II. Double périodicité du sinus amplitude
Nous nous occupons d’abord de l’intégrale suivante :
( dz | Op (1— 2?) (1 — ktzt)
dans laquelle nous supposons d’abord z une variable complexe quelconque, et examinons les valeurs différentes que prend cette intégrale pour différents chemins d'intégration. Posons, pour abréger,
VU— 2) (1 — F2) et désignons, lorsque cela sera nécessaire, par [f (z)] la valeur absolue de f(z).
A la valeur initiale z = 0 correspond f (0) = + 1; pour éviter l’ambiguité, supposons f (0) = + 1. Comme, en outre,
1 4 | 1 z Vi+z V4 V3:
il en résulte que f (z) a quatre points singuliers
Z=+1, 2Z = — À, = Z—= — pour lesquels f (z) est infinie. Ces points sont en même temps des points de ramification ou d’embranchement; car, la révolution de z autour de chacun de ces points donne un changement de signe de f(z). Les deux premiers points sont sur l'axe des abscisses aux distances OFi— + 1, OFs= — 1; les debx autres sont situés sur l'axe des x ou au-dessus, suivant que k est réel ou imaginaire. Pour plus de généralité, nous supposerons ce dernier cas, et nous imagincrons que Gi et G: représentent
+ = et — s (fig. 23). Supposons maintenant que la variable z passe du
point O, sur une courbe fermée qui entoure le point F, une fois seulement, et désignons par I (F1) la valeur correspondante de ff (z) dz. Nous aurons alors :
(F1) =1 (OA) + I (A:BiC1A:1) + I (A:10).
Dans la deuxième intégrale, posons z — 1 — re‘, où r cest le rayon du cercle A,B:C;A1, et observons encore que f (z) a dans le retour de A,0 un signe contraire à celui qu'elle a pour l'aller OA,. Nous avons alors ({n{roduction, N° 50):
1—r 2x 0 1 (F:) = ( f (z) dz — ir f(1— rei0) eï0 d0 + ( — [f(z)]} de. 0 0 1—r L'intégrale relative au cercle est 1; ed
| 27 __ r2 ir f(1—rei0)e0d0—iy/r
R 0 0 W(2—re0)(1—k+kret0)(1 +k—krefé) !
elle devient nulle pour r = 0, et il reste alors :
{ 0 1 1 dz | 1 (F:) = ( f (z) dz — ( f(z) dz = 2 ( f(z) dz = 2 ( ——— =}
0 1 0 Op(1— 22) (1 — kz?)
où F est emploÿé par abréviation. Pour une deuxième révolution autour
de F1, on a les mêmes conclusions, seulement le signe change, puisque
maintenant f (z) commence avec la valeur finale — 4 et revient en O avec
la valeur finale + 1. Pour la deuxième révolution la valeur de l’intégrale
sera — F. Si l’on désigne, en général, par I, (F:) la valeur que prend
l'intégrale après n révolutions autour du point F4, il vient :
