent la sécante de l’angle compris entre le plan tangent au point (x, y, z), et le plan horizontal xy, ou bien la cosécante de l'angle PNP’ que la normale au point (x, y, z) fait avec le plan des xy (fig. 19). On peut désigner cet angle par &, et le prendre ensuite comme une variable nouvelle. Soit 0 l’angle P’NX’ que la projection horizontale de la normale fait avec l'axe des x : nous le prenons aussi comme une nouvelle variable. En vertu des significations de « et de 6, il existe entre ces angles et les coordonnées x, y, les relations suivantes :

On tire de là

il vient

C(1— Az? — By!) By QD = —Û© —— ——" — ——— = OGC Ha BCD BA

au moyen desquelles on exprime facilement x, y, en fonction de w ct 6. Si l’on pose, pour abréger,

C cos?

2 = ne 0 R AB BC cos’ w cos’ + CA cos? © sin? 0 + AB sin? ©

On a :

z —= BR cos 0, y = AR sin 0.

La formule précédente

Â S— (| sin © dxdy,

se transforme, par l'introduction de w et 8 au lieu de x, y, dans la suivante :

…: 1 {dx dy dy dx S— (= do dû do LL. od8,

où l’on doit substituer pour x, y, les valeurs trouvées ci-dessus. Si l’on observe que R dépend de w et 8, on obtient d’abord :

dy dy dx dR dR .

10 — do 75 — AB La cos 0 CG sin 0 + R cos ) — AB T sind (% cos 0 — Rsin®) dR d(R*) — ABC sin w cos w — AB-R do LE de (BC cost w cost 0 + CA cos’ sin* 0 + AB sin’ )*

et par là, on arrive à la formule rationnelle :

cos © dwdô (1) S—— ABC (l (BC cos’ w cos? 0 + CA cos? w sin? 9 +- AB sin? w)* * (87)

Comme dans toutes les questions de cette espèce, les limites de l’intégration dépendent de la limite que l’on donnera à la portion de surface à mesurer. Ordinairement, la courbe limite est déterminée par l'équation de sa projection horizontale f(x, y) — 0; par la substitution des valeurs de x, y, R, on aura une équation entre w et 9, laquelle montre, comment, à la limite, 0 dépend de w, et © de 0. Il n’est besoin que d’un coup d'œil

(f) C’est Jacobi qui a introduit les angles « et 6 pour exprimer plus simplement que Legendre la formule de l’aire totale de l’cllipsoïde (Journal de Crelle, X, p.110). Mais il

n’a pas remarqué que la formule (7) donne un grand nombre de théorèmes très-importants.

pour reconnaitre que les résultats se compliquent beaucoup ; c’est pourquoi nous nous bornerons tout d'abord au cas le plus simple, c’est-à-dire au cas où les quatre limites de l'intégrale double sont constantes. Pour cela, nous aurons recours à la considération suivante :

Si l’on part sur la surface d’un point (r, y, z) dont la normale est inclinée d’un angle w sur le plan des xy, on peut trouver une infinité d’autres points de la surface dont les normales font le même angle avec le plan horizontal. Tous les points de cette espèce forment une courbe située sur la surface, et qui peut être appelée la courbe des normales tsoclines pour l’angle d'inclinaison ©. L'équation de sa projection horizontale se déduit de la formule :

C (1 — Ax° — By?)

C— A(C—A)z* — B(C—B) y" si l'on y considère w comme constante; et l’on aura, d’après cela, A (A tg? © + C) + B (B tg° © + C)

Il est facile de voir que cette équation représente toujours une ellipse. Pour l’ellipsoïde, cela est immédiatement évident; pour les hyperboloïdes, & est, par la nature de ces surfaces limité à un certain intervalle, et, par suite de cette circonstance, les coefficients de x? et de y? sont positifs. La

remarque que l’équation précédente s'obtient aussi par l’élimination de z entre les équations

sin? © —=

Az + By + C2 = 1, A2 + By? — (C cotg w)° z? — 0, conduit au même résultat. Chaque courbe des normales isoclines peut donc être considérée comme l'intersection de la surface du second degré donnée, avec un cône elliptique de même centre; il s’en suit que l’intersection, si elle existe en général, doit avoir une projection horizontale elliptique (fig. 20).

