IX. Aire de certaines surfaces podaires

Soit, comme dans le chapitre précédent, Aa + By° + Cz= 1,

l'équation d’une surface à centre du second degré; le plan tangent au point x, y, Z, a pour équation

AxË + Byn + CE —1, E, n, 6 désignant les coordonnées courantes du plan. Une perpendiculaire menée de l’origine des coordonnées (centre de la surface) sur le plan

tangent rencontre ce dernier en un point dont les coordonnées Ë, n, 6, sont, d’après des formules connues,

E — Ax Atrt+ Bty? + C172° — By TT Atet + By? + C2Ÿ Cz

— Atx? + B'y* + C'z°

Les points &, n, 6 forment par leur suite continue la surface podaire de la surface primitive; on obtient l'équation de cette nouvelle surface par l'élimination de x, y, z, cc qui nous donne |

(1) L’aire de l’ellipsoïde à trois axes inégaux au moyen des fonctions elliptiques a été trouvée d’abord par Legendre dans le Traité des fonctions elliptiques, 1, p. 350 à 360. Tous les autres résultats exposés dans le chapitre VIII sont dus à M. Schloemilch (Bulletin de l’Académie de Saxe, 1862, et Zeitschrift für Mathem. 1X, p. 205).

Pour l’exprimer en coordonnées polaires, désignons par r le rayon vecteur du point Ë, n, &, par Ÿ l’angle que fait r avec le plan horizontal, £ n, et * l'angle de sa projection horizontale avec l'axe des Ë ; nous aurons :

E=rcos$ cosX, n—rcoshsinX, 6 —r sin.

L'équation de la surface podaire est alors :

cos? W 20 X L cos! fan X n sing

La formule à employer pour l'aire de la surface est en général

S — LV f ir + (3)! L sin? 0+ (a) ras,

0 étant l’angle du rayon vecteur avec l’axe des x, w l’angle du plan des xy avec le plan passant par le rayon vecteur et l'axe des &. En appliquant cette formule au cas actuel, on changera d’abord les axes des x et des z l’un

dans l’autre, puis on remplacera sous le radical 6 par T — (}, w par

9 x — À. Il viendra alors, en faisant entrer r sous le radical :

gr | cost 4 + (r D) “da,

et, en vertu de la valeur (109) de r* :

2 2 2 in? in?

=(( cos Ÿ ces X cos fe 4 CS cos y dxdÿ.

En remplaçant sin? Y par 4 — cos? Y, ct posant, pour abréger,

P=— +; cost X + ES sin X — !

on a plus simplement s—> (f VA P cost ÿ - cos 4 dXdÿ.

L'intégrale relative à Ÿ prend une forme plus avantageuse, si l’on fait

sin? Y

Re 2. ; 1+Pcos 4 6 (110)

1— 61 . 1+P nus Vi de VÆ rs

/ 1+P / A1+P 1 + P cos! = 1+ PA” cos db — ares %

Elle prend alors une forme rationnelle

1 1+P s— c | Pen TE pe

ou, en vertu de la valeur de P,

sa are (fente Ant de [A?B* (1 — &} + C'* (B* cos! X + A’ sin X)J

On peut encre simplifier cette co en posant

gX— = té 8: (141) d'où l’on tire : | A!B° . e Lcint = ———__—— B* cos* X + A sin = sb ans AB d9 OA 5 cos 6 + Bt sin Ÿ dô dt $— ABC LES TIC ETS Enfin, si l'on pose t — sin w, (112) il vient :

cos wo do dû S— ABC ff (AT cost & cost O+ B' cost à sinf 6 + Ci sint op}

Cette intégrale a la même forme que la formule (87), qui sert à la détermination de l'aire des surfaces à centre du second ordre. Par conséquent, la comparaison de ces intégrales conduira à des résultats remarquables. À cet effet, imaginons, outre la surface du second ordre dont nous avons trouvé la surface podaire, une autre surface déterminée par l'équation

A’ + B'y? + Ca 1;

nous aurons pour cette dernière

ç — A’B’C’ cos w do dû RE (BC cos’ w cos’ 8 + C’A’ cos! w sin* 0 + A’B’ sin? w)?

On aura done S’—S, si A’, B’, C’, sont déterminés par la proportion

A':B':C/— As p'C et si, en outre, les limites de l'intégration sont les mêmes dans les deux intégrales doubles. La première condition exige que A’, B', C’ soient positifs; la nouvelle surface du second degré est done un ellipsoïde dunt les demi-axes a’, b’, c’, sont entre eux comme A! : B?: C?, c’est-à-dire qu'ils sont en raison inverse des carrés des demi-axes de la surface primitive. On aura donc :

Pour remplir la deuxième condition, on déduit des limites primitivement données pour Ÿ et X, les nouvelles limites de « et 0, au moyen des formules (110), (411) et (112), c'est-à-dire

AB sin? Ÿ

SE = — 22 ————— : B?C? cos? Ÿ cos? X + C’A' cos? Ÿ sin? X + AB? sin?

