DEUXIÈME PARTIE

I. Définition et périodicité réelle des fonctions elliptiques.

On sait que l’analyse aurait conduit, par des considérations tout-à-fait indépendantes de la géométrie, aux fonctions goniométriques et aux fonctions cyclométriques. On les aurait définies par les intégrales

7 dz 0 1— 2°

en prenant les inverses des équations ainsi obtenues :

| 5 de arc sin z — » arctgz=— Re etc.;

arc Sin Z2= 4%, arctgz—v, ctc.

on aurait été amené aux fonctions trigonométriques : z = Sin 4, z=—=tgv, etc.

On aurait reconnu analytiquement la périodicité réelle de ces fonctions sin w, tg v, etc., en découvrant que les intégrales qui servent à les définir ont une infinité d'acceptions.

Les fonctions goniométriques étant d'une grande commodité dans beaucoup de recherches analytiques, il était naturel de prendre aussi les

inverses des intégrales elliptiques, et de considérer les fonctions que l’on déduit des équations

{ 7 dz v, etc.

op (1 +2?) (1 + k3z1) 7?

résolues par rapport à z. Ces inverses des intégrales elliptiques ont reçu le nom de fonctions elliptiques(1). Ce sont en quelque sorte des fonctions goniométriques supérieures; dans des cas particuliers, par exemple pour k— 0, et k —1, elles se transforment en fonctions goniométriques. Considérons d’abord l'intégrale elliptique la plus simple :

\ Ur)

? do | |

( ———— ——— — 1, ou F{(k,q)=u, (4) 0 py/1— k? sin? o |

et supposons que le module k, et la valeur « de l'intégrale soient donnés;

@ sera alors une fonction de et de k. Pour en tirer une notation corres-

pondante, on sc rappellera que œ désigne l’amplitude de l'intégrale, ou

l'amplitude de u. On se sert de l'expression « amplitude de » comme signe

fonctionnel, et l’on écrit, en abrégé, | .

p—am u, (mod. = &)}, (2) ou bicn :

œ—am (u, À). (5)

Dans cette expression on peut omettre la désignation du module, si sa valeur est suffisamment connue. Dans les deux cas particuliers k = 0, k=—= 1, la fonction am (uw, k), s'exprime facilement au moyen des fonctions ordinaires. En effet, pour &— 0, on a d'après (1), = «, et d’après (5), @—=am (u, 0); par suite,

am (u, 0) = u.

Pour k = 1, l'équation (1) donne :

4 1 : | 1. tg tra?) —" où parte +MT— ST

et l'équation (5) devient :

p— am (uw, 1);

(1) Nous suivons ici la nomenclature de Jacobi. Legendre a appelé fonctions elliptiques les fonctions F (k, +), E (k, o), I (k, &); mais ce nom est moins naturel que celui d'intégrales elliptiques.

d'où am (u, 1) = 2 arc tg e"+ (r — ) T

m étant un nombre pair. Ce nombre est déterminé par la condition que o

e l A e \] 1 e Q et w croissent en même temps, et varic de O à g 7 Si u varie de O à w;

ee 1 , pour w positif, o est compris entre O et gT:par conséquent, m = 0.

Revenons maintenant aux équations générales (1) et (5), et imaginons que l'amplitude + ait une grandeur quelconque, par exemple m fois le

quadrant ÿ 7, plus un reste p, moindre que à x. On devra séparer ici le cas de m pair ou impair. Dans le premier cas, m—2n, l'équation p=Mm D T+P se change eno= nT+p, et l'on a :

( de (2 h (ee. ” 0 A o A9 A La première intégrale du second membre, peut, d’après la relation |

nr ns 27 57 nx Cf . “0 0 27 (n—f{)7x

nxr

se transformer en n intégrales; si l’on emploie les substitutions suivantes :

Dans la première intégrale ç =,

» deuxième » p=nr+\, » troisième » p—=92r +4, dans la n° intégrale p=(n—1) r+ Y,

on obtient, pour toutes ces intégrales, la même forme, ct l’on a :

