VIII. Fonction de Jacobi pour des variables réelles

Si l'on imagine que les multiplications indiquées dans les numérateurs et dans le dénominateur commun des formules (95), (96) et (97) soient effectuées, on obtient quatre séries infinies, procédant suivant les puissances de g. La proposition suivante sert à developper la loi de formation de ces séries.

Si x ct p désignent des quantités arbitraires, et si la fonction f(x) est définie par l'équation

f(x) = (+2) (+ pr) (+ ptx) (1 + pt x), il en résulte immédiatement que f (x) peut être transformée en une série de puissances; elle peut être représentée de la manière suivante :

f(x) = 1 + Aix + As? +... + An, où les coefficients A1, As, +. A, dépendent seulement de p. En vertu de la valeur primitive de f (x) on a la relation (+ p°y) L(y)= (A + y) L(py); et, d’après la seconde forme de f(x), on a :

(1 + p"y) [1 + Aiy + Asy? +... + Any] = = (+ y) [1 + Aipy + Apty+ ce + Anp"y”].

Si l’on cffectue les multiplications indiquées, on obtient par la comparaison des cocflicients de y, y*, y®, etc., des deux membres, (1 —p) A =1—p", (1 — pt) As = p (1 — pt) As, (1 — pi) As = pt (1 — pt) As,

Ces équations fournissent les valeurs de A:, As, As, etc., et l’on a, pour toute valeur positive de k,

pau Up (pr TP) U— pp) Dans le développement

(+) (+ px) (1+ptz)... (+ pt) = A + Aix + Aoxt +. + At,

substituons z

p=9", m—In, SL

et séparons le produit du premier membre en deux produits, dont l’un renferme les ñn premiers facteurs et l’autre les n derniers; nous aurons :

CAN) (C5) X (+ gz) (+ gz) (1 + ge 32) (1 + gr te)

z z3 gt = 1+ A, go" + À: quart + + ++ Au quan

Ordonnons le produit de la série en allant du milieu vers les extrémités et écrivons :

(1 + gz) (: + =) (4 + g°z) (: + — &) - (1 + g!2) 6. + =)

np An nt Ant n+i gr 0 ( Less (2n—1) gin+ (2n—1)

| Ans ns, __ Ants +]

gi? (2n—1) Zz + gts (2n—1)

Si l'on introduit dans la formule relative à A4, les valeurs p = g°, m—9n, et si l’on fait d'abord k—=n—h, et ensuite k—n + h, on obtient A,1, A4 :

Asa 4 (1 — q+*) (1 — gt) .. (1 — qrt3hts) qi) (in—1) — qi him +) ° (1 — q%) (A — gt)... (1 — gt)

At. | (1 — q**) (1 — gt) (4 — qgta+t)

Er

qi hi Gn—0 = qu Mta+h (1— 9°) (1 — qt).(1— qur+#4)

La première formule renferme au numérateur et au dénominateur n — h facteurs binomes, la seconde en renferme n +h; en les divisant l’une par l’autre, on obtient la relation :

Ass . À: —h

————— | == gt» (2n—1) gr h (3n—1)

(1 — gvs-tk+3) (1 — gr th+s) …. (1 —— qg?"t3h-3) (1 — g'r+t34)

laquelle est égale à l’unité, puisque le dénominateur renferme les facteurs du numérateur écrits en ordre inverse. Soit, pour abréger,

(A— qg)(1— gt). (A— gt) ?

ai =}.

on a alors

(Lio (Sn—1) qi +h lin) g ?

et de l'équation (98) on tire la suivante :

(1 + 9) (+ + =) (1 + q5z) (: +) (1 + qi tz) (: + — = = Q7 7" CE ä, ( + :) + Ge (> +2) + 0 + ln (+ R

Si l’on fait usage, dans le premier membre, pour le deuxième, le quatrième, le sixième, etc. facteurs, de l’équation identique

eE-a(e5)

on obtient dans les deux premiers membres le facteur g-""z", et le reste pourra se représenter par l'équation :

(1 + qz) (: + 7) (+ g°2) (: + L} (1 + quete) (: + —) — ao |! + b: (+ :) + ba (= + 7) Ho. +b, (+ =) |

dans laquelle on a

(1 — q*") (1 — q\"-?) sc. (1 — qg"+?) Ag (A — qe (1 — g#)

(Ag (A gt) (QU),

lo—=

a — __hh, == =

Ces formules se simplifient d'une manière remarquable, si l’on fait croître indéfiniment le nombre arbitraire n, et si en même temps on suppose que gq, ou, lorsque q est un nombre complexe, que le module de q est unc fraction simple. On a, cn effct,

lim b, = qi.

lim lo =

Si l’on pose, pour abréger,

Q=(— oo)

il vient :

(1 + q2) (: + ?) (1 + gÿz) (1+2) (4 + q°z) (: + t) .. z z z 5 1+gq (: +- +) + q° (= + 3)+ q° (= +2)+ s... l

si l’on remplace z par — 7, on a :

ag) (15) ao (4 TL) ge (a 2) à f—1(e+ 2) + q° (#+ 3)? (+ 3) +)

Si l'on met gz° à la place de z, et si l’on multiplie lcs deux membres

par z 4 q, On arrive à l'équation suivante :

a (:—;) (ax) (: — £) (1— gtzt) (+ £) ….

22121000 2 CE AE Ce

En faisant z — e*#, le premier de ces deux développements donne : P pp

(1 — 2q cos 2x + q°) (1 — 2q5 cos 2x + q6) (4 — 205 cos 2x + q'°) .… — SA 2 co 2x + Age cos biz — 2g° cos 6x + +]; (99) le second donne, pour z = e, a sin x (4 — 29° cos 2x + q') (1 — 2q* cos 2x + q8)-. : = SV asins — sin 5r+/ q%5 sin Dx—. |. (100)

Ces deux équations peuvent servir à une nouvelle exposition des fonctions elliptiques.

