F—G= 2 | = AK
7 dz 3 dz ——— © ——— — 4mK + 1. 2nkK' —————————— 2 er et mo à LS 7 dz 7 dz © — (4m +2) K +5 nK — ||" \ VU —21)(1—H21) ss Les
Nous écrirons, pour abréger, W= 4mK + 1° 2nK'+ 1,0, W= (4m +2)K + 1:2nK'— 1w,
en désignant par W la valeur générale de l’intégrale, et par w# la valeur de l'intégrale linéaire. Comme la limite supérieure z est la même dans les deux intégrales, on a, en renversant les intégrales :
z dz
OY(1— 21) (1 — Ktz!)
Z dz fé, à | Op(1— 2?) (1— Ktzt) les deux équations suivantes :
z—=sinamW, et z—sinamw; d’où sin am W — sin am w.
En vertu des relations précédentes entre W et w, on a : sin am (4mK + 1:2nK’+ #0) — sin am w, (28) sin am ([4m + 2]K+1-2nK'— vw) —= sin am w. (29)
La première de ces équations montre que la fonction sinamw ne change pas, lorsque la variable « croit d'un multiple de 4K et d’un multiple de t-2K’. Par suite, le sinus amplitude a une période réelle dont l’indice est 4K, et une période imaginaire dont l’indice est i-2K’.
Dans le cas particulier où k — 0, on a K — 5 7, K'— , sin am (w, 0)
= sin w : la période imaginaire est supprimée, et il reste la période réelle
27, laquelle appartient en effet à la fonction sin w. Le cas où k— 1,
donne K—æ,K'=5 7
Leo sin am (w,1) = —
et cette fonction ne possède que la période imaginaire it.
Aux recherches précédentes, nous rattachcrons encore le développement de quelques formules fondamentales pour sin am w, et nous ferons remarquer d'abord que, dans la suite, nous prendrons toujours linéairement l'intégrale
Ç dz ————__——————— — y oVÜ—2)(1— F2)
puisque, d’eprès les formules (28) ct (29), tout autre chemin d'intégration peut se ramener à la droite de O en z.
Si l'on remplace dans l'équation
1 dz 2 (1— 21)(1 — ktzt)
la variable z par une autre y, au moycn de la substitution
1— y° 4 — 7° Vip TV 1-6 V 1— 22 K-w=| 1 — k222
dy, 0 VU — y) — Kg)
On en déduit réciproquement :
1 — 2° - V/ Es = sin am (K — w)
ou, en vertu de l'équation primitive z — sin am w,
il vient :
cos am w sin am Kw) = En :
Cette formule correspond à la relation goniométrique sin G 1 — )
— cos w, à laquelle elle se ramène pour k = 0.
Jacobi appelle am (K — w) la coamplitude de w, et il écrit la formule (50) sous la forme suivante :
cos am w
SIN COAM W = ———:.
À am w
Mais cette notation est peu employée; d’ailleurs, elle ne donne lieu à aucune simplification importante.
Si la limite supérieure est imaginaire, par exemple z = tn, on a : in hi = W, in = sin am w; (51) 0 y(4—-21) (1 — k?z1)
toutes les valeurs de z qui se rapportent au chemin d'intégration sont alors de la forme ty; la substitution z == y donne :
(8 op U+y*)(1 + ky5)
Si l’on fait ensuite y=—=—— >; on obtient :
n ï ‘es dx __— w, 0 Va) A— Fe) ou, en désignant l'intégrale par v,
twÙ — iv = sinam(v,k’), n—=tg ain (v, k).
De la deuxième équation (31), on tire, par la substitution des valeurs de w et n, |
sin am (tv) = t tg am (v, K). (32) Si l’on suppose la limite supérieure de l'intégrale w plus grande que
l'unité, on doit remarquer que p/ (1 — z*) (1 — k?z?) est imaginaire de
z=1àz— ri et qu’elle devient, au contraire, de nouveau réelle pour
z > E' On à donc à distinguer deux cas, suivant que la limite supé-
. . . e. 4 ‘ | rieure en question est comprise entre À et-; ou plus grande que —:
Pour examiner le premier cas, soient :
ë dz I
— —#, -—sinamw, 35 F /( — 24) (4 — ktzt) ë 65)
et kÇE< 1. Le chemin rectiligne d'intégration passe ici par le point de ramification x —+1, ce que l’on peut éviter, en entourant ce point d'un demi-cercle. On trouve facilement que l'intégrale prise sur le demi-cercle s’'annule en même temps que le rayon de ce demi-cercle, de sorte qu'il reste :
o—( EE f E , op/( — z)(1— ktz°) ip (Ai 2) (1 — 22)
c’est-à-dire
1 (& d w = K + - F "TT AVE 10 F2) Au moyen de la substitution z — 1, on obtient : V'1— kr VIE
dx
ou bien, si l’on désigne l'intégrale par v,
w = K + 5 VIE sin am (v,k’), Eë— A am (v, k”).