EE o À o Ÿ |

ou bien, puisque Ay prend les mêmes valeurs de ÿ — LE = 7,

que de Y=0ay= Sr

| R | 7 do F * dy — = Zi — = 92nK (5) N A o AÀŸ |

où l’on pose, pour abréger, F ( 3 x) — K. En outre, la dernière inté-

grale (4) se change, par la substitution de 9 = nr +1}, en la suivante :

(rés ( dy

—. (6) nx A 0 AY On a donc, en vertu de (4), (5) et (6), nr+e P de 2nK + dŸ, | (7) 0 A o AŸ Pour m impair et — 2n — 1, l'équation o — m 1 7x + p devient

p= Nr — G T — e) ou plus simplement o=—n7x — 0, en désignant par o un arc du premicr quadrant. On a alors

NX —06 nTzx ° 214 nr | e( 2 — ant — | dy, o AP Jo Àp J,,-,A

nT —c

et, si l’on pose, dans la dernière intégrale, o = n7r — , il vient

nr — 0 do [ dy — —= 92nK — \ —. 8 M A? o AY (8 Les équations (7) et (8) sont réunies dans la formule unique nr EX X TT — OnKk + de, (9) o A9 o AP

laquelle montre comment une intégrale d’une amplitude quelconque est exprimée par l'intégrale complète K, et par une intégrale non comx | 1 plète, dont l'amplitude est comprise entre 0 et 37 Il suffit seulement d'écrire l'équation (9) sous une autre forme, pour

arriver à une propriété fondamentale de la fonction am w. Si l’on pose, en effet,

on a d’un côté, en vertu de (9) v— 2nK +u; d'autre part, en renversant les équations précédentes, il vient : X — am v, nr + À = am v.

Si l’on substitue dans la dernière équation les valeurs de X et de v, on arrive, en changeant l’ordre des deux membres, à la formule

am (2nK +u)= nr +amu. (10)

Soit en outre

° d —w, d'où o—amw;

— —=— wW, el —o—am (— w).

Par conséquent, si l’on compare ces deux expressions, il vient : am (— w) — — am w. (11)

Au moyen des formules obtenues, on peut se faire une idée de la marche de la fonction am vw, lorsque w est limitée à des valeurs réelles. Si l’on construit, en effet, u comme une abscisse, o — am # comme une ordonnée, on voit, qu'aux abscisses (fig. 22)

0, OK: = K, OK: — 2K, OKs = 3K,...) correspondent les ordonnées

T T LS 0, KL: — 9? KeLs — 2 Ch K;:Ls = 3 cs D'après cela, les points Las, Le, Ls, etc. se trouvent sur une droite passant par l’origine des coordonnées. En outre, si l’on a, pour un point P quelconque, l’abscisse u, l’ordonnée am w, et l'angle 7 entre la tangente en P et l’axe des abscisses, on a :

__damu do 1 sin! 9:

GT 4 — k? sin? ®

do :y/1— k3 sin° o

à l'origine des coordonnées tgr—1; lorsque P vient en L, tg r —p/1—k. L'angle 7 commence donc à 45° et diminue jusque arc tg k’. A cause de am (2K—u) = 7 — am u, l'arc LL, est égal à l’arc OL:, mais dans une position inverse : de am (2K + u) — r+am u, il résulte que l’are LL; est égal à l'arc O[. et dans la même position, et ainsi de suite à l'infini des deux côtés.

L'inverse de l'intégrale elliptique

( =, (12) 0 (1— 23) (1 — Ktzt)

se déduit facilement de ce qui précède. Pour z = sin y, l'équation se change en la suivonte :

Cette dernière donne ç — am w, et, par suite, à cause de z— sin D : on a, pour l'inverse de (12),

z = sin am w{l). (15)

Toutes les intégrales elliptiques qui se ramènent à l'intégrale elliptique de première espèce peuvent être traitées de la même manière. Par exemple, de l'équation