Si l’on fait varier dans (88) l'angle « d’une quantité quelconque trèspetite, on obtient sur la surface une deuxième courbe des normales isoclines. Celle-ci ne rencontre pas la première, parce que les projections horizontales des deux courbes n’ont aucun point commun. Un changement infiniment petit de © conduit, d’après cela, à une bande infiniment mince, qui s'étend tout autour de la surface. Si enfin, w varie d’une valeur initiale w, donnée jusqu’à une valeur finale w, également donnée, il naît

une zône dont l'aire Z se trouve au moyen de la formule (87) par l’introduction des limites © — 0, © —= 6, et 0 —0, 0— 97. On a ainsi :

| œ4 pèT cos © dwdO Z — — ABC ( { (BC cos’? w cos? 0+-CA cos? « sin 0 + ABsin? wo)? (89)

L'intégration relative à 9 ne présente aucune difficulté, si l’on remplace .

sin* © par sin? w (sin? 0 + cos’ 6), et si l’on pose, pour un instant, pour abréger,

m = B (C cos? © + A sin? &), n = À (C cos? w + B sin? ); on a d'abord z — ABC | cos w do | TT, u, o (m cos 0 + n sin? 6)

et, par les méthodes connues (par exemple, la substitution tg 0 — t),

cos & — rABC ( (+ s) ” n 7

Pour une réduction subséquente, supposons, pour l’ellipsoïde, a > b>c, et pour les hyperboloïdes b © a, hypothèses qui n'ont aucune influence sur la généralité des calculs. Soit, en outre,

les quantités «, 8 sont toujours réelles, et représentent géométriquement l’excentricité numérique des deux traces verticales de la surface. En même temps, on a, dans tous les cas, « © 6. Nous avons maintenant pour m et n

m = B[C— (C— A) sin* w]— BC (1 — a? sin? w), —= À [C — (C— B) sin° w]—AC (1— B! sin? w);

par suite,

CAB, R A B TK

RU , 1— œ'sinto 1—/Gtsinto VA — a sin*o)(1— sin)

cos © do

Si l’on pose

SN OU, SiNGo—Uo, Sin 64 — UW4, (91)

cette formule se simplifie, et elle devient :

=" Nr PL aa

Pour exprimer enfin Z au moyen des intégrales elliptiques, posons

B C—B sin @ X=T— C= À u = 2 , : (92) et nous aurons 0 4 — au pa | (1 — au?) (1— Brut) ={[ A, BR dy er o" c0s* P ne A

= UF Ce, )—E(s p+A(x ptep}

B x sin ? cos y ME er Ce

C | A— (C — B) cos? p = \ / a |A 6 D+(C—AEG + TT) — 8 p

Si nous faisons encore, pour abréger, A — (C —B) cos! p A (x, 9)

et si nous déterminons, d’après (92), les limites de æ, au moyen des équations

SiN Po = Xlo = à SD Go;

(94) SIN Ps = AU —= à SIN G4, nous obtiendrons facilement œ "(CG — A)[E (0) — E(0:)1 + A [F (Do) — F (@: Z 7e | )[E (po) — E (p41)] + A [F (po) — F (p2)]

En vertu du théorème de la soustraction pour les intégrales elliptiques de première et de deuxième espèce, on a aussi :

{(C— A)E (r)+ AF(r)+ G (90) — G (y1)

ALES y/ABC (C — À)

— (C — A) x? sin 7 sin go sin 9: },

où 7 est déterminé par la formule

Sin ?o COS piÂpa — Sin ps COS PoÂ Po OT 1e sim psg

Les résultats précédents se résument dans le théorème suivant :

Sur chaque surface à centre du second degré, on peut construire une infinité de zônes dont l’aire peut s'exprimer au moyen des intégrales elliptiques de première et de deuxième espèce.

Chaque zône sera limitée par deux courbes des normales isoclines; les projections horizontales de ces dernières courbes sont des cllipses qui ont pour équations :

A (A tg* 0 + C) B(B tt a+ C)

(96) AGgo+0,, BBgot+c),

A ce théorème général, nous rattacherons encore les conséquences particulières qui se rapportent à chaque surface à centre du second degré.

a. Pour l'ellipsoïde «, et «w, peuvent avoir toutes les valeurs possibles, et l’on peut toujours supposer wo > «1, de sorte que la première ellipse est à l’intérieur de la seconde (fig. 21). Dans cette figure, UoVoV1U: repré-

| sente un quart de la zône Z. Pour wo — 3 © la courbe UoVo.... se con-

fond avec le point C, et la zône devient une calotte CU,V..dont l'aire peut être désignée par Z:. Il résulte de (94) que sin go = «, ou, si nous représentons par c cette valeur particulière de 9,

