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on a :

de même, pour k < 0,866 deux termes suffisent toujours. D'ailleurs, on a déjà des tables qui donnent les valeurs de q correspondant à chaque valeur de k. La table suivante en donne un exemple; on y a posé k—=sin «, et l’angle « croît de degré en degré(l). |

(1) Jacobi 4 donné une table de 6 en 6 minutes dans son mémoire e Zur Theorie der elliptischen Functionen, » Journal de Crelle, T. XXVI, p. 93. Ce mémoire renferme beaucoup de remarques pratiques sur le calcul numérique des fonctions elliptiques.

LL Et ss ts sî î@îût""

De ce tableau il résulte que q croit très-lentement de k — 0 à k = 0,999, valeur à laquelle correspond q = 0,553 et qu’il tend ensuite rapidement vers la valeur 1. Si x <[ 70°, c’est-à-dire k < 0,94, il s'en suit q < 0,1311, et alors q° n’a aucune influence sur la septième décimale; toutes les formules dans lesquelles entre la fonction de Jacobi deviennent alors extrêmement simples.

Lorsque l’on a calculé q, on trouve K au moyen de la formule (105) dans laquelle on met pour 8 (K) la série correspondante, et l'on a :

K=—: 7 (1 +2g + 2q*+ 2q°+ +...) Par exemple, pour k =; v/5, q —=0,08579573, on a

Pour calculer l'amplitude œ, correspondant à une valeur donnée de u, on fait usage de la troisième formule (103), c’est-à-dire

1 +2q cos D + 24 008 PA +.

us — ——— 4 ———— EE EE] 1 2q cos + 2q* cos K

de laquelle on tire facilement sin ® et o. Si, par exemple, on donne

on a les valeurs précédentes q = 0,0857957, K=—2,156515; en outre . — 7,588254 — Qr + arc 7446/29/95.

La formule ci-dessus devient

\ / 1 — : sin p— 0,7738482, sin p— + 0,7315537.

Comme la valeur donnée u = 5,208881 cst comprise entre 2K—4,3...

et 3K —7,4..., l'amplitude correspondante doit être comprise entre 2.90° et 3.90° ; par suite | p = 180° + 47° — 2270,

La réciproque qui consiste à calculer, pour une amplitude œ donnée, la valeur de l'intégrale elliptique u = F(k, +), trouve une nouvelle solution au moyen de la formule mentionnée ci-dessus. En effet, si l’on pose, pour abréger,

TU K =" on a V1—kKtsint@ 1 + 2q cos v + 2q° cos 2v +...

VF 1 — 2q cosv+ 2q* cos 2v —....?

on en tire facilement :

À 1— ksintq — pk cos v + Qÿ cos 3v + g** cos 5v +.

2q V1 — ksint o + VE 4 + 2q cos 2v + 2q'° cos 4v + -…..

Si l’on pose, pour abréèger, la quantité connue LE V1-ksinp—y# 9 2q 1 — k sito + pk

l'équation précédente donne :

cos vu = Q (1 + 2q* cos 2v + 2q!6 cos 4v -+ .-..) — q$ cos Su — q°* cos 50 — -..., et l’on a une équation transcendante au moyen de laquelle on peut calculer v. Comme les quantités q*, q%, etc., sont de très-petites fractions, on trouve facilement une première valeur rapprochée v, de v, en pre-

nant simplement | cos t4 = Ÿ,

On obtient une approximation plus grande, au moyen de l’équation précédente cÎle-même : on aura cos va — Q (1 + 2q* cos Qu + +.) — q8 cos Bus — +... cos 5 — Q (1 + 2qt cos va + - ++) — Q$ COS Bus — re,

et ainsi de suite.

Connaissant v on en déduit ensuite :

Soit, par exemple, k — 5 V4 3,@—47°; on aura, comme ci-dessus, | la valeur de Q est, dans ce cas, 0,2626582; par conséquent,

cos vi — 0,2626382, uv: — 74°46/24”, COS Vs —= 0,2626137, vs — 74462925.

F= = qg=—=0,0857957, K—2,156515;

Comme v; est déjà le même que ts, il vient :

v — 74046 29/25 — 1,3050665, üu = Ko = 0,89585.

Si l’on augmente l'amplitude de 180°, la valeur de l'intégrale croit de 2K — 4,31303; à l'amplitude 227° correspond la valeur de l'intégrale 5,20888 comme dans l'exemple précédent.

Notes du traducteur. — Je terminerai ee chapitre par quelques remarques sur les transcendantes elliptiques, et par quelques théorèmes sur les nombres.

La formule (101) nous donne, pour # — e

e(3) = 1 — 29 +929 — 948 +... = 1 + 25 (— 1)" gt". Nous avons déjà vu que, pour u—0,u—=K,ona:

H(K)= 2/9 +2/q°+ 2/q+ = 2/4 2 que — ——

D'un autre côté, de la formule (99) on tire :

e(u)—=0Q: nl (: — 2qu— cos + qu) |

NA —0Q").N (: — gg cos à qu).

i { K Or, pour u= 0, il vient :

Te — qu) (1 — qu"! }

e (0) — nl A —g") (og) = TG

On a de mème :

RTE OT ET ee je

(A+ g") (A — g") (A + gt) =n Ag) + go), (A+g")A—-o"") (+ q")(— gt) de même 4 œæ HR) = 2/q 2 IL (A + qu (1 — gt).