(1 Cette formule s’énonce z égale sinus amplitude u. La variable w s'appelle, d’après Jacobi, l'argument des fonctions elliptiques. La notation am u, sin am w, cos am uw, Aam u, est due à Jacobi. Plusieurs autres notations ont été aussi employées. Ainsi, MM. Briot et Bouquet, d’après M. Liouville dans ses leçons au collége de France, désignent les trois fonctions elliptiques par les lettres À, 4, v (Théorie des fonctions doublement périodiques et en particulier des fonctions elliptiques). Schellbach a employé les trois lettres f, g, h (Die Lehre von den elliptischen Integralen und den Theta-Funclionen). Enfin Gudermann, de son côté, a adopté les notations snu, cnu, dn u (Theorie der Modular Funetionen). La notation de Jacobi est peut-être peu commode à cause de sa longueur : mais elle a le grand avantage de faire ressortir la propriété fondamentale des fonctions elliptiques.

? , de p= am v,

et, d’après ce qui précède, Z — COS AM Ÿ. (15) De même l'équation [ dz (15)

laquelle pour z = p/1 — k* sin œ, se change en

donne l'inverse

z=}/1— k?sint am w = Àam w. (17)

Les trois fonctions de l’amplitude ainsi formées sont les plus importantes parmi les fonctions qui proviennent de l’inversion des intégrales clliptiques de première espèce; celles forment un groupe qui, dans la théorie des fonctions elliptiques, occupe à peu près le même rang que le sinus et le cosinus dans les fonctions goniométriques. C’est ce que l’on reconnait facilement au moyen des formules différentielles que l’on en déduit.

L’équation damu—=1y/ 1— kt sin o du — À am uw: du,

donne, en effet,

d sin am # — cos am w À am u: du, d cosam u — — sin am w A am u-du, (18) d'A amu— — k*sin am w cos am uw: du.

Par rapport à la périodicité, il existe aussi une grande analogie entre

les fonctions elliptiques et les fonctions goniométriques. A cause de am (2K — u) = T — am w, on à :

sin am (2K — u) —sin (7 — am u)—=sinamu;

de même, sin am (2K + w) — — sin amu, sinam(4K—u)——sinamu, sin am (4K + u) — sin am v.

11 suit de là que l'intégrale complète K a la même signification pour le

sinus amplitude, que le nombre 3T pour le sinus ordinaire. Si l’on a

encorc égard à la relation am (— v) = — am v, on arrive facilement aux formules suivantes :

sinam(u+2K)——sinamu, cos am (u + 2K)— — cos am v,

À am (u + 2K) = À am u, ‘ sin am (u + 4K)— sin amu, cos am (u + 4K) = cos am , 20

À am (u + 4K) = À am v. (20)

D’après cela, les fonctions elliptiques ne changent pas lorsque la variable augmente de 4K, c’est-à-dire qu'elles ont une période réelle dont l’indice

| est 4K (1). Dans le cas particulier k= 0, on aK =57T sin am # — sin v,

cos am u —cos#, À am u —1, et alors les formules (20) donnent le théorème connu de la périodicité réelle des fonctions sin w et cos u. Si l'on fait k— 1, on a K — « ; de (12) et (15) on déduit :

e* — eT% e?u rs , |

sin am (u, 1) = —— ——, GES x

et cette expression n’a plus aucune période réelle. Mais si l’on se rappelle que, à cause de la relation

eUSETV 1) — et", la quantité exponentielle e*“ doit être considérée comme une fonction périodique, dont la période a l’indice imaginaire x j/ — À, on reconnaît

aussi dans sin am (x, 1) une fonction périodique dont l'indice est 7 p/—1.

(1) On voit que la période des fonctions elliptiques n’est pas un nombre absolu, comme celle des fonctions trigonométriques, mais qu’elle dépend du module. Lorsque le module sera 4’, l'indice de la période est 4K, et l’on aura :

sin am (u # 4K, 4) = sin am (u, k’). J. G.

Afin de voir si cette propriété de sin am w appartient seulement au cas particulier k — 1, ou bien si elle a encore lieu pour d’autres modules, nous avons besoin d’un examen plus approfondi.