CR | inox" ©; (97)

on a alors, en vertu de (95),

Trb . a g\ — c? g) — D jee — EG +R GE | qu

Si, en second lieu, on pose «1 — 0 dans la formule générale, la courbe inférieure U,V:.... se confond avec la trace horizontale de l’ellipsoïde, et il en résulte une zône limitée pañ les courbes AB... et UoVo...., zône dont l'aire peut étre désignée par Z; les formules (94) et (95) donnent pour la valeur de cette aire :

Lo fut — 6%) E (po) + 6 F (po) + a*6* G(e)]+ (99)

1 3 . û e … Pour 0 — 5 © d’où #—v, cette zône devient le demi-ellipsoïde ;

on a, d’après cela, si Q désigne l’aire totale de l’ellipsoïde :

= { (a? — )E(c) )+ ct F(o)+ aîc? G (5)},

at — | ou bien, en vertu de la valeur de sin o et de G (6), O= 2nc {bE(s)tgo+bF(c)cotga+c|. (100) Des équations (98) et (99), il résulte :

Zo — Z1 — Ta ©?) [E (90) + E (91) — E (c)] + € [F(9o) + F (91) — F(o)] + act [G (go) + G (1) — G(e)]}; et, si oo et «1 sont tels que 9, et 1 satisfont à l'équation COS p —= COS Po COS ps — Sin go Sin 1 À (a),

on a plus nos nn { (a*— c?) x? sin go sin 1 sin o + atc? [G (po) + G (91) — G (c)]!

Pour pouvoir mieux étudier lc résultat que, nous venons de trouver,

évitons toutes les abréviations, et exprimons sin #o, COS %, ctc., en fonction de ©, 1. Nous arrivons au théorème suivant : Si les angles d’inclinaison wo, w1, satisfont à la condition

(a? cos? wo +- c? sin? wo) (a? cos? en + c? sin? 41) —

ef ab+ (a* — c?) sin ox sin 1}, (104) on à :

2 __ pr? 2 nr?

Lo — Zi = Tr IE D sin so sin 4 — 6

[et — (a — c?) (b3— c?) cos! wo] sin wo [ct — (a? — 2) (b? — c?) cos os]sinos .

Donc, sur l’ellipsoïde à trois axes, il existe une infinité de zônes et de calottes correspondantes, et dont les aires diffèrent par des expressione algébriques.

Cette propriété s'exprime très-simplement dans le cas particulier ©o = @4, C'est-à-dire lorsqu'il n’y a qu’une courbe des normales isoclines, laquelle partage la surface du demi-ellipsoïde en une calotte Z. cet la zône Zo. De (101) on tire pour w la formule

Bo=t/ —#—, (a+ b + cc

et de (102) on déduit la relation

=] ab — Et)

La courbe des normales isoclines est dans ce cas l'intersection de l’ellipsoïde avec un cône elliptique construit avec les dimensions (fig. 20) ai b? abc a+b+c

Les demi-axes de sa projection horizontale sont :

EH a(a+b+c) …. b(a+b+c) MOV Grbusg VV G+96+0

‘Il est à peine besoin d'observer que ces théorèmes forment les corrélatifs stéréométriques de ceux de Fagnano sur l’ellipse.

b. Pour les hyperboloïdes, on a des développements tout-à-fait sem- ‘ blables, mais qui cependant n'admettent pas des particularités aussi simples, parce que «0 Ct w, ne peuvent pas dépasser des limites déterminées. Cependant les remarques suivantes sont intéressantes.

Pour l’hypcrboloïde à une nappe, on peut prendre wo —0, et

ab .

TT pm 7 cy/a+ b?

la première courbe des normales isoclines coïncide alors avec la trace horizontale de la surface, et la deuxième a pour projection horizontale

un cercle décrit avec le rayon y/ a* + b?. En outre, on a #9 = 0,

- bya+ ct by'at+ ci

9 OÙ (ga ————,;,

/ a*h? +- bc? + a*c? ac

et, par la substitution de ces valeurs dans (95), on obtient Z.

tg? = — TE ou tg 61 —=

sin pi —=

Pour l’hyperboloïde à deux nappes, si l'on fait = à x, la zône se

change en une calotte, et comme cas plus particulier on a :

La projection horizontale de la courbe des normales isoclines est mainai b?

tenant une ellipse dont les demi-axes sont T° ct a valeurs qui sont le plus grand et le plus petit rayon de courbure d’une ellipse dont les demi-axes sont a etb.

c. Après avoir déterminé dans ce qui précède des zônes dont les’ surfaces s'expriment par des intégrales elliptiques non complètes, nous allons encore rechercher s’il y a aussi des zônes dont l'aire dépend des intégrales elliptiques complètes. Dans ce but, donnons à la formule (87) la forme suivante :

= (| cos w dûdo

C )) fB cos 0 + A sin? 0 — (Ba? cos? 0 + AG* sin? Ë) sin* w]*”

et posons, pour abréger,

p =B cos? 0 + À sin* 6, (105) q = Bz* cos? 0 + AG sin? 6.