Si l’on revient, en effet, à la formule (95), et si l’on développe le produit du numérateur d’après la formule (400), et le produit du dénominateur par la formule (99), il vient :

Kx 1! 2 /asinx—21/q V sin 5x + 2W qg%5 sin 5x — +... sin am 2K2 = 2, T v'k 1 — 2q cos 2x + 2q* cos 4x — 29° cos 6x + -

On peut transformer de la même manière l'équation (96), dont le numérateur peut être développé par la formule (100), dans laquelle on

remplace x pars F— 3%; on obtient ainsi :

4 ,— 4 4 / 9 25 ) ELA cos am 2 — VÆ FE 2Vgeosz+24/qf cos 5z+ 2ÿ/q cos Bat

1 — 2q cos 2x + 2q° cos 4x — 2q° cos 6x +...

Enfin, on arrive au développement du numérateur de (97), en rem-

plaçant, dans la formule (99), x par : rt — x; il vient :

à am 2 = +. 1 +2q cos 2x + 2q* cos 4x + 2q° cos 6x ++... — 4 — 29 cos 2x + 2q* cos 4x — 2q° cos x +...

Posons maintenant 2Kx — ru, et introduisons deux nouvelles transcendantes 6 (u) et H(u), définies par les équations suivantes :

1 — TU 908 cos 24 — 99 cos 4 +...

e(u)—=1 2q cos + 2q COS —e 2q° cos —— + > (101)

H (u)—2y/qsin KV sin +2 VS sin ee (102)

Les trois formules précédentes prennent alors la forme très-simple : sin am u — 1,H (u),

/# eu)

cos am 1/7 iu+E (103)

Aamu=y/#:

D’après cela, les fonctions elliptiques de première espèce peuvent être exprimées par des quotients de deux fonctions simplement périodiques, que l’on appelle transcendantes elliptiques. En vertu de l'équation

(k sin am u)* + (A am vu) — 1, on a entre 6 ct H la relation TH (u)]° + Ke (u + K)]°—[e (u)]°, ou bien

H (u) = LOI ER Ur.

Cette formule montre que H peut être déduite de 6. En résumé, les fonctions elliptiques de première espèce se réduisent à l’unique transcendante @ que l’on a coutume d'appeler la fonction de Jacobi.

Les valeurs particulières @ (0) et 6 (K), que l’on trouve de la manière suivante, ne sont pas sans intérêt. De (99) on tire pour x = 0, en ayant égard à la valeur de Q, la formule :

(U—g} (A — g Be = a

dans laquelle le numérateur du second membre est 6 (0). En divisant les deux membres par le produit (4 — q) (1— q%) (1 — q%)...., on trouve

e (0) 14. ——— "2% ——— (1 — 9) (4 — g°)( q) A — 9) — 9) (A — g5) (A — gt) Si l’on introduit encore dans les deux membres les facteurs 4 — g?, 4— q°, 1 — 0, etc., il vient :

A— ot 1—at 41—06 1—08 (gr) (95) gh 0)

— 0 (0)-(1+9)(1+ 9°) (1 .p (Læ+g')..s

d’où —4g)(— 9") (1— 9°)...

6 (0) — Ag Us):

= Er (+9) (+ g°)...

Or, la valeur du second membre a été trouvée ci-dessus (page 168), et l’on a :

6 (0) = 2e. (404) La dernière formule (105) donne, pour # — 0, une relation entre 8 (K) et @ (0), laquelle, en vertu de (104), prend la forme suivante :

Des deux premières formules (103), on déduit, pour uw = 0,

À cela se rattachent plusieurs remarques importantes relatives au calcul numérique des fonctions et des intégrales elliptiques. De la dernière formule (105) on tire, pour u — 0,

| 0 VF = Ro (407)

c'est-à-dire, en vertu de la série de @ (u),

vk=; + 2q + 2qt + 2q +

Cette formule donne immédiatement £’, ainsi que k, lorsque q est donné (1). Réciproquement, on peut trouver gq, lorsque l’on connaît k ou k'. On a, en effet,

1 1 Fr g+q + 95 + qg*° PE 2446 1+ 29 + 29" + 2q% +.

ou, en posant, pour abréger, | 11=VE ; 21+y# ’ et développant la fraction du second membre suivant les puissances de Q, À = q — 2q5 + 5q° — 10q!5 + 18qt7— Les puissances successives de À nous donnent : À = q5 — 10q° + 65q!5 — 330q!7 +...

À = q® — 18qt5 + 189qt7 —...., 113 — 1 Lg — 269! He, À17— g'! —....,

Si l'on forme la somme suivante :

À + ad + ae + as += q + (aa —2)qf + (as —1Ous + B)g9 +...

et si l’on détermine les coefficients &@1, &e, as, etc., de manière que les coefficients de q, q°, q‘°, etc., soient nuls, on obtient réciproquement

(1) D'ailleurs, la première formule (105) donne, pour u=K,

ou bien A ’ A

7 2/9 + 9 Hg he ++ + We

Enfin, de la relation k + #*=1, on tire :

(QW/g + QD eee) 2e (A — D 2e Dm vous) 2 (A 2e D ch Dh ces J. G.

Cette série est très-convergente; car, même pour le module assez grand KV 80 le cinquième terme

sera si petit que le calcul s’arrète à lui, si l’on se contente de l’exactitude

ordinaire jusqu’à sept décimales. Mais ordinairement le caleul se simplifie ; ainsi, par exemple, pour