IV. Du théorème d’addition

Dans l'étude des intégrales elliptiques nous avons vu que l'équation

ge dx y dy z dz rm men rs

subsiste dès que les quantités x, y, z satisfont à la condition

xWU—y) (y) + y (at) (A fr) (40)

À — kxty?

La démonstration de ce théorème fondamental repose sur des transformations identiques, et elle reste la même, lorsque l’on suppose que les limites supérieures des intégrales x, y, z, sont des nombres complexes, et que l’on évite lambiguité des intégrales en prenant les chemins d’intégration rectilignes. Si l’on désigne les trois intégrales précédentes dans l’ordre par uw, v, w, on a simplement :

U+V—=V; en outre x—=sinamu, y—sinamv, Zz— sin am w, c’est-à-dire z = sin am (u + v).

Par la substitution de ces valeurs de x, y, z, l'équation de condition ci-dessus se transforme en la suivante : |

sin am % cos am v À am v + sin am v cos am uw ÀAam w

sin am (u#+v) —= 1 — k?sin? am uw sin*amv

: (41) Cette dernière correspond à la formule goniométrique de sin (u+vw), et se change en celle-ci pour k—0. Si l’on met — v à la place de v, alors sin am v change de signe, et la deuxième partie du numérateur devient négative.

De l'équation (40) on tire facilement :

V1 = (1 — xt) (1 — y DTA ET 7,

— krtyt d'où, en vertu des valeurs de x, y, z, |

cos am & cos amv — sin am % sin am v Âam uw Aamow

cos am (u + 0) — = = 4 — k? sin? am uw sin? amv

pour v négatif, le second terme du numérateur change de signe. La formule (40) donne ensuite :

VAT 1 Rat) (gt) — hay (A 21) (A y) Ta RE 2 PE ?

d’où :

À am u A amv — #? sin am sin am v cos amu cos amv

À am (u +0) — - = ) 1 — k* sin? am uw sin* am v

‘ lorsque v est négatif, le second terme du numérateur devient positif. Si l'on met tv au lieu de v, et si l’on a égard aux formules

sin am (iv)—= 1 tgam(v, #’), cos am (iv) — cos am (0,

À am (v, k’) cos am (v, k’)

les formules (41), (42) et (45) deviennent :

À am (iv) —

sin am % Aam (v, k”) + à cos am uw À am w sin am (v, k”) cos am (v’, k)

in am (u+1iv sin am (u+iv) = cos am (v, k’) + k3 sin? am w sin? am (v, k’)

cos am u cos am (r, À’) — à sin am w À am u sin aim (v, k”) À am (v, #”)

ss am (u +iv) — Cu +iv) cos? am (v, À”) + £? sin? am u sin? am (v, 4’)

À am w À am (v, k’) cos am {v,k”) — tkt sin am uw cos am u sin am(v, k’) cos* am (vu, k”) + À? sin? am uw sin? am (v, k’)

De ces formules fondamentales on déduit de nombreuses relations, analogues aux formules trigonométriques, et que l'on peut, comme celles-ci, obtenir par des combinaisons algébriques des formules fondamentales. On a, par exemple pour v = uv,

am (a + iv) —

. 9 sin am u cosamu Aamu sin am QU = ————@—————) 4 — K? sin! am u

4 — 9 sin? am u + k° sin! am uw cos am 2u — 4 LR en?

4 — k? sin! am u 4 — 9k? sin° am u + k? sin! am u

A am ?u = 4 — k? sin* am u

on 1 x Dans le cas particulier u =; K, am 2u — am K — 3 T> On connait les

valeurs des premiers membres, ct l’on retrouve les valeurs précédentes (page 121) :

2 /1+86 - De même, on obtient :

'K Q 7 / 1, LL s'& sin am + — =, cos an = À TE Aam = TR

K sin am > Cosam 3 — Aam = — k’.

On en tire :

K .. 1 | | sin am G Li) = 7 = cos am G + x) = 5

A am Gex) = ir

K” | K” 1 — sin am K+— = ——) Cosam K+'À = Æi 18, 2 k 2 k

À am (ke) 1-7:

. fKRHik AE ET ON re in am (5 —— 1+: TL’ cosam ( 9 Van /% kHiK\ r à om ( 3 De V/isit

Si l’on pose, pour abréger, amu—, amv, am(u+v)—, am (w—v)=—=7, on arrive facilement aux formules suivantes : 2 sin æ cos 4 AY 1— k sin? o sin W”

Sins + SINT —

.. __ 2sinŸ cos gç À RO MT 1 EF sin g sin? ÿ” 2 cos y cos Ÿ PET TT 4 sin? o sin? Q” ___ 2sin psinÿApAy TT 1 Sins sin?