En vertu des valeurs de Ë et w, on déduit de la seconde équation (35),
sin am {| K+ 2\— 4) Aam(r,k) ct, si l’on met — v à la place de v,
———. 54 À am (v, k’) (54)
sin am (K + iv) —
Pour discuter le second cas mentionné ci-dessus, considérons l'intégrale
[* 1 —= , ; = sin am w, (55) NAT EL
dans l'hypothèse où £ est une fraction positive. Le chemin rectiligne d'intégration conduit ici par les deux points de ramification x — + 1 et
x—+-, que l'on peut de nouveau entourer par des demi-cercles.
k Lorsque les rayons de ces cercles s’annulent, les intégrales prises sur les demi-cercles s’annulent aussi, ct il vient :
! 1 l dz À f dz ( de = ——— 1 ————— + ———— :
OV(1—2)(A4— ka) 4 p/(—1)(1 — ktz!) : V' (z°—1) (k?z—1) La première de ces intégrales a pour valeur K; posons, dans la seconde
e. | e. en 1 comme ci-dessus, z2= ———;, et dans la troisième, z2= —» il
1 kr viendra : | 4 L dx 1 : dx .
A top Ha) kr) “Er x) (Pr) - ou bien 5 dx
1, ———————— w—=K+-K+Kk— | (4 — x?) (1 — kit)
Si nous désignons par w la valeur de la dernière intégrale, nous aurons les équations suivantes :
w = 2K— u— iK, Ë — sin am w.
Ces valeurs substituée dans (35), nous donnent
j sin am (2K — u —1K')— —————.
k sin am w Si l'on remplace w — 2K par 4, et si l'on observe que sin am (— w) — — sin am w, on a finalement
sin am (u + 1K) = Ésinamu .
D'après cette discussion, on peut facilement donner une image de la double périodicité du sinus amplitude, et indiquer les valeurs particulières où sin am w devient nulle ou infinie.
Supposons, en effct, le plan uv divisé, par des parallèles aux axes des w et des v, en rectangles égaux dont chacun a pour base 4K et pour hauteur 2K’ (fig. 25). Soit OACB le premier de ces rectangles, dont les côtés sont OA=— 4K, 0B=— 2K”, sur les parties positives des axes coordonnés; supposons enfin que le point arbitraire P représente dans ce rectangle le nombre complexe w — u + iv. La valeur que le sinus amplitude prend en P, se reproduit dès que w augmente d’un multiple de 4K, ou d’un multiple de :-2K’, ou des deux multiples en même temps. En tous les points P:, P:, etc., qui se trouvent placés dans les autres rectangles de la même manière que P dans le premier rectangle, sin am w prend la même valeur qu'au point P. Si, en outre, dans les hypothèses 0 <u<[ 2K, et0<vw<K’, on considère les quatre points
P comme représentant u + iv, Q » » 2K —u+1(2K'—v), R » » 2K + uw + iv, S » » 4K — u +1i(2K'—v),
les formules (29) et (28) nous montrent que le sinus amplitude a la même valeur absolue en ces quatre points : mais, il est positif en P et Q, négatif en RetS; en outre, les quatre parties du rectangle OACB sont les mêmes par rapport à la fonction sin am w, que les quatre quadrants par rapport à sin w. A l’intérieur du rectangle OACB, sin am w = 0 aux six points
0, 2K, AK, i.2K’, 2K+i.92K’, 4K+i-9K,
lesquels sont désignés par des zéros dans la figure. Enfin les formules (36), (29) et (28) montrent qu’à l’intérieur du premier rectangle, sin am w est infinie aux trois points
1K', 2K+1K', 4K+1kK, lesquels sont indiqués par des étoiles.
Notes du traducteur. — Il nous reste, en terminant ce chapitre, à
ajouter une démonstration d’une propriété fondamentale du sinus amplitude, laquelle doit nous servir dans les chapitres suivants, et que
Mais il est plus simple de définir cette fonction par l'équation
cos am w—}/ 1 — sin? am w,
à laquelle on joint la condition initiale cos am 0 — + 1.