En égalant entre elles les deux valeurs de @ (0), on obtient la relation

1+92 2 1 = II; + q

De même, l'égalité des valeurs de 8(K) nous donne :

— À + gt

4 +9 29 ter qu

Enfin, des deux valeurs de H(K) on conclut :

TZ gt) — Il (A + qu} (1—g°").

D'ailleurs, il est facile de voir qu'en remplaçant uw par + u + 2K dans (101) et (102), on a :

e(u+2K)—e{(u), e(u+4K)=0 (vu), H(u+2K)——H(u), H(u+4K)=H(u);

On en conclut que les transcendantes 8 et H de Jacobi sont des fonctions périodiques. Nous allons voir qu’elles sont simplement périodiques ; à cet effet, nous démontrerons qu’elles ne restent pas invariables, lorsque l’on augmente l’argument de 2:K’.

La formule

TU peut encore étre transformée; en effet, si nous posons x = et si nous

observons que 2 cos 2x — e*i° + ei, il vient :

4 — 2q*"—! cos 2x + g'= (1 — g°"—! e?is) ({ —— gr! etis),

x (u + 21K7) irK’ Or, si nous remplaçons x par ta ——" —x + ——; nous 2K K aurons :

27TK/ 1

ue 0 K . Lie, Lois.

ei: — ets e — q° eñiz, e Luis, = + — e 1 par suite

Il (1 — qg°"—! etis:)(1 — gr! ei, )— il (1 — qg°"+! ets) (1 — gr 5 etis)

pgen prie (i ten)

| — gets

— : etis (4 — g°"—! eïis) (1 — qe! er 3is) (4 — ges) (1 — ge“) == — eue Il (1 — gr! etis) (1 — gt er #is) | - { es Il (4 — 29°" 1 cos 2x + q*"—?)

Donc, | 6 (u + 2K’) — — - eîis Il (4 — qg°") (A — 29991 cos 2x + gt ?),

ou bien ÊTe

7 , 6 (u + 2K’)= — : e “O(u)=—06(u) enr,

On trouverait de méme :

—T(eti)

H(u + 2K’)—=—H(u)e En effet, la formule (100) donne 4 œ H(u) = 2p/q sin x « Q IL (1 — 2q°" cos 2x + gt"). Or,ona

1 — 2q°" cos 9x + q\" —— ({ ——. g°" ets) ( — q"*" ets),

et, en remplaçant x par = 2x + — on trouve comme précédemment A — g?" Qiz À — a?" dis A — e—?is À — 2gt cos 27, + qu UT IA PEN A EN),

A —q'etis D'autre part, 1 1 2 sinx=ge"—-ctr—— cts (1 — qe).

ge go U—re)

Par suite, $ © | H(u + 2K') = — -2p/q sin x Q - IE(4 — qe) (1 — q°" etis),

ou bien {Tu

H(u + 2:K')=— EL (u)= — Hu) e.

À (e+ix”) Des résultats précédents, on tire :

e(u + 2iK’) 2(u)

H(u+2iK’) Hu) Si l'on pose

Gi(u) = QII (: + 2q%°—! cos + +)

on trouve :

Gi(u) = 6 (u + K).

De même, si

H, (u)= 2 a cos SE ü(: + 2q°" cos + ge il vient :

Hi(u)=H(u + K).

On trouve facilement

. … 1 Hi(u+K) Sin am TA e(u+K)’ cos am u = k Hi), . k Oi(u + K) __@u(u) Aamu—V# - @(u+K)

Enfin, on a aussi les relations suivantes :

—— (s+iK”) ,

— Ti)

H; (u + 2K') — Hi(u) : e

et ainsi de suite. On voit donc que les transcendantes 6, et H;, ainsi que 6 et H, ne sont que simplement périodiques.

En terminant cette note, j'indiquerai une propriété remarquable des nombres à laquelle on est conduit par les formules précédentes : Tout nombre entier est la somme de quatre carrés.

Cette propriété se démontre par la comparaison des deux formules

ci-dessus :

VE + 29 +2q + 29 +2q +,

2K \° ] 2q° 3q° kq* OR ere

La première de ces relations a pour second membre une série dont les

exposants sont les carrés des nombres naturels. Si l’on élève cette série à la quatrième puissance, il vient :

() = (1 + 2q + 2qt+ 2q° + 2q6+....)8.

On voit facilement que, dans ce développement, chaque terme de la nouvelle série sera le produit de quatre termes de la première, c’est-à-dire qu’il sera de la forme :

q'+8" + +0", a, (, y, d, étant quatre nombres égaux ou inégaux, ou même nuls.

D'un autre côté, si l’on développe en série toutes les fractions de la seconde formule, on trouve :

2K\?° (%) = À + 8[q + 59° + 4q°+ 3qt + 6Q$ + JÉ

Or, on démontre facilement (1) que cette nouvelle série, laquelle est évidemment égale à la précédente, renferme comme exposants tous les nombres entiers. Ces deux séries devant être égales terme à terme, on en conclut, en désignant par À un nombre entier quelconque,

ce qui démontre la proposition énoncée.