V. Développements des fonctions elliptiques en séries
A. D'après ce que nous avons vu (36) au chapitre Il, la fonction sin am w devient infinie pour u—1K', et elle reste synectiqne à l’intérieur d’un cercle décrit de l’origine comme centre avec un rayon égal à K’. En vertu du théorème de Mac-Laurin étendu aux variables imaginaires, sin am w peut être développée en une série convergente procédant suivant les puissances de w, pourvu que le module de w soit plus petit que K’. Or, à cause de la relation sin am (— w) — — sin am w, cette série ne peut contenir que des prete impaires de w, et l'on a : |
… cime am w SE sin dÿ sin amw (7:2s d°sin amw w sin am w — 125 7 3 — du — 123.45 2.3.4. ho.
Les différentiations contenues dans cette formule s'effectuent au moyen
des équations d sin am w
— cos am w À am w, dw
————————__—— es
(1) J'ai cru utile de donner les développements du calcul pour le pentagone : M. Schloemilch a seulement indiqué la formule sans la démontrer. (J. G.)
(2) La formule relative au triangle a été trouvée d’abord par Euler (Nova commen. Petropol., XI, p. 114). Nicol. Fuss a donné la représentation géométrique pour les cas n = 4, 5, 6,7, 8 (Nova acta Petropol. XIII, an. 1798, p. 166 à 189). Jacobi a montré la liaison entre cette question et la théorie des fonctions elliptiques dans son mémoire a Ueber die Anwendung der elliptischen Transcendenten auf ein bekanntes Problem der Elementargeometrie. » Journal de Crelle, III, p. 376, mémoire que l’on pourra comparer avec un travail de Richelot sur le même objet. (Journal de Crelle, t. XXXVIII, p. 353.)
d cos am w .
—;—— = — sin am w À am w, dw
dAamw 2 — y = À sin am # COs am w.
On a alors :
d* sin am w — Tr — —=— (4 + k*) sin am w + 24? sin5 am w,
d sin am w
RE [— (1+ 6) + 6 k? sin? am w] cos am w A am w, etc. ; elles donnent, pour w — 0, les coefficients de la séric précédente.
Mais, il est plus simple de poser sin am w — Aiw + Azw + As +...
d? sin am w du?
et ensuite d'égaler les coefficients de w, w”, etc., des deux membres. Le résultat sera
puis de substituer cette expression dans la formule relative à
PRAUUT NT 125" 12345
| 47 A+ 4354155 RE, 1+ 1928474 5478 + 1228 k + Ke (47) 7 41:2.3.4.5.6.7 7 1.2.3.4.5.6:.7.8.9 T mod w < K’.
Pour k = 0, on a sinamw=—sinw, K’'— %,. et la série devient iden- ? 9 ? .
La LU e 4 tique avec la série convergente connue du sinus; pour k=—1, et K'— 37
ei — 1 ee + A
Comme la fonction cos am %w reste synectique dans l’intérieur d’un cercle décrit avec le rayon K’ autour de l'origine, il existe aussi pour cos am w un développement en série : mais, à cause de cos am (— +») — cos am w, ce développement ne peut renfermer que des puissances paires de w. Quant aux coefficients de ce développement, on les déduit très-simplement de ceux de la série précédente, en se servant de la relation
on trouve le développement connu de la fonction
sin? am w + cos? am w = À,
On obtient ainsi : | y À LAitar,, 1+ 44 k2+ 16k cos am w = 7.09% 42.34 1.2.3.4.5.6 (48)
mod w < K’.
De même, pour la fonction À am w, laquelle reste synectique à l’intérieur d’un cercle décrit autour de l’origine avec le rayon K’, on a un développement procédant suivant les puissances paires de w. Au moyen de
la relation k* sin? am w + At amw— 1,
on trouve facilement :
PE k(&+ 4H) l (A6+ 44 k+ Hi) — 4 — __— a ap 6 Aamw=i— SU + To 1.2.3.4.5.6 (49)