Comme y 1— 2? n’est pas une fonction monodrome de z, et, en cffet, elle change de signe, lorsque l’on entoure l’un des points z=— + 1,'ou z—— À, ils’en suit que cos am w, considérée comme fonction de sin amw, n’est pas monodrome. Mais il n’en résulte pas que cos am w, considérée comme fonction de w, puisse être une fonction ambigue. En effet, si ces valeurs multiples existent, si la fonction a plusieurs acceptions, les points pour lesquels on a sin am w=— + 1, seront les points de ramification de cos am w. D’après cela, ces derniers scraient, si nous nous limitons provisoirement au rectungle OACB (fig. 25),
Examinons maintenant comment la fonction cos am w se comporte, lorsque l’on entoure d’un cercle un de ces points. On a d'abord :
cos am (K — t) = y 1— sin? am (K — t).
Or, de sin am (2K — w) = sin am w, il résulte cncore pour w=K + f, | sin am (K — t) — sin am (K + t). (37)
Mais, comme sin am (K — f) reste synectique pour t suffisamment petit, sin am (K — t) doit se transformer en une série procédant suivant les puissances de t, laquelle a pour premier terme sin amK=—1. En vertu de la relation (37), elle ne peut renfermer que des puissances paires de t, et il vient :
sin am (K — {)— 1 — af? + ft — …;
cos am (K — t)—tp/ 2 — (at + 2) 12+..….
Si l’on fait une première fois t — re, et ensuite { = reT+0), c'est-àdire si le point K se meut sur un cercle, on obtient dans les deux cas la même valeur de cos am w. Le point en question n’est done pas un point de ramification. |
Pour le deuxième des quatre points ci-dessus, on a :
d'où
cos am (K+ &+ 2K° — {)— p/À — sin? am(K+ à: 2K/— +)
= 1— sin am(K—t)=ty/ 24 — (at + 26) +...
ce qui conduit à la même conclusion que ci-dessus. La même chose a licu non-seulement pour les deux points restants, mais aussi pour les points correspondants des autres rectangles, dans lesquels les valeurs de sin am w se reproduisent périodiquement. La fonction cos am w est donc une fonc-
tion monodrome.
De la définition du cosinus amplitude, il résulte que cos am (— w)
= + co$ am w, et il reste à décider le signe à adopter. Pour cela, on a recours au cas particulier w == 0, lequel montre que, du moins pour w infiniment petit, on doit prendre le signe supérieur. Mais comme cos am w reste monodrome, ce signe doit exister aussi pour toutes les autres valeurs de w. D’après cela, le cosinus amplitude est une fonction paire.
Pour découvrir les périodes de cette fonction, rappelons la formule
(37), qui nous donne :
cos am (K + t) — + cos am (K — 1).
Le signe du second membre est déterminé par le développement
cos am(K—t)—1t y 24 — (at + 25) 8 +
dont le second membre est négatif pour t négatif. On a donc : cos am (K + f{) = — cos am (K — t),
et, pour t = K + w, cos am (2K + w) = — cos am w.
Enfin, si l’on remplace w par 2K + +, il vient : cos am (4 K + w) —= cos am w.
L'une des périodes de cos am w est donc réelle, et son indice est 4K. On a en outre :
cos am (iK’+ {)—= 4 1 — sin? am (iK’+ {) — 1— Bshranr .V/1— K'sin®amt
— ksinamt Le premier membre étant monodrome, on a :
cos am (iK’ + {) — — cos am (:K’— t), et, pour { = 1K° + w, cos am (2:K°+ w) — — cos am w.
Si l'on remplace w par 2K + w, il vient :
cos am (2K + 2%K' + w)—= + cosamw.
Par conséquent, le cosinus amplitude a une deuxième période dont
l'indice est 2K + : : 2K’. | « Les deux périodes deviennent évidentes, si l’on prend, comme précédemment, 0A— 4K, 0B = 2K’ (fig. 26).
Joignons l'origine des coordonnées au point D, milieu de BC, construisons un parallélogramme sur OA et OD, et enfin, divisons le plan en parallélogrammes égaux par des parallèles à OA et OD. A un point P quelconque, situé dans OAED, et qui représente w + iv, correspondent dans les autres parallélogrammes des points représentant
4mK + n(2K+1.2K')+u+iv—(4m+2n)K+u—+i(2nK'+ 0), et pour lesquels cos am w prend la même valeur qu’en P.
