F1) = 0, I (Fi) = F, Li (F1) = 0, Is (F1) = EF, etc

Au moyen de considérations tout -à-fait analogues, on arrive à la valeur que prend l'intégrale, lorsque, partant de O, on entoure plusieurs fois le point F;; on trouve d’abord :

7 == 0 VA — 2)(1— Kz°)

et, d'après cela, le (F2) = 0, Ï; (F2) = — F, L (F3) —= 0, Is (F2) = — F, etc.

Par la même méthode, on obtient aussi les valeurs de l'intégrale, qui

correspondent aux révolutions autour de G; et de G:; si l'on pose, en cffet, pour abréger, |

2 — — = G op(1— 2) (1 — M1)

on obtient ; L(G)—=6G, I:(G)—=0, I1:(G)—=G, L(G)=0, etc.

H(G)=—G, L(G)—=0, I1:(G)—=—G, Hi(G)—0, etc.

Le chemin d'intégration le plus général de O vers un point quelconque P

représentant la variable z = x + y }/ —1, se compose maintenant de plusieurs circuits autour des quatre points de ramification, et ensuite du chemin rectiligne de O vers P. Chaque circuit, pris dans un ordre quelconque, donne par suite de la valeur qui lui correspond une expression de la forme uF + vG, où p: ct v sont des nombres entiers, lesquels peuvent être positifs, nuls ou négalifs. La valeur générale de l'intégrale est done

z Zz

f(z)dz=pF +vG + t+f[f{z)]} dz, (21) 7 +0 0

et le signe de f (z) est déterminé dans l'intégrale linéaire par la valeur

finale avec laquelle f (z) revient en O après ces circuits. Pour décider de

2e signe, examinons les quatre cas suivants les seuls possibles :

Le pair, y pair, Le impair, y impair, Lu pair, y impair, impair, y pair.

Le premicr cas se présente, lorsque l’on entoure plusicurs fois Fi, ensuite F,, puis de nouveau F, et F,, etc., mais que l’on s'arrête aux circuits du point F,, ensuite que l’on procède de même avec G; et G: (ou avec Gs et Gi), et finalement que l'on parcourt le chemin rectiligne OP. Or, si f (2) est positive le long de OF, négative de Fi en Fi, positive de Fs en O, et cela aussi souvent que ces allers et retours peuvent être répétés, on obtient toujours pour f (z) la valeur positive finale f (0) = + 1, dès que l’on s'arrête toujours à F,. La même chose a lieu relativement aux points G; et G:; par conséquent, f(z) commence dans l'intégrale linéaire

avec la valeur positive f (0) = + 1, et reste positive puisque entre 0 et P, il n'y a aucun point d'embranchement. Pour pu = 2p, v — 2q, on a donc * l'équation

4 Z L (2) de = 2pP + 246 + | f (z) dz, 0 0

que l’on peut encore écrire

( f(z) dz = (2p + 2q) F — 2q (F — o+| ‘ f(z)dz (22) 0 0

Le second cas se présente lorsque l’on entoure plusieurs fois F1, F:, Ms Fe, etc., mais que l’on s'arrête aux circuits du point F; et qu'’ensuite 0 procède de même avec G; et G:. Après les révolutions autour de F;, 3: Fis Fa, ce. F1, la fonction f (z) arrive en O avec le signe négatif, ammalx révolutions autour de G:, G:, G1, Ge... G1, correspondent autant de ch==n gements de signes, et, après la dernière révolution, f (z) est de nouveau positive, et reste positive le long de OP. Pouru—2p—1,»—2q+ 1 on a :

( f(e) de = (2p—1)F + (29 + 1) G + |

Z f(z) dz,

ou bien :

À rtode = @p+2p r— (291 (6 0)+ |

‘ f(z)dz. (23)

Comme on le voit, les équations (22) et (23), qui correspondent aux deux premiers cas, se confondent dans l'équation suivante :

[ro de ane « n (F— 6) + |

thé, (4

dans laquelle m et n sont des nombres entiers. Le troisième cas a licu lorsque l’ordre des révolutions est le suivant : F;, F3, Fi, F2, .…. F3, G1, Ga, G:, Ge, CO Ge, G:.

Après la dernière révolution autour de F;, la fonction f (z) est positive;

après Ja dernière révolution autour de G:, cette fonction f (z) est négative. On a done, pour u = 2p, v—=2q<+1,

À 69 de — ape (2 + 6 —

f (z) dz, où bien Z Z | f (z) dz —(2p + 2q +1) F— (29+ 1)(F—G) — f f(z) dz. (25) 0 0 Enfin, au dernier cas correspond l’ordre suivant des révolutions : Fis Fa, Fas Fa, . Fe, Fi, Gi, Ge, Gi, Gas .... Ga.

Après la dernière révolution autour de Fi, la fonction f(z) est négative; après la dernière révolution autour de G:, elle est encore négative. On a donc, pour u— 2p +1, y — 2,

À (2) de = (2p +1) F + 296 — (rc dz, 0 0

ou bien :

F f(z) dz = (2p + 2q + 1) F — 2q (F— G) — ‘ f(z) dz. (26) °0 0

Les équations (25) et (26) peuvent aussi être réunies dans une formule unique

(62) de = (2m + 1)F + n (F — 6) — (Fred, (27) 0 0

dans laquelle m et n sont des nombres entiers. Toutes les valeurs différentes que / f (z) dz peut prendre pour les différents chemins d’intégration, sont done comprises dans les formules (24) et (27).

Proposons-nous maintenant de calculer les deux intégrales F et F — G. La première ne présente aucune difficulté, particulièrement si £ est considérée comme une fraction réelle, ce qui doit arriver plus loin. Pour ce qui concerne l'expression F — G, c’est la valeur que prend ff (2) dz, lorsque les points F, et G sont entourés l’un après l’autre (fig. 24). À ce chemin, on peut en substituer un autre, savoir : on va en ligne droite de O vers un point M rapproché de F:, on décrit autour de F;, un cercle d’un

rayon FM; on va ensuite en ligne droite de M vers un point N situé prés de G:, puis on décrit autour de G, un cercle d’un rayon G;N, et l’on revient alors par la droite NO vers le point 0, pour lequel on peut aussi choisir, au lieu du chemia rcctiligne NO la ligne brisée NMO, puisqu'il n’y a aucun point singulier à l'intérieur du triangle OMN. Les signes de f (z) sont, pour les droites en question,

le long de OM, MN, NM, MO, positif, négatif, positif, positif; on a ainsi, pour FM = GiN =r,

1—r r F— G— ( f (z) dz + intégrale circulaire + (f i— [f(z)]} dz 0 | 4—7

+ intégrale circulaire + (re {+ [f(2)]l der + ( {+ [f(2)] } dz, k TT

où la première intégrale linéaire se détruit avec la dernière, et la deuxième intégrale linéaire est égale à la troisième. Si r tend vers zéro, les deux intégrales circulaires s’annulent, et il reste : | dz 1V/U— 2) TEEN

Nous supposons k une fraction positive et réelle. On a alors l'expression réclle

ro (|

paf “OV (1— 7?) (1 — ktz?) Au contraire, F — G est imaginaire, parce que, entre les limites 4 et 2 le premier facteur À — z° est négatif, et le deuxième 1— 4£?z° positif. Cette

remarque donne :

{ dz

si l’on pose |

TRS

A ki Rk3, et z—

on a l’équation dx | 0ÿ/(1 — xt) (1 — Ka) dans laquelle K’ est l'intégrale elliptique complète de module {. Les formules (24) et (27) deviennent alors