As + Ar — 2 Ag Aÿ

1— ksin? o sin? W”

__ 2ksinpsin® cosy cos Y Ae—Âr=— 1—K sin osinh ” sin? @ — sin? Ÿ

SÙ0 © SN T = —————" —) 4 — ki sin? @ sin? Ÿ

| cos? @ — sin? At PERRET EE sint g sint 2m — 13 2 1n?

Ac Ar — 0 cos qsin 4— 3 sin? sin° Il est facile de trouver d’autres formules analogues par la combinaison

des précédentes. Ainsi, par exemple, on peut trouver :

(cos ÿ+ sin pAŸ)?

+ gi + einr\ + sine sinr E (si nd (4 Esine) (4 +sinr)—1+sin « sinr H(sino+sinT) 1— sin gsin®J j

et ainsi de suite.

Avant d'abandonner cette matière, nous allons encore montrer comment l’addition et la multiplication des intégrales elliptiques peuvent être représentées par une construction géométrique. Soient donnés deux cercles dont l’un peut être intérieur à l’autre (fig. 28); C le centre du plus grand, AC—=R son rayon; D le centre du petit, DT = r son rayon; enfin, CD — h la distance des centres de ces deux cercles. D'un point quelconque P du cercle extérieur, on mène une droite tangente en T au cercle intérieur, et qui rencontre le premicr de nouveau en Q. L’angle inscrit sous l’arc AP étant désigné par w, l'angle inscrit sous l'arc APQ par 5, on a angle ACP — 2w, angle ACQ = 26. En outre, si l’on mène CU perpendiculaire à PQ, et CV parallèle à PQ, on a :

angle PCU—0c—"w, angle ACU—c+w, angle ACV — 7 ++,

angle DCV — T — (+ &).

De l'équation DT— CU + DV, il résulte :

r—"R cos (o — w)+ h cos (a + w),

ou bien :

r= (R + h) cos so cos & + (R — h) sin c sin ©. (44)

Si, en particulier, P coïncide avec À, on aura © — 0, et o se change en l'angle constant ACB, que l’on peut appeler 24. On a pour cet angle

r=(R + h) cos a,

V'(R+h)}—r° 4Rh R—h

int 7 — .

Posons, pour abréger,

d’où

sin à —

pe #RR (R+k}—r

divisons l’équation (44) par R + h, et substituons les valeurs r R—h

à me, et 3 ù % e

R<È COS æ, R<k “V1 k3 sin? x;

nous aurons ensuite la relation

COS & —= COS a COS © + sin o sin © /1— k* sin? a,

laquelle n’est autre que la condition nécessaire à l'existence de l'équation

F(k,o)—F(k,w)—F(k, «), ou F(k;5)=F{(k,a)+F(k, w).

A cette formule correspond, si k, a, w sont donnés, la construction suivante de ©. On choisit R arbitrairement, et l’on détermine

— y — Pcin? p=R VI sine r—= (R+kh) cos «.

A+p/1— k*sin? «

On trace ensuite les deux cercles, on prend angle ACP = 2w, et l'on mène la tangente PTQ : la moitié de l'angle ACQ sera co.

On peut appliquer cette construction plusieurs fois de suite, pourvu que l’on mène comme le montre la fig. 29, les tangentes successives PP;, P:Pe, P:P;, etc., et que l’on représente par 20, 261, 20, etc., les angles ACP, ACP:, ACP:, etc., qui doivent étre comptés dans le même sens de rotation. On a, en effet,

F (o2) = F(x) + F(«), F (os) = F (x) + F (cs) — 2F (a) + F (oi), F (os) = F(x) + F (os) = 3F («) + F (w),

et, en général, F(u)=nF (x) +F(o). (45)

Dans le cas particulier o—0, c’est-à-dire si l’on commence à mener les tangentes successives, non pas à partir du point P, mais à partir de À, onaF(w,)—nF (x), ce qui donne le solution du problème de la multiplication. : |

Il est très-intéressant de savoir dans quelles circonstances la ligne brisé PP,P:,.... devient un polygone fermé, ce qui peut arriver par un ou plusieurs circuits autour du petit cercle. Si nous nous bornons au premier cas, comme étant le plus simple, et si nous supposons que le polygone puisse avoir n côtés, le point final P, doit coïncider avec le point de départ P (pour le cas du quadrilatère de la figure P, coïncidera : avec P). La condition est alors

angle ACP, — 27 + angle ACP, ou «, = T7 + 0.