TTESET 22 (1414)

Donc, à chaque portion limitée de la surface podaire, correspond une portion de même grandeur de la surface de l’ellipsoïde dont les demi-axes sont a’, b', ©’.

Si, par exemple, dans l’ellipsoïde © varie de 0 à 27, et w depuis une valeur constante ©) jusqu'à une valeur «1 < «0, alors dans la surface podaire, X variera de O à 2r, et aux limites, on aura deux équations que l’on déduira de (113) en remplaçant © d’abord par «1, et ensuite par oo. Dans le cas où la surface podaire dérive d’un ellipsoïde, on a les équations

c* sin? Y

SIN? 4 = T3 aY 31:37 1:

a# cos? Ÿ cos? X + b* cos? à sin? X + c! sin? 4

.e c* sin? d SD gg = ————0—— at cos? Ÿ cos? X + b* cos? Ÿ sin? X + c! sin? Ÿ ou bien, en coordonnées rectangulaires, sin o4 = 7, FT at + béni + cb?

cie

SD dD= VU ates + boat + c'e?

On cn déduit le théorème suivant : L'intersection de la surface podaire (£° + nt + c?} — utE3 + btnt + c'Et, avec les deux cônes elliptiques at + bin = c'Et cotg? wo,

donne une zône qui a la même aire que la zône de l’elllipsoïde construit sur les demi-axes a”, b’, c’, et dont les lignes limites sont les courbes des normales isoclines correspondant aux inclinaisons «1 et wo,

Pour pouvoir appliquer à cette aire les formules ci-dessus, on doit prendre a<b< c,. par suite, & >6" > c’. On peut alors appliquer

immédiatement les formules (97) à (102), en y remplaçant a, b, c par a’, b’, c’.

Pour 1 = 0, oo = 3 la zône de la surface podaire se change en

une demi-surface, et la zône de l’ellipsoïde devient un demi-ellipsoïde. D’après cela, la surface podaire a la même aire que l'ellipsoïde dont les demi-axes sont a’, b’, c’.

Si l’on construit sur l’ellipsoïde la ligne des normales isoclines, déter-

minée par l’équation , a'b’ O = > ———— 8 (a+ b" + c’) c”

‘le demi-ellipsoïde se décompose en une calotte et une zône dont les aires différent de la quantité algébrique :

| ab’

On en conclut le théorème suivant : la demi-surfuce podaire est décomposée par le cône aie + bin? = (bte? + cat + a?b?) E?

en une zône el une calotte, dont la différence des aires est

Sur l'ellipsoïde, a’, b', c’, il existe en outre des zônes dont les aires peuvent être exprimées par des intégrales elliptiques complètes. Dans ce cas, 0 varie de 0 à 2r, et l’on a, pour les limites de w, les équations (107) qui donnent :

À? C’ (B cos? 9 + A’ sin° 0)

e [3 SSSR oo Sin" do B’ (C’— À’) cos? 0 + À’ (C' __ B) sin? g?

À: C’ (B” cos* 9 + A’ sin? 6)

e. [3 ee SD Up (C’ — A’) cos’ 8 + A’ (C’—B) sin° 6

Aux limites 0—= 0 et 0—92r, correspondent les limites X= 0, X = 2r : on a, en outre, si l’on exprime A’, B’, C’, en fonction de A, B, C, et 0 en fonction de X :

(A? — C?) Bt cos? X + (B?— C?) A! sin? X

Si l’on prend l'équation (113) dans laquelle on remplace © d’abord par ©, ensuite par ©, et si l'on met pour A°, B?, C?, leurs valeurs, et que l’on pose, pour abréger,

ot 2 A 2 D et 0 js >

on arrive aux équations suivantes relatives aux limites :

bo? (at cos? X + b# sin? X)

ne Q = 1 D, sin Ÿ (ct — at) cos? À + (c°— bt) sin X in y ___ pi (at cos° X + bt sin? X)

7 (ct— at) cost X + (ce — bt)sin?X

En coordonnées rectangulaires, on a :

£a bot (atË* + bint) Er m+cs (ct — at)E+ {et — bi) n°?

(2 … put (at + bty3) | Et+ + Et (ct — at) €? + (ct — bt) n°

Ces équations représentent deux cônes du second degré : ils découpent dans la surface podaire une zône dont l'aire est exprimée par des intégrales clliptiques- complètes (1). |

(1) M. Tortolini a traité le cas de l’aire totale de la surface podaire de l’ellipsoïde. Tous les autres résultats du chapitre IX sont dûs à M. Schloemilch (Bulletin de l’Académie de Saxe, 1862, et Zeitschrift für Math., IX.)