À l’intérieur du premier parallélogramme, cos am w devient quatre fois nulle, aux points
K, 3K, 3K+i.9K’, 5K+1.9K, qui sont désignés par des zéros dans la figure. De plus, cos am w devient deux fois infinie, aux points | 2K+t-K', 4K+1K’, lesquels sont indiqués par des étoiles.
Remarques du traducteur. — Il s'en suit que la fonction cos am w admet deux zéros et deux infinis dans chaque parallélogramme (page 114, note II).
En résumé, cette fonction est une fonction monodrome paire doublement périodique.
Nous remarquerons ici que le parallélogramme élémentaire relatif à la fonction cos am # a la même aire que le rectangle élémentaire qui se rapporte à la fonction sin am w.
2° De LA FONCTION À am w. — Nous définissons la fonction A am w par
l'équation À am w = y/ 1 — k* sin? am w,
et nous prenons pour valeur initiale À am 0 = +1. Comme cette fonction À am w peut acquérir des valeurs multiples aux points pour lesquels # sin am # — + 1, c'est-à-dire d'abord aux points
nous allons cxaininer comment elle se comporte lorsque l'on entoure ces points par des cercles. On a :
——— / 1 'K’ — —kisi 1 + = — ————————— Aam(K+iK’+t)=y/1— 64 sin" am(K+1iK'+t) — rame
ou bien, en remplaçant sin am (K + !) par son développement en série
ty/— 2a + (a® + 26) {2 —. .
Aam(K+1K' +1) = 1— + pe —
Pour tre et t —re*T+0), le second membre prend les mêmes valeurs; par conséquent, le point K+ :K’ n’est pas un point de ramification. En d’autres termes, la fonction À am w est monodrome dans le voisinage de ce point. Les mémes conclusions existent avec une légère modification pour le point 5K + :K’, ct aussi pour les autres points où k sin am w — + 1. Il s’en suit que la fonction À am w est monodrome.
En vertu de la définition de Aamw, les fonctions À am (— w) et. Aamw peuvent au plus différer par le signe. Or, on décide facilement de ce signe au moyen de la valeur particulière w — 0, laquelle montre que les deux fonctions ont le même signe. Par conséquent, À am w est une fonction paire.
D'après les formules précédentes on a :
Aam(K+1K’+t) = — Aam(K+1iK'— 1); d'où, pour {= K + u —1K", A am (2K + u) — — A am (1: 2K’— u). (38) D'un autre côté,
————- tant Aam (6° +0) = 18 sit am (Ki) Ve — V/sintam
. am sin am f
d'où A am (iK’+1)= — À am (iK’— f).
Si l'on pose t— iK'+ w, il vient :
Aam(t-2K’+w) = — À am w. (59)
D’après cela, on a Aam(t-2K°'—u) = — À am uw, et la formule (58) nous donne :
Aam(2K+u)—Aamu;
La période réelle de À am w a donc pour indice 2K. De la formule (39) on tire, en remplaçant w par t - 2K’+ w, A am(i.4K’+ w) = À am w.
Par suite, la fonction À am w a une période imaginaire dont l’indice est i-4K.
Prenons, à partir de l'origine, OA —4K, 0B—9K", OF —9K, 0G= 4K, (fig. 27), et divisons le plan en rectangles égaux au rectangle OFHG; la fonction Aamw reprend dans chaque rectangle périodiquement les valeurs qu’elle a dans le premier. Dans celui-ci, la fonction À am w est deux fois nulle, aux points marqués par des zéros,
K +:K’, K+:1-3K; elle est quatre fois infinie, aux points iK', 2K+1iK’, 5:K’, 2K+3:%kK, lesquels sont désignés par des étoiles.
Remarques du traducteur. — Il résulte de ce qui précède que la fonction À am w admet deux zéros et deux infinis dans chaque paralllélogramme (page 114, note II).
En résumé, cette fonction est une fonction monodrome paire doublement périodique.
Nous remarquerons encore que le rectangle élémentaire de la fonction . À am w a la même aire que le rectangle élémentaire qui se rapporte à la fonction sin am w.
On peut encore, par des transformations convenables, obtenir un grand nombre de formules relatives aux fonctions elliptiques.
Ainsi, de la formule (32), et de la définition du cosinus amplitude, et du delta amplitude, on tire sans difficulté :