L'équation (45) devient alors :

F(rT+o)=nF(a)+F(w).

Mais, à cause deF(r+ &)—2K+F (w), le terme F (w) disparoît dans les deux membres, et il reste l’équation indépendante de « : 2K = nF (2). Cela signifie géométriquement que : si les rayons satisfont avec la

distance des centres à la condition précédente, le polygone se ferme, quelque soit le point initial P choisi. De l'équation ci-dessus il résulte

a = AM — n -

et il vient, d’après les formules précédentes pour cos « ct Ac,

r 2%K R—h 2K Rep em pop dam, (46) où pa #Rh PRE Lil em (R+h}— rt (R+h}— r?

2K Si l’on calcule pour une valeur donnée de n, ou bien cosam —; ou n

bien À am =, chacune des équations (46) renferme seulement les quan-

tités R,r,h; elle exprime donc la condition qui existe entre ces trois quantités, lorsque le polygone de n côtés est en même temps un polygone composé de cordes et de tangentes.

Pour le triangle, le caleul se fait de la manière suivante :

De la formule générale d’addition

cos p cos Ÿ — sin sin Ÿ As = cos 9, ou

cos am % Cos am v — sin am # sin am v À am (u + v) — cos am (u + v),

on tire, pour u = v — 5 K,

k cos! am 2 K— sin! am =KAam À K — cos am + K; o o 5) 5

comme, en outre, = K = 2K — < K, et

Aam(2K—w)—Aamuw, cos am (2K — w) — — cos am w,

on a

cost am 2 K — sin? am 2 K A am ? K — — cos am =K. 5) 3 5) " Ô

Si l'on transporte tous les termes dans le premier membre, et si Fon exprime le sinus au moyen du cosinus, on obtient facilement :

2 2 2 2 (1+csam5K) cos am zK— (1— cos am £K) 4 am 5K|—0,

et l'on peut supprimer le premier facteur, puisqu'il est différent de zéro. L'équation résultante peut se mettre sous la forme

cosam = K cos am 3 K + —— = À, A am am = K et elle donne, par la substitution des valeurs (46), + TT — | R+h R—h ou bien R=R(R— 92r), relation connue, et que l’on doit à Euler.

Pour le cas de n — #, on tire facilement de (46), en ayant égard aux

1 1 valeurs connues de cos am — K, et A am 9 K (p.121)

r k’ R—h Re V'ir RE VF et, par division, r 4

LE 7e À

La première et la troisième équation donnent

ou bien

Enfin, pour le pentagone, le calcul est à-peu-près semblable à celui qui

sc rapporte au triangle. Si, dans la formule de Lagrange

on fait u — = K, il vient :

8 8 cos’ am : K — sin? am SKAam ; K=— cos am = K.

Mais on a 8 K — 2K — = K; par conséquent, cette dernière formule

devient

2 L 4 2 % — = = 2 … — sin? — 1 — in? — cos am = K cos am = K sin am KAam<K À — sin am L K

= COS amy K(1+AamÊK) Aam =K

On tire de là :

{+ cosam2?K . L 5 sinams<Kk=— D

1+Aom£K

j+AamÊK

Mais, la formule de Ïà soustraction,

4+Aam = K

cos am (4 — v) — cos am uw cos am v + sin am w sin am v À am (u — v),

nous donne, en y faisant u — : K, = ° K,

cos am 2 K— cos am = K cos am 2 K + sin am À K sin am? KAam

ji) ji) D D ji)

substituant dans cette dernière les valeurs ci-dessus de sinam-K,

4 2 cos am > K, on trouve, cn écrivant, pour abréger « au lieu de am = K,

Au — cos & Aa s 1+ cos « COS & —= COS & + Aa sin «a | A+Aa A+ Ac ?

remplaçant ensuite le sinus en fonction du cosinus, et tenant compte des formules (46), on a la formule relative au pentagone (1) :

T(R+A)V2R=rT(R+h)VR—R—Tr+IR—R) (R+h+r)VR+h—r.

Les formules relatives aux polygones d’un plus grand nombre de côtés sont très-compliquées (2).