Puisqu'il s’agit d’une zône, 0 doit être étendu de O0 à 27, tandis que les limites de w dépendent de la nature des limites de la zône. Nous laissons provisoirement ces limites indéterminées, et nous désignons par &o, &4 les limites de l'intégration relative à w ; ce sont évidemment des fonctions de © qu'il faudra déterminer plus tard. D'après cela, l’aire de la zône est

AB(?T , [*% coso du a ( sin? uw) w,\P— 4 si l’on pose sin & — u, et aussi sin @o = Yo, Sin y V4, ON à : 27 Uo 7 — ÀB de 4 C u,(P — qu?)

Décomposons cette intégrale de la manière suivante :

2x u u, 2=T | af" s—| æ 2,2 C Jo o (P— qu’) o (P — qui)

substituons dans la première u— uot, et dans la seconde u—= uit; les intégrales relatives à la nouvelle variable { ont alors pour limites 0 et1, et elles peuvent être de nouveau réunies, de sorte que l’on a

C { [ F — qut®)" (p— nn Choisissons les limites d'intégration wo, u:, de telle manière que l’inte-

grale double se change en un produit de deux intégrales simples; cela arrivera en posant

u—X\/ 2, Us —= À VE (104) q V 9

203 A1, étant des constantes quelconques. On a alors

a ( À À di. 0) pr LL Ga]

la valeur de l'intégrale relative à t étant désignée, pour abrèger, par! M,

on a:

A À: | 4+ 4 — Mr ni uit 3 (EE =) (05)

et ensuite __ ABM (2 do — 2 ( r dé 20 0 py/pq

op/rq €

Pour réduire cette intégrale, employons la substitution suivante :

tg0— B. tgy A 2 . laquelle donne :

AB AB (a? cos? o +- Gi? sin? +) PT A cos 9 + Bsin° y 1— A cos! + + B sin? +

T = __VAB:dr

A cos? + + B sin? +

2M F” À cos! + + B sin° y de.

0 p'acos?+ (sin?

Posons encore sous le signe ( A= C(1— a), B— C(1— G*), et nous

obtiendrons

2 — 2M FU EEE à

0 a? cos! + (5 sin° #

M (S)-e(A D con

le module x est déterminé par la formule

D'après cela, sur chaque surface à centre du second ordre, il existe une

ou bien :

in/finilé de zônes dont l'aire est exprimable au moyen d’intégrales elliptiques complètes de première et de deuxième espèce. Une telle zône sera

limitée par deux courbes qui sont déterminées par les conditions (104) ou bien

. à Bcos’0+Asin0 SIN Go — B a* cos! 0 + A CE sin? 0”

ino, —1 B cos? 0 + À sin°? 0 Fo B a cos? 0 + À G sin? 0 Les équations des projections horizontales des deux courbes se déduisent de là au moyen des substitutions :

. … 1 — Az! — By° p — BY, SEAT À — Act — Bfty" B°— 3, on obtient :

(ay) (aa angg) = AEDN , BB—IN

jt 1h °°?

(autant) (auras) — ET 1 à BEI ve

Pour la construction de ces courbes du quatrième degré, les coordonnées

polaires sont plus commodes : si l’on pose, dans ce but, dans ia première équation

. A (x?— Àot B(G* — do!) z—=rocosX, y—rosinX, ET 2 ho En) C = Bo,

et, si l’on emploie, pour la seconde équation, une substitution analogue, il vient :

°. À, cos? X + Bo sin? X re— (A cos! X+ B sin’ X) (Acë cos’ X + BB" sin? X)' A, cos? X + B, sin? X 7 (A cos’ X + Bsin? X) (Aa’ cos! X + BG sin? X) Pour l'ellipsoïde, ro et r, doivent être plus petits que le rayon vecteur = , y’ A cos? X + B sin° X

correspondant à l'angle X dans la trace horizontale de la surface. Il résulte

— 8G — de là les conditions 0 € do <B, et 0 € À € B. Pour l’hyperboloïde à une nappe, ro et r. doivent être plus grands que r; il s’en suit que do et A1 sont des fractions positives. Pour l’hyperboloïde à deux nappes, ro et fr: peuvent avoir des valeurs réelles quelconques : cela exige que Ao, Bo, As, B:, soient négatifs, ce qui a lieu si l’on prend en même temps 1 € À <

et 1 < A